Draft:平方和

在数学、统计及其他领域中，总平方和时常出现.

统计

 * 对于方差的划分（partitioning of variance），参照： Partition of sums of squares
 * 对于“离差平均和（sum of squared deviations）”，参照： Least squares
 * 对于"误差平方和（sum of squared differences）", 参照： Mean squared error
 * 对于"平方误差之和（sum of squared error）", 参照： Residual sum of squares
 * 对于"失拟平方和（sum of squares due to lack of fit）", 参照： Lack-of-fit sum of squares
 * 对于与模型预测相关的平方和, 参照： Explained sum of squares
 * 对于与观测值相关的平方和,参照： Total sum of squares
 * 对于偏差平方和, 参照： Squared deviations from the mean
 * 对于涉及平方和的建模, 参照： Analysis of variance
 * 对于涉及平方和的多元推广的建模, 参照： Multivariate analysis of variance

数论

 * 对于连续整数的平方和, 参照 Square pyramidal number
 * 用于将整数表示为 4 个整数的平方和, 参照 Lagrange's four-square theorem
 * Legendre's three-square theorem 说明哪些数字可以表示为三个平方和.
 * Jacobi's four-square theorem 给出将数字表示为四个平方和的方法数.
 * 对于将正整数表示为 k 个整数的平方和的数量, 参照 Sum of squares function.
 * Fermat's theorem on sums of two squares 表示哪些素数是两个平方和.
 * sum of two squares theorem 推广费马定理来指定哪些合数是两个平方和.
 * Pythagorean triples 是三个整数的集合，前两个整数的平方和等于第三个整数的平方.
 * Pythagorean prime 是一个素数，它是两个平方和；费马关于两个平方和的定理指出哪些素数是毕达哥拉斯素数.
 * Pythagorean triangles with integer altitude from the hypotenuse 使整数边的倒数的平方和等于从斜边开始的整数高度的倒数的平方.
 * Pythagorean quadruple是四个整数的集合，前三个整数的平方和等于第四个整数的平方.
 * 欧拉用 $$\pi$$来求解 Basel problem，要求所有正整数的倒数平方和的精确表达式.
 * Rational trigonometry的三重四边形规则和三重展开规则包含平方和，类似于 Heron 公式.
 * Squaring the square 是将边长为整数的二维正方形划分为更小的此类正方形的组合问题.

代数、代数几何与最优化

 * Polynomial SOS, 多项式是其他多项式的平方和
 * Brahmagupta–Fibonacci identity将两个多项式平方和的乘积表示为另一个平方和
 * Hilbert's seventeenth problem 将具有非负值的多项式表征为平方和
 * Sum-of-squares optimization, 具有 多项式 SOS （polynomial SOS）约束的非线性规划
 * 有限群的成对非等价复表示的维数平方和等于该群的基数.

平面几何（欧几里得几何）和其他内积空间

 * Pythagorean theorem 直角三角形斜边上的正方形的面积等于直角三角形直角边上的正方形的面积之和. 平方和不可因式分解.
 * squared Euclidean distance 两点之间，等于其坐标差的平方和.
 * Heron's formula 三角形的面积可以重写为使用三角形各边的平方和（以及三角形各边的平方和)
 * British flag theorem对于矩形等于两个平方的两个和.
 * parallelogram law 等于四个边的平方和等于对角线的平方和
 * Descartes' theorem四个kissing circles涉及平方和
 * cuboid 各边的平方和等于任意空间对角线的平方

相关内容

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