User:Özgünaysena/sandbox

Bir {\displaystyle \ f\colon X\to Y} fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir {\displaystyle A\subseteq X} alt kümesi için {\displaystyle \ f\colon A\to Y} şeklinde tanımlı fonksiyona kısmi fonksiyon denir.

Grup Teorisinde Grupoid

Bir {\displaystyle \ G} grupoidi, {\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G} şeklinde tanımlı tekli işlem ile {\displaystyle \ *\colon G\times G\to G} kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her {\displaystyle a,b,c\in G} için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir.

(i) Bileşim: Eğer {\displaystyle (a*b)} ve {\displaystyle (b*c)} tanımlı ise {\displaystyle (a*b)*c} {\displaystyle =a*(b*c)} ’dir.

(ii) Tersinirlik: {\displaystyle \ a^{-1}*a} ve {\displaystyle \ a*a^{-1}} tanımlıdır.

(iii) Özdeşlik: Eğer {\displaystyle \ a*b} tanımlı ise

• {\displaystyle a*b*b^{-1}=a} ,

• {\displaystyle a^{-1}*a*b=b} olur.

Ek olarak da

• {\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}

• {\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}} özellikleri sağlanmaktadır.

Kategori Teorisinde Grupoid

Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir.

Tanımı daha açık bir şekilde belirtmek gerekirse kategori teorisinde bir {\displaystyle G} grupoidi aşağıdaki özellikleri sağlar.

(i) {\displaystyle G} grupoidi, nesnelerden oluşan bir {\displaystyle \operatorname {obj} (G)} kümesi içermektedir.

(ii) {\displaystyle G} grupoidi, her {\displaystyle x,y\in } {\displaystyle \operatorname {obj} (G)} nesneleri için {\displaystyle x} ’ten {\displaystyle y} ’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir {\displaystyle \operatorname {mor} (x,y)} kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir {\displaystyle f} morfizması {\displaystyle f\colon x\to y} şeklinde gösterilir.

(iii) Her {\displaystyle x\in } {\displaystyle \operatorname {obj} (G)} nesnesi için {\displaystyle \operatorname {id} _{x}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)} ’dir.

(iv) Her {\displaystyle x,y,z\in G_{0}} için {\displaystyle x} ’ten {\displaystyle y} ’ye giden ve {\displaystyle y} ’den {\displaystyle z} ’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır:

{\displaystyle \operatorname {comp} _{x,y,z}\colon \operatorname {mor} (y,z)\times \operatorname {mor} (x,y)\to \operatorname {mor} (x,z)}

{\displaystyle (g,f)\mapsto gf}

(v) Her {\displaystyle x,y\in } {\displaystyle \operatorname {obj} (G)} için {\displaystyle x} nesnesinden {\displaystyle y} nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır:

{\displaystyle \operatorname {inv} } {\displaystyle \colon } {\displaystyle \operatorname {mor} (x,y)} {\displaystyle \to } {\displaystyle \operatorname {mor} (y,x)}

{\displaystyle f\mapsto f^{-1}}

{\displaystyle \operatorname {inv} } fonksiyonu her {\displaystyle f\colon x\to y} , {\displaystyle g\colon y\to z} ve {\displaystyle h\colon z\to w} morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:

• {\displaystyle f\operatorname {id} _{x}=f} ve {\displaystyle \operatorname {id} _{y}f=f} .

• {\displaystyle (hg)f=h(gf)} .

• {\displaystyle ff^{-1}=} {\displaystyle \operatorname {id} _{y}} ve {\displaystyle f^{-1}f=} {\displaystyle \operatorname {id} _{x}} .

Bağlı Grupoid

Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her {\displaystyle x,y\in G} için mor {\displaystyle (x,y)} kümesi boş kümeden farklı ise {\displaystyle G} ’ye bağlı grupoid denir.

Örnekler Grup Olarak

Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak ( {\displaystyle \mathbb {Z} ,+} ) grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. {\displaystyle \mathbb {Z} } kümesini ve {\displaystyle +\colon \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} } operatörünü ele alacağız. Rastgele {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} } alalım.

(i) Bileşim: (a+b) ve (b+c)’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığın- dan {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} elde edilir.

(ii) Tersinirlik: Her {\displaystyle a\in \mathbb {Z} } için {\displaystyle a^{-1}} vardır ve {\displaystyle a^{-1}=-a\in \mathbb {Z} } olur. Bunun yanı sıra {\displaystyle (-a)+a=0\in \mathbb {Z} } {\displaystyle a+(-a)=0\in \mathbb {Z} } özellikleri de sağlanır.

(iii) Özdeşlik: {\displaystyle (a+b)} tanımlı olduğu için

• {\displaystyle a+b+b^{-1}=a+0=a} ,

• {\displaystyle a^{-1}+a+b=0+b=b} ,

Sonuç olarak ( {\displaystyle \mathbb {Z} ,+} ) bir grupoiddir.

Lineer Fonksiyonlar

Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer(doğrusal) fonksiyonlar olan bir {\displaystyle G} kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak {\displaystyle G} ’in bir grupoid olduğunu gösterelim.

(i) {\displaystyle \operatorname {obj} (G)} {\displaystyle =\left\{V\mid V\ {\text{bir vektör uzayı}}\right\}}

(ii) {\displaystyle \operatorname {mor} (G)} {\displaystyle =\left\{V\to V\mid T\ {\text{ birebir ve örten lineer fonksiyon}}\right\}}

(iii) Rastgele bir {\displaystyle V\in } {\displaystyle \operatorname {obj} (G)} nesnesi alalım. Bariz bir şekilde {\displaystyle id_{V}\colon V\to V} birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan {\displaystyle id_{V}\in } mor( {\displaystyle G} ) olur.

(iv) Herhangi üç {\displaystyle V,U,W\in } {\displaystyle \operatorname {obj} (G)} nesneleri alalım. {\displaystyle \operatorname {mor} (G)} kümesinden {\displaystyle T_{1}\colon V\to U} ve {\displaystyle T_{2}\colon U\to W} şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. {\displaystyle T_{1}} ve {\displaystyle T_{2}} ’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. {\displaystyle T_{2}T_{1}\colon V\to W} şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.

• İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve {\displaystyle T_{1}} ile {\displaystyle T_{2}} birebir olduğundan ötürü {\displaystyle T_{2}T_{1}} birebirdir.

• İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan {\displaystyle T_{2}T_{1}} örten bir fonksiyon olur.

• İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden {\displaystyle T_{2}T_{1}} de lineer bir fonksiyon olur.

Sonuç olarak {\displaystyle T_{2}T_{1}\in } mor( {\displaystyle V,W} ) olur ve dolayısıyla

{\displaystyle \operatorname {comp} _{V,U,W}\colon \operatorname {mor} (U,W)\times \operatorname {mor} (U,V)\to \operatorname {mor} (V,W)}

{\displaystyle (T_{2},T_{1})\mapsto T_{2}T_{1}}

şeklinde tanımlanabilir.

(v) Herhangi iki {\displaystyle V,U\in } {\displaystyle \operatorname {obj} (G)} nesneleri ve rastgele bir {\displaystyle T\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (V,U)} morfizması ele alalım. {\displaystyle T} birebir ve örten olduğundan {\displaystyle T^{-1}\colon U\to V} vardır. {\displaystyle T} lineer bir fonksiyon olduğundan {\displaystyle T^{-1}} de lineerdir. Sonuç olarak {\displaystyle T^{-1}\in } {\displaystyle \operatorname {mor} (U,V)} olur.

Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan {\displaystyle T_{1}\in } mor( {\displaystyle V,U} ), {\displaystyle T_{2}\in } mor( {\displaystyle U,W} ) ve {\displaystyle T_{3}\in } mor( {\displaystyle W,Z} ) morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:

• {\displaystyle T_{1}\operatorname {id} _{V}=T_{1},\operatorname {id} _{U}T_{1}=T_{1}} .

• {\displaystyle (T_{3}T_{2})T_{1}(x)=T_{3}(T_{2}T_{1})(x),\forall x\in V}.

• {\displaystyle T_{1}T_{1}^{-1}=\operatorname {id} _{U},T_{1}^{-1}T_{1}=\operatorname {id} _{V}} .

Sonuç olarak {\displaystyle G} bir grupoiddir.