User:İlaydaserbes/sandbox

Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde, bir grupoid (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır), grup kavramını birden fazla eşdeğer yolla genelleştirmiştir. Bir grupoid şu şekilde görülebilir:


 * İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup;


 * Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup. Bu tür bir kategori, grup teorisine benzetilerek "ters" olarak adlandırılan tekli bir işlemle artırılmış olarak görülebilir. Yalnızca bir nesnenin olduğu bir grupoid, bir gruptur.

Grupoidler genellikle manifold lar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıttı.

Tanımlar
Bir $$\ f \colon X \to Y$$ fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir $$A \subseteq X$$ alt kümesi için $$\ f \colon A \to Y$$ şeklinde tanımlı fonksiyona kısmi fonksiyon denir.

Grup Teorisinde Grupoid
Bir $$\ G $$ grupoidi $${}^{-1}\colon G \to G$$ şeklinde tanımlı tekli işlem ile $$\ * \colon G \times G \to G$$ kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her $$a, b, c \in G$$ için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir küme dir.

(i) Bileşim: Eğer $$(a*b)$$ ve $$(b*c)$$ tanımlı ise $$(a*b)*c$$ $$ = a*(b*c)$$ ’dir.

(ii) Tersinirlik:$$\ a^{-1} * a $$ ve $$\ a * a^{-1} $$ tanımlıdır.

(iii) Özdeşlik: Eğer $$\ a * b $$ tanımlı ise

• $$ a*b*b^{-1} = a $$,

• $$ a^{-1}*a*b = b $$.

Ek olarak da

• $$(a^{-1})^{-1} = a $$

• $$(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} $$ özellikleri sağlanır.

Kategori Teorisinde Grupoid
Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir.

Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel $$G$$ grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar.

(i) $$G$$ grupoidi, nesnelerden oluşan bir $$\operatorname{ob}(G)$$ kümesi içermektedir.

(ii) $$G$$ grupoidi, her $$x,y \in $$ $$\operatorname{ob}(G)$$ nesneleri için $$x$$’ten $$y$$’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir $$\operatorname{mor}(x,y)$$ kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir $$f$$ morfizması $$f \colon x \to y$$ şeklinde gösterilir.

(iii) Her $$x \in $$ $$\operatorname{ob}(G)$$ nesnesi için $$\operatorname{id}_x \in $$ mor$$(x, x)$$’dir.

(iv) Her $$x, y, z \in \operatorname {ob} (G)$$ için $$x$$’ten $$y$$’ye giden ve $$y$$’den $$z$$’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır: $$\operatorname{comp}_{x,y,z}$$ $$ \colon $$ $$\operatorname{mor}(y, z)\times \operatorname{mor}(x,y)\to \operatorname{mor}(x, z)$$

$$(g,f)\mapsto gf$$ (v) Her $$x, y \in $$ $$\operatorname{ob}(G)$$ için $$x$$ nesnesinden $$y$$ nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır: $$\operatorname{inv}\colon \operatorname{mor}(x, y)\to \operatorname{mor}(y,x)$$

$$f \mapsto f^{-1}$$

ve $$\operatorname{inv}$$ fonksiyonu her $$f \colon x \to y $$, $$g \colon y \to z $$ ve $$h \colon z \to w $$ morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:

• $$f \operatorname{id}_x =f$$ ve $$\operatorname{id}_y f=f$$.

• $$(hg)f = h(gf)$$.

• $$ff^{-1} =$$ $$\operatorname{id}_y$$ ve $$f^{-1}f =$$ $$\operatorname{id}_x$$.

Bağlı Grupoid
Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her $$ x, y \in G$$ için mor$$(x,y) $$ kümesi boş kümeden farklı  ise $$G$$’ye bağlı grupoid denir.

Grup Olarak
Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak ($$\Z ,+$$) grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. $$\Z$$ kümesini ve $$ + \colon \Z \times \Z \to \Z$$ operatörünü ele alacağız. Rastgele $$a, b, c \in \Z$$ alalım.

(i) Bileşim: (a+b) ve (b+c)’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığın- dan $$(a + b) + c = a + (b + c)$$ elde edilir.

(ii) Tersinirlik: Her $$a \in \Z$$ için $$a^{-1}$$ vardır ve $$ a^{-1} =-a \in \Z$$ olur. Bunun yanı sıra $$(-a) + a = 0 \in \Z$$ $$a + (-a) = 0 \in \Z$$ özellikleri de sağlanır.

(iii) Özdeşlik: $$(a + b)$$ tanımlı olduğu için

• $$ a+b+b^{-1} =a+0 =a $$,

• $$ a^{-1} +a+b =0+b =b $$ olur.

Sonuç olarak ($$ \Z, +$$) bir grupoiddir.

Lineer Fonksiyonlar
Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir $$G$$ kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak $$G$$’in bir grupoid olduğunu gösterelim.

(i) $$\operatorname{ob}(G)$$ $$ = \left\{ V \mid V \text{bir vektör uzayı} \right\}$$.

(ii) $$\operatorname{mor}(G)$$ $$ = \left\{ T\colon V \to W \mid T \text{ birebir ve örten lineer fonksiyon} \right\}$$

(iii) Rastgele bir $$ V \in$$ $$\operatorname{ob}(G)$$ nesnesi alalım. Bariz bir şekilde $$ \operatorname{id}_V \colon V \to V$$ birim fonksiyonu birebir örten ve lineer olduğundan $$ \operatorname{id}_V \in $$ $$\operatorname{mor}(G)$$ olur.

(iv) Herhangi üç $$V, U, W \in $$ $$\operatorname{ob}(G)$$nesneleri alalım. $$\operatorname{mor}(G)$$ kümesinden $$ T_1 \colon V \to U$$ ve $$ T_2 \colon U \to W$$ şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. $$T_1$$ ve $$T_2$$’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. $$T_2 T_1 \colon V \to W$$ şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.

• İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve $$T_1$$ ile $$T_2$$ birebir olduğundan ötürü $$T_2 T_1$$ birebirdir.

• İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan $$T_2 T_1$$ örten bir fonksiyon olur.

• İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden $$T_2 T_1$$ de lineer bir fonksiyon olur. Sonuç olarak $$T_2 T_1 \in $$ mor$$(V, W)$$ olur ve dolayısıyla $$\operatorname{comp}_{V,U,W} \colon \operatorname{mor}(U,W) \times \operatorname{mor}(U,V)\to  \operatorname{mor}(V,W) $$

$$(T_2,T_1)\mapsto T_2T_1 $$ şeklinde tanımlanabilir. (v) Herhangi iki $$V,U \in $$ $$\operatorname{ob}(G)$$ nesneleri ve rastgele bir $$T \in $$ $$\operatorname{mor}(V,U)$$ morfizması ele alalım. $$T$$ birebir ve örten olduğundan $$T^{-1} \colon U \to V$$ vardır. $$T$$ lineer bir fonksiyon olduğundan $$T^{-1}$$ de lineerdir. Sonuç olarak $$T^{-1} \in $$ $$\operatorname{mor}(U, V)$$ olur.

Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan $$T_1 \in$$ $$\operatorname{mor}(V,U)$$, $$T_2 \in $$ $$\operatorname{mor}(U,W)$$ ve $$T_3 \in $$ $$\operatorname{mor}(W, Z)$$ morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır: •$$T_1 \operatorname{id}_V =T_1, \operatorname{id}_U T_1 =T_1$$.

•$$(T_3 T_2) T_1 (x) = T_3 (T_2 T_1) (x), \forall x \in V$$.

•$$T_1 T_1 ^{-1} =\operatorname{id}_U ,T_1 ^{-1} T_1=\operatorname{id}_V $$. Sonuç olarak $$G$$ bir grupoiddir.

Topolojik Uzay
Herhangi bir $$X$$ topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir. Bu yolların kümesine $$G$$ diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım:

(i) $$\operatorname{ob}(G)$$ $$ = X $$

(ii) $$\operatorname{mor}(G)$$ $$ = \left\{ [ \varphi ] \mid \varphi \colon [0,1] \to X \text{ bir yol} \right\}$$

(iii) Rastgele bir $$ x \in X $$ nesnesi alalım. $$ \operatorname{id}_x \colon x \to x $$ fonksiyonunun $$x$$’ten $$x$$’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim. $$ \operatorname{id}_x \colon [0, 1] \to X $$ şeklinde tanımlı bir yol olup bariz bir şekilde $$ \operatorname{id}_x \in [\operatorname{id}_x]$$. Sonuç olarak $$ \operatorname{id}_x \in $$ $$\operatorname{mor}G(x,x)$$.

(iv) Rastgele $$ x, y, z \in $$ $$\operatorname{ob}(G)$$alalım. Herhangi iki $$ [\varphi_1] \in $$ $$\operatorname{mor}G(x, y)$$, $$[\varphi_2] \in $$ $$\operatorname{mor}G(y, z)$$ morfizmalarını düşünelim. O zaman

$$[\varphi_2][\varphi_1] \colon $$ $$\operatorname{mor}G(y, z) \times$$$$\operatorname{mor}G(x, y) \to $$ $$\operatorname{mor}G(x, z)$$

$$(\varphi_2, \varphi_1) \mapsto [\varphi_2][\varphi_1]$$

$$[\varphi_2][\varphi_1] = [\varphi_2 \varphi_1]$$ iyi tanımlıdır, çünkü $$ \varphi_2 \varphi_1 \colon x \to z$$ şeklinde $$X$$ uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak $$[\varphi_2][\varphi_1] \in $$ $$\operatorname{mor}G(x, z)$$’dır.

(v) Rastgele $$x, y \in $$$$\operatorname{ob}(G)$$ve $$[\varphi] \in $$ $$\operatorname{mor}G(x, y)$$ alalım. Bariz bir şekilde $$[\varphi^{-1} ]\in $$ $$\operatorname{mor}G(y, x)$$'dir.

Tanımların denkliği
Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir. İspatını yaparken, bir $$G$$ grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

$$G$$ grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla $$\operatorname{ob}(G)$$ ve $$\operatorname{mor}(G)$$ diyelim. Rastgele bir $$x \in $$ $$\operatorname{ob}(G)$$ nesnesi alalım. O halde $$x$$’ten x’e giden morfizmaların kümesi şu şekilde gösterilir:

$$\operatorname{mor}G(x,x) \colon = \{ \varphi  \colon \ x \to x\}$$

Bu kümenin bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim. (i) Bileşim: Rastgele $$\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 \in $$ $$\operatorname{mor}G(x,x)$$ alalım. $$G$$’nin kategori teorisindeki tanımına göre $$\varphi_1 \varphi_2$$ ve $$\varphi_2 \varphi_3$$ tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre $$(\varphi_1 \varphi_2)\varphi_3 = \varphi_1(\varphi_2 \varphi_3)$$ özelliği sağlanır.

(ii) Tersinirlik: Herhangi bir $$ \varphi \in $$ mor$$G(x,x)$$ morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla $$\varphi$$’nin de tersi vardır ve $$\varphi^{-1} \colon x \to x$$ olur. Yani $$ \varphi^{-1} \in $$ $$\operatorname{mor}G(x,x)$$. Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre $$\varphi \varphi^{-1} = id_x$$ ve $$ \varphi^{-1} \varphi = id_x $$ olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.

(iii) Özdeşlik: Herhangi iki $$\varphi_1, \varphi_2 \in $$ $$\operatorname{mor}G(x,x)$$ morfizmaları alalım. $$\varphi_1 \varphi_2 \in $$ $$\operatorname{mor}G(x,x)$$ olduğunu biliyoruz. O halde • $$\varphi_1 \varphi_2 \varphi_2^{-1} = \varphi_1 id= \varphi $$

• $$\varphi_1 ^{-1} \varphi_1 \varphi_2 = id \varphi_2 = \varphi_2 $$

• $$( \varphi_1^{-1})^{-1} = \varphi_1 $$ ve

• $$(\varphi_1 \varphi_2)^{-1} = \varphi_2^{-1} \varphi_1^{-1}$$ özellikleri sağlanır.

Şimdi de grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan $$G$$ grupoidinin kategori teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim. $$*$$ operatörünü fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini oluşturalım. $$f, g \in $$ $$\operatorname{mor}G(x,x)$$olacak şekilde; (i) ob$$(G)$$ $$ = \left\{ ff^{-1} \mid f \in G \right\}$$

(ii) mor$$(ff^{-1}, gg^{-1}) $$ $$ = \left\{ \alpha \in G \mid \exist ff^{-1} \alpha , \exist \alpha gg^{-1} \right\}$$ kümeleri $$G$$ grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre (i) ve (ii) sağlanmış olur.

(iii) Rastgele bir $$ ff^{-1} \in $$ obj$$(G)$$ nesnesi olsun. $$ id ff^{-1} \colon ff^{-1} \to ff^{-1} $$ şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun mor$$ ( ff^{-1}, ff^{-1} ) $$ kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. $$G$$’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı $$ ff^{-1} id ff^{-1} = ff^{-1} \in G $$ ve $$ id ff^{-1} ff^{-1} = ff^{-1} \in G $$ özellikleri sağlanacağından $$ id ff^{-1} \in $$ mor$$ ( ff^{-1}, ff^{-1} ) $$ olur.

(iv) Herhangi üç $$ff^{-1},gg^{-1},hh^{-1} \in $$ obj$$(G)$$ nesnelerini ele alalım. Rastgele iki $$\alpha_1 \in$$ mor$$ ( ff^{-1}, gg^{-1} ) $$, $$\alpha_2 \in $$ mor$$ ( gg^{-1} , hh^{-1} ) $$ morfizmaları olsun. $$\alpha_2 \alpha_1$$’nın mor$$(ff^{-1}, hh^{-1})$$ olduğunu gösterelim. $$\alpha_2, \alpha_1 \in G $$ olduğundan $$\alpha_2 \alpha_1 \in G$$ olur dolayısıyla $$ff^{-1} \alpha_2 \alpha_1 \in G $$ ve $$\alpha_2 \alpha_1 hh^{-1}$$ elde edilir. Sonuç olarak, $$\alpha_2 \alpha_1 \in $$ mor$$(ff^{-1},hh^{-1})$$ olur.

(v) Rastgele $$ ff^{-1},gg^{-1} \in $$ obj$$(G)$$ nesneleri ve $$ \alpha \in $$ mor$$ ( ff^{-1}, gg^{-1} ) $$ morfizmasını ele alalım ve $$\alpha_1 \in $$mor$$(gg^{-1},ff^{-1})$$ olduğunu gösterelim. G,grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından $$\alpha^{-1} \in G$$olmaktadır. $$\alpha \in $$mor$$(ff^{-1},gg^{-1})$$ olduğundan $$ff^{-1} \alpha \in G $$ ve $$\alpha gg^{-1} \in G$$ sağlanmaktadır. Yine $$G$$’nin sağladığı tanımdan dolayı $$gg^{-1} \alpha^{-1} = (\alpha gg^{-1})^{-1} $$ ve $$\alpha^{-1} ff^{-1} = (ff^{-1} \alpha)^{-1}$$ olduğu görülür. Sonuç olarak $$gg^{-1} \alpha^{-1}, \alpha^{-1} ff^{-1} \in G $$ sağlanarak $$\alpha^{-1} \in $$ mor$$(gg^{-1},ff^{-1})$$ elde edilmiş olur.

Öte yandan ob$$(G)$$ kümesi üzerinde $$ ff^{-1} \sim gg^{-1} \Leftrightarrow ff^{-1} = gg^{-1} $$ olacak şekilde bir $$\sim$$ ilişkisi vardır.

Sonuç olarak $$G$$ bir kategoridir.

Önermeler
Denklik bağıntısı ile ilişkisi

$$\sim$$ ilişkisi, ob$$(G)$$ üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: $$f \in $$ mor$$ _G (x, x)$$ olan rastgele bir $$ff^{-1} \in $$ obj$$(G)$$ alalım. Bariz bir şekilde $$ ff^{-1} $$ olur. Dolayısıyla $$gg^{-1} \sim ff^{-1} $$’dir. Böylelikle $$ \sim $$ bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele $$ ff^{-1}, gg^{-1} , hh^{1} \in $$ obj$$(G)$$ alalım. $$ ff^{1} \sim gg^{1} $$ ve $$ gg^{-1} \sim hh^{-1} $$ olduğunu varsayalım ve $$ ff^{-1} \sim hh^{-1} $$ olduğunu gösterelim. $$ ff^{-1} \sim gg^{-1} $$ ve $$ gg^{-1} \sim hh^{-1} $$ olduğundan; $$ ff^{-1} = gg^{1} $$ ve $$ gg^{1} = hh^{-1}$$ olur. Buradan da $$ ff^{-1} = hh^{-1} $$ eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla $$ ff^{-1} \sim hh^{-1} $$’dir. Sonuç olarak $$ \sim $$ ilişkisi ob$$(G)$$ kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi

Kategori teorisel herhangi bir $$G$$ grupoidi alalım, bütün $$ x \in $$ obj$$(G)$$ için, mor$$(x, x)$$ bir gruptur. Kanıtını açıklayalım;

• Kapalılık: Rastgele $$f,g \in $$ mor$$(x,x)$$ alalım. $$fg$$ bileşke fonksiyonu da $$x$$’ten $$x$$’e giden bir morfizma olacağından mor$$(x, x)$$ kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.

• Bileşim: Herhangi $$f,g,h \in $$ mor$$(x,x)$$ alalım. $$G$$ grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre $$f(gh) = (fg)h$$ eşitliği sağlandığından bileşke işlemi mor$$(x, x)$$ kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.

• Birim eleman: $$G$$ grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre $$ \forall x \in $$ obj$$(G)$$, $$ id_x \in $$ mor$$(x,x)$$ olduğundan ve $$f id_x = f, id_x f = f$$ özellikleri sağlandığından birim eleman $$id_x$$ vardır ve tektir.

• Ters eleman: Rastgele bir $$f \in $$ mor$$(x,x)$$ alalım. $$G$$’nin kategori teorisindeki tanımından $$f^{-1} \in $$ mor$$(x,x)$$’dir ve $$ ff^{-1} = id_x $$ ve $$ f^{-1}f = id_x $$ olmaktadır.

Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi

$$G$$ bağlı bir grupoid olsun. Rastgele $$x, y \in $$ obj$$(G)$$ alalım.

Bir $$ \eta \in $$ mor$$(y, x)$$ morfizması için $$ \varphi_{ \eta } \colon $$ mor$$(x, x) \to$$ mor$$(y, y)$$ öyle ki $$ \gamma \mapsto \eta \gamma \eta^{-1} $$ bir grup izomorfizmasıdır. Yani:

(i) $$ \varphi_{ \eta } $$ bir grup homomorfizmasıdır.

(ii) $$ \varphi_{ \eta } $$ birebirdir.

(iii) $$ \varphi_{ \eta } $$ örtendir.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:


 * Rastgele $$ \gamma_1 \gamma_2 \in$$ mor$$(x, x)$$ alalım. O halde,

$$ \varphi_{ \eta } ( \gamma_1 \gamma_2) = \eta \gamma_1 \gamma_2 \eta^{-1}$$

$$= \eta \gamma_1 \eta^{-1} \eta \gamma_2  \eta^{-1} $$

$$= \varphi_{ \eta } (\gamma_1) \varphi_{ \eta } (\gamma_2) $$

Sonuç olarak $$ \varphi_{ \eta } $$ bir grup homomorfizmasıdır.


 * Herhangi iki $$ \gamma_1 \gamma_2 \in $$ mor$$(x,x)$$ alalım ve $$ \varphi_{ \eta } (\gamma_1) = \varphi_{ \eta } (\gamma_2)$$ olsun. O halde,

$$ \eta \gamma_1 \eta^{-1} = \eta \gamma_2 \eta^{-1} $$

$$ \gamma_1 \eta^{-1} = \gamma_2  \eta^{-1} $$

$$ \gamma_1 = \gamma_2$$

O halde $$\varphi_{ \eta }$$ birebirdir.


 * Görüntü kümesinden yani mor$$(y,y)$$’den bir f elemanı alalım. O halde öyle bir $$ \gamma \in $$ mor$$(x,x)$$ arıyoruz ki

$$ \varphi_{ \eta }( \varphi ) = f $$ olsun. O halde $$ \gamma = \eta^{-1} f \eta$$ alırsak

$$ \varphi_{ \eta }( \gamma ) = \varphi_{ \eta }( \eta^{-1} f \eta )  = \eta ( \eta^{-1} f \eta ) \eta^{-1} = (\eta \eta^{-1} )f ( \eta \eta^{-1} ) = f $$ olur. O halde $$\varphi_{ \eta }$$ örtendir.

Sonuç olarak $$\varphi_{ \eta }$$ bir grup izomorfizmasıdır.

Notlar
Rastegele bir $$ x \in $$ ob$$(G)$$ için mor$$(x, x)$$ grubuna $$G$$ grupoidinin temel grubu adı verilir.