User:Ненад Крстески/sandbox

Во теоретската физика и математичката физика  'аналитична механика' , или  'теоретската механика'  е збир на тесно поврзани алтернативни формулации на класичната механика. Таа била развиена од страна на многу научници и математичари во текот на 18 век па натаму, по Њутновата механика. Од Њутновата механика се смета дека вектор количини на движење, особено забрзување и моментата, сила и, од составните делови на системот, алтернативно име за механика регулирано со законите на Њутн и законот Ојлер е '' векторска механика '

Спротивно на тоа, аналитички механика користи својства од  скалар  на движење застапување на системот како целина-обично неговата вкупна кинетичка енергија и потенцијална енергија - не векторските сили на Њутн и на одделните честички. Скалар е количеството, додека векторот е претставен со количеството и насоката. Равенките на движење се добиени од производната страна на основниот принцип за скаларен   варијација.

Аналитичка механика носи предност на системот на  ограничувања  за да ги решат проблемите. Ограничувања на степени на слобода на системот може да има, и може да се користат за да се намали бројот на координати потребни за да се реши  движењето. Формализмот е добро прилагодени за произволен избор на координати, познат во контекстот како генерализирана координати. Кинетичка и потенцијална енергија на системот се изразени преку овие генерализирани координати или momenta и равенки на движење може лесно да се постави, со што се овозможува аналитичката механика и бројни механички проблеми да се решаваат со поголема ефикасност од целосно векторски методи. Тоа не е секогаш работа за не - конзервативна сила или распространети сили како триење, во кој случај еден може да се врати Њутновата механика, или да користите Udwadia-Kalaba равенка.

Двете доминантни гранки на аналитички механика се Лагрангиан механика (со користење на генерализирани координати и соодветните генерализиранаи брзини, во конфигурацискиот простор), и Хамилтониан механика (со користење на координати и соодветните momenta во фаза простор). И двете формулациите се еквивалентни од страна на Legendre трансформација на генерализирани координати, брзина, и momenta, па затоа и ги содржи истите информации за опишување на динамиката на системот. Постојат и други формулации како Хамилтон-Jacobi теорија, Routhian механика и равенка на движење Appell е. Еден резултат е теоремата на Noether, изјава која ги поврзува законот за конзервација и на нивните придружни симетрија.

Аналитичка механика не се вовела во новата физика и не е поопшта од Њутновата механика. Тоа е збирка на еквивалент формализми кои имаат широка примена. Всушност, истите принципи и формализми може да се користат во релативистичката механика и општата релативност, и со некоја модификација, и во квантната механика и квантната областа теорија, исто така.

Аналитичка механика се користи нашироко, од основните физика па се до применета математика, особено во теоријата на хаосот

Методите на аналитички механика се однесуваат на дискретни честички, секоја со ограничен број на степени на слобода. Таа може да се модифицира за да се опишат континуирани полиња или течности, кои имаат бесконечни степени на слобода. Дефинициите и равенки имаат блиска аналогија со оние на механиката.

Внатрешни движења

 * Генерализирана координати и ограничувања

Њутновата механика, вообичаено ги користи сите три Декартови координати, или други 3D координатен систем, се однесува на функција тело за време на нејзиното движење. Во физички системи, сепак, во некоја структура или друг систем обично се ограничува движењето на телото од преземање на одредени правци и патеки. Значи целосен сет на Декартови координати често се непотребни, бидејќи ограничувања се утврдени на развојот на односите меѓу координати, кои односи можат да се моделираат со равенки кои одговараат на ограничувања. Во Lagrangian и Hamiltonian формализми, ограничувањата се приклучуваат на геометријата на движење, намалување на бројот на координати, кои се потребни за да се моделира минимално движење. Познати се и како генерализирани координати, denoted qi (i = 1, 2, 3...).

 'Разликата меѓу криволиниски и генерализирана координати' 

Генерализираните координати се вклучуваат во ограничувања на системот. Постои еден генерализиран координат  qi  за секој степен на слобода (за погодност означен со индекс  i = 1, 2...N''), односно секој начин, системот може да го промени  конфигурација; како криволиниска должина и агол на вртење. Генерализираните координати не се исти како и криволиниски координати. Бројот на  криволиниски  координати чија ширина е еднаква на димензијата на просторот, каде што положба е прашање (обично 3 за 3D простор), а бројот на  општи  координати не е нужно еднаква на оваа димензија; може да се намали бројот на степени на слобода (оттука и бројот на генерализирана координати потребни за дефинирање и конфигурирање на системот), по правило:


 * [dimension of position space (usually 3)] × [number of constituents of system ("particles")] − (number of constraints)
 * = (number of degrees of freedom) = (number of generalized coordinates)

За систем со 'N' 'степени на слобода, генерализирано координати можат да се соберат во една' 'N' '- торка:


 * $$\mathbf{q} = (q_1,q_2,\cdots q_N) $$

и временски извод (овде означена со overdot) на овој торка ќе даде  генерализирана брзина :


 * $$\frac{d\mathbf{q}}{dt} = \left(\frac{dq_1}{dt},\frac{dq_2}{dt},\cdots \frac{dq_N}{dt}\right) \equiv \mathbf{\dot{q}} = (\dot{q}_1,\dot{q}_2,\cdots \dot{q}_N) $$.


 * D'Alembert's principle

Фондацијата на која субјектот е изграден е според  Принципот на D'Alembert .

Во овој принцип се наведува дека бесконечна  виртуелна работа  направена од страна на сила низ реверзибилно преместување е нула, што ја означува работата направена од страна на сила во согласност со идеална ограничувања на системот за работа. Идејата за ограничување е корисна - бидејќи тоа го ограничува она што може да се направи на системот, и може да обезбеди чекори за решавање за движење на системот. Равенката принцип на D'Alembert е :
 * $$\delta W = \boldsymbol{\mathcal{Q}}\cdot\delta\mathbf{q} = 0 \,,$$

каде што:


 * $$\boldsymbol{\mathcal{Q}} = (\mathcal{Q}_1,\mathcal{Q}_2,\cdots \mathcal{Q}_N)$$

се генерализирана сили (се користи скрипта П наместо обична П за да се спречи судир со канонските трансформации подолу) и  'q'  се генерализирани координати. Ова води до генерализирана форма на законите на Њутн на јазикот на аналитички механика:
 * $$\boldsymbol{\mathcal{Q}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \mathbf{\dot{q}}} \right ) - \frac {\partial T}{\partial \mathbf{q}}\,,$$

каде што T е вкупната кинетичка енергија на системот, и нотацијата


 * $$\frac {\partial }{\partial \mathbf{q}}=\left(\frac{\partial }{\partial q_1},\frac{\partial }{\partial q_2},\cdots \frac{\partial }{\partial q_N}\right)$$

is a useful shorthand (see matrix calculus for this notation). Holonomic constraints

Ако криволинискиот координатен систем се дефинира од страна на стандард позиција вектор  'R' , и ако векторот на позиција може да се запише во однос на општи координати  'q'  и време  t  во следнава форма:


 * $$\mathbf{r} = \mathbf{r}(\mathbf{q}(t),t)$$

и оваа врска со ова важи за сите времиња  t , потоа  'q'  се нарекува  холономично ограничување . Вектор  'R'  експлицитно зависи од  t  во случаите кога ограничувања варираат со време, не само затоа што на  'q'  (  t ). Vo време na независнa ситуациa, ограничувањето исто така се нарекува  ' scleronomic' , за временски зависни случаи тие се нарекуваат  ' rheonomic' .

Lagrangian mechanics
Lagrangian и Олјерова–Lagrange equations

Воведувањето на генерализирана координати и основните на Lagrangian функцијата:


 * $$L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) = T(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) - V(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)$$

каде што  Т  е вкупната кинетичка енергија и  V  е вкупната потенцијална енергија на целиот систем, а потоа или по Анализа на варијации или со користење на горната формула стигнуваме до до Ојлер-Лагранж равенки;


 * $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}}}\right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \,,$$

кои се збир на  N  во втор ред на обична диференцијална равенка, по еден за секоја qi(t). Оваа формулациja го идентификува вистинскиот пат проследен  на барањето за избор на патот во кое  време е составен и кинетичката енергија е најмала рака, под претпоставка дека вкупната потрошувачка на енергија да биде фиксна, и наметнување услови на времето на транзит.

Configuration space

Формулацијата на Лагрангиан се користи како конфигурација за простор на системот,set на сите можни општи координати:


 * $$\mathcal{C} = \{ \mathbf{q} \in \mathbb{R}^N \}\,,$$

where $$\mathbb{R}^N$$ is N-dimensional real space (see also set-builder notation). The particular solution to the Euler–Lagrange equations is called a (configuration) path or trajectory, i.e. one particular q(t) subject to the required initial conditions. The general solutions form a set of possible configurations as functions of time:
 * $$\{ \mathbf{q}(t) \in \mathbb{R}^N \,:\,t\ge 0,t\in \mathbb{R}\}\subseteq\mathcal{C}\,,$$

Просторот за конфигурација може да се дефинира поопшто, и навистина подлабоко, во однос на тополошки колектор и и тангентниот пакет.