User:אור ונעמי/sandbox

במתמטיקה, הלמה של יונדה היא תוצאה חשובה בתורת הקטגוריות.

אינטואיציה
הלמה של יונדה מצדיקה את העיסוק בתורת הקטגוריות: באופן לא פורמלי, הלמה אומרת שהתכונות של אובייקט בקטגוריה נקבעות באופן מלא על פי המורפיזמים אליו (או ממנו).

הקדמה
תהי $$\mathcal{C}$$ קטגוריה קטנה מקומית (כלומר קבוצות המורפיזמים הן ממש קבוצות ולא מחלקות).

כל אובייקט $$U\in\mathcal{C}$$ מגדיר באופן טבעי פונקטור ל$$ \mathbf{Set} $$, הנקרא hom-functor, או $$ Yoneda(U)$$:

$$h_U = \mathrm{Hom}(U,-)$$

הפונקטור $$h_U$$ שולח אובייקט $$X \in \mathcal{C}$$ לקבוצת המורפיזמים $$\mathrm{Hom}(U,X)$$, ומורפיזם $$\mathcal{C} \ni f:X \to Y $$ למורפיזם $$f \circ -$$ (הרכבה של $$f$$ משמאל) השולח מורפיזם $$g \in \mathrm{Hom}(U,X)$$ למורפיזם $$h_U(f)(g)=f \circ g \in \mathrm{Hom}(U,Y)$$.

ניסוח הלמה
יהי $$F:\mathcal{C} \to \mathbf{Set}$$ פונקטור מקטגוריה קטנה מקומית $$ \mathcal{C} $$ ל-$$ \mathbf{Set} $$. אז קיים איזומורפיזם קנוני

$$\mathrm{Nat} (h_U, F) \cong F(U) $$

משפט קיילי מתורת החבורות
בתורת החבורות, משפט קיילי קובע כי כל חבורה איזומורפית לתת חבורה של חבורה סימטרית כלשהי.

המשפט הוא מקרה פרטי של הלמה של יונדה: עבור חבורה $$ G $$ נגדיר את הקטגוריה $$ \mathcal{C} _G $$ בה אובייקט יחיד $$ X $$ והמורפיזמים הם איברי החבורה $$ \mathrm{Hom}(X,X)=G $$ (הרכבה של מורפיזמים מוגדרת לפי הכפל בחבורה, ומורפיזם הזהות הוא איבר היחידה).

נבחר את הפונקטור $$ F=h_X= \mathrm{Hom}(X,-{)} $$ ונקבל איזומורפיזם $$ \mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(X,-),\mathrm{Hom}(X,-))\cong \mathrm{Hom}(X,X)=G $$. כלומר השולח את $$ X $$ אל קבוצת הבסיס של $$ G $$ שנסמן ב$$ S_G $$, ומורפיזם $$ g \in G $$ לפעולת הכפל משמאל ב-$$ g $$. הלמה של יונדה נותנת לנו איזומורפיזם בין $$ F(X) = G $$ ל$$ \mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(X,-),S) $$, כלומר

בחירה של פונקטור מ$$ \mathcal{C} _G $$ ל-$$ \mathbf{Set} $$ היא בחירה של קבוצה $$ S $$ (אליה ישלח האובייקט היחיד בקטגוריה), ופעולה של החבורה על הקבוצה (כלומר לאילו העתקות $$ S \to S $$ ישלחו איברי החבורה).

על פי הלמה של יונדה, בחירה של פונקטור מהקטגוריה שהגדרנו ל-$$ \mathbf{Set} $$ מגדירה איזומורפיזם