User:反殷芳

反殷芳, with real name Billy Chow, is an editor of Wikipedia, who is fond of maths and science.

My calculation for trignometry

 * $$\sin 31^\circ=\tfrac{\left \lbrack 2\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{2} \left ( \sqrt{5}-1 \right ) \right \rbrack \left \lbrace \sqrt[3]{\sqrt{6 \left ( 5+\sqrt{5} \right )}+ \sqrt{5}-1+\left \lbrack \sqrt{2 \left ( 5+\sqrt{5} \right )}-\sqrt{3}\left ( \sqrt{5}-1 \right ) \right \rbrack \mathrm i} + \sqrt[3]{\sqrt{6 \left ( 5+\sqrt{5} \right )}+ \sqrt{5}-1-\left \lbrack \sqrt{2 \left ( 5+\sqrt{5} \right )}-\sqrt{3}\left ( \sqrt{5}-1 \right ) \right \rbrack \mathrm i} \right \rbrace - \left \lbrack 2\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{2} \left ( \sqrt{5}-1 \right ) \right \rbrack \left \lbrace \sqrt[3]{\sqrt{6 \left ( 5+\sqrt{5} \right )}+ \sqrt{5}-1+\left \lbrack \sqrt{2 \left ( 5+\sqrt{5} \right )}-\sqrt{3}\left ( \sqrt{5}-1 \right ) \right \rbrack \mathrm i} - \sqrt[3]{\sqrt{6 \left ( 5+\sqrt{5} \right )}+ \sqrt{5}-1-\left \lbrack \sqrt{2 \left ( 5+\sqrt{5} \right )}-\sqrt{3}\left ( \sqrt{5}-1 \right ) \right \rbrack \mathrm i} \right \rbrace \mathrm i}{32}\,$$

Chemical equations included in Chinese junior secondary school chemistry textbooks
Note: the chart is in Chinese, and because of the formulae displayed in Wikipedia is not compatible with Chinese characters, the conditions needed in each reaction are NOT WRITTEN IN THE EQUATIONS and are shown in the column next to it.

解析几何基本公式
在平面直角坐标系中： $$ y = kx + b $$ $$ y - y_0 = k(x - x_0)$$ $$ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ $$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$ $$ y = a(x - h)^2 + k$$ $$ y = a(x - x_1)(x - x_2) $$ $$ AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$ $$ d = \frac{\left\vert Ax_0 + By_0 + C \right\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ $$ d = \frac{\left\vert b_1 - b_2 \right\vert}{\sqrt{k^2 + 1}} $$ 直线l1到l2的角为：$$ \tan \theta = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} $$ 直线l1与l2的夹角为：$$ \tan \theta = \left\vert \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right\vert $$ 注： 直线l1与l2的夹角指直线l1与l2相交时所成的锐角或直角（$$ 0 \leqslant \theta \leqslant 90^\circ $$） $$M(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$$ $$G(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$$ 注：其它几心过于复杂，宜自行推导 $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$ 令圆心与直线间距离为d，两方程联立后判别式为$$\Delta$$，则 $$ d = \frac{\left\vert Aa + Bb + C \right\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
 * 一次函数有以下形式：
 * 1) 斜截式：若一次函数斜率为k，y轴上截距为b，则：
 * 1) 点斜式：若一次函数斜率为k，图像经过点$$ (x_0, y_0) $$，则：
 * 1) 两点式：若一次函数图像经过点$$ (x_1, y_1) $$和点$$ (x_2, y_2) $$，则：
 * 1) 截距式：若一次函数x轴上截距为a，y轴上截距为b，则：
 * 1) 一般式：$$ Ax + By + C = 0 $$
 * 二次函数有以下形式：
 * 1) 一般式：$$ y = ax^2 + bx + c $$
 * 2) 顶点式：若二次函数顶点为$$ (h,k) $$，二次项系数为a，则：
 * 1) 两点式：若二次函数图像交x轴于$$ (x_1,0) $$和$$ (x_2,0) $$，二次项系数为a，则：
 * 若有点$$ A(x_1, y_1) $$和点$$ B(x_2, y_2) $$，则点A，B间距离为：
 * 若有点$$ P(x_0, y_0) $$，直线$$ l: Ax + By + C = 0 $$，则点P到直线l距离为：
 * 若有平行线$$ l_1: y = kx + b_1 $$和$$ l_2: y = kx + b_2 $$，则两直线间距离为：
 * 若直线l1斜率为k1，直线l2斜率为k2，且$$ k_1k_2\ne -1 $$则
 * 1) 直线l1到l2的角指从直线l1逆时针旋转到l2所需的角度（$$ 0 \leqslant \theta \leqslant 180^\circ $$）；
 * 1) 若l1⊥l2，则：$$ k_1k_2 = -1 $$
 * 若有点$$ A(x_1, y_1) $$和点$$ B(x_2, y_2) $$，则线段AB中点坐标为
 * 若有三点点$$ A(x_1, y_1) $$，点$$ B(x_2, y_2) $$，点$$ C(x_3, y_3) $$，则三角形重心坐标为：
 * 若$$ \odot O $$圆心为$$ (a,b) $$，半径为r，则圆的方程为：
 * 直线$$ l: Ax + By + C = 0 $$与圆$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$之间的位置关系判断：
 * 1) $$ d > r \Leftrightarrow$$ 相离 $$\Leftrightarrow \Delta < 0$$
 * 2) $$ d = r \Leftrightarrow$$ 相切 $$\Leftrightarrow \Delta = 0$$
 * 3) $$ d < r \Leftrightarrow$$ 相交 $$\Leftrightarrow \Delta < 0$$

对戴芊问题的回答：函数f(x)=sin(kx)cos(jx)的周期
显然$$ f(x)=\sin kx \cos jx = \frac{1}{2}\left[ \sin(k+j)x + \sin(k-j)x \right] $$

令$$ p = k+j $$，$$ q = k-j $$，则有$$ f(x)= \frac{1}{2}\left( \sin px + \sin qx \right) $$

$$ \Rightarrow f\left(x + \frac{2\pi}{n}\right)= \frac{1}{2}\left[ \sin \left(px + \frac{2p \pi}{n}\right) + \sin \left(qx + \frac{2q \pi}{n}\right) \right] $$

∵sin(x)的周期为$$2\pi$$，∴$$\frac{2p \pi}{n}$$与$$\frac{2q \pi}{n}$$皆为$$2\pi$$的整数倍，即$$\frac{p}{n},\frac{q}{n} \in \mathbb{Z} $$

情况一：若$$ p, q \in \mathbb{Z} $$，则$$ n \mid p ,\ n \mid q $$. 又由于$$ T $$为最小正周期，$$ n = \gcd(\left\vert p \right\vert, \left\vert q \right\vert) $$. 故$$ T = \frac{2 \pi}{\gcd(\left\vert k+j \right\vert, \left\vert k-j \right\vert)} $$

情况二：若$$ p \notin \mathbb{Z} \cup q \notin \mathbb{Z} $$，

1) 若$$ \left( p \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \right) \cup \left( q \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \right) \Rightarrow f(x) $$非周期函数

2) 若$$ \left( p \in \mathbb{Q} \right) \cap \left( q \in \mathbb{Q} \right) $$，不妨令$$ p = \frac{a_1}{b_1} $$，$$ q = \frac{a_2}{b_2} $$，$$ a_1, a_2, b_1, b_2 \in \mathbb{Z}, \ \gcd(a_1, b_1) = \gcd(a_2, b_2) = 1 $$

则$$ \frac{a_1}{b_1 n} ,\ \frac{a_2}{b_2 n} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{1}{a_1 n} ,\ \frac{1}{b_1 n} \in \mathbb{Z} $$

易知$$ n = \frac{1}{\operatorname{lcm}(\left\vert b_1 \right\vert, \left\vert b_2 \right\vert)} \Rightarrow T = 2 \operatorname{lcm}(\left\vert b_1 \right\vert, \left\vert b_2 \right\vert) \pi $$

对戴芊问题的回答：数列通项的不动点求法
首先要明白这样一个出题的逻辑：命题者肯定是先列出一个不那么复杂的数列关系（譬如某多项式倒数呈等差数列），然后将其进行处理，使其变得复杂. 因此，我们宜从结果开始，倒推出这一方法适用的题型.

$$ \left\{\frac{1}{a_n - x} \right\} $$为等差数列……①

$$ \Leftarrow \frac{1}{a_{n+1} - x} - \frac{1}{a_{n} - x} = d $$……②

$$ \Leftarrow a_{n+1} = \frac{(xd + 1)a_n - x^2d}{da_n - xd + 1} $$……③

令$$ m_1 = xd + 1 $$，$$ n_1 = -x^2d $$，$$ m_2 = d $$，$$ n_2 = -xd + 1 $$. 则显然①适用于形如$$ a_{n+1} = \frac{m_1 a_n + n_1}{m_2 a_n + n_2} $$的递推关系. 由于将$$ x $$同时带入③中的$$a_{n+1} ,\ a_n$$，左右相等恒成立，也就证明了不动点法求解的正确性.

关于 cosx=x 的解
方程$$ \cos x = x $$ 的解为:

$$ x = \frac{\pi}{2} \exp \left [ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{\arctan \tfrac{(\pi x +2) \ln \left (\tfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{x}\right )x }{x^2 \ln^2 \left (\tfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{x}\right ) - \pi x - 1}}{x}\, dx \right ] $$

问题一
求解：$$ f(x) + f(x)f'(x) = x $$

问题二
计算$$ (2+i)^{1+i} $$（以复数的代数形式表示）

问题三
电脑上有一种输入法，其中的字符满足如下规则：同一个拼音中，若选择一个字打出，下一次输入同样拼音时，该字将被置顶. 现输入一特定拼音，选择打出其中第$$ n $$个字. 问：至少需要经过多少次相同操作，才能使输入法的排序恢复至打出该字前？