User:4dimensionalUSB/sandbox

La modellazione della turbolenza è la rappresentazione, attraverso un modello matematico, degli effetti della turbolenza sulla fluido dinamica di un flusso. La necessità di questi modelli è legata alla non chiusura delle equazioni di Navier-Stokes, quando esse vengono scritte applicando il processo di Reynolds averaging. La ricerca in questo ambito ha subito una accelerazione dagli anni '60, con lo sviluppo del trasporto aereo commerciale e l'incremento nella disponibilità di potenza computazionale. I flussi turbolenti rappresentano la maggior parte dei flussi presenti nel mondo reale (ad esempio il flusso dell'aria su un'ala d'aereo, come il flusso del sangue all'interno del sistema cardiovascolare ). La non esistenza di una soluzione analitica per flussi turbolenti (eccetto che per i casi più semplici), implica la necessità di utilizzare metodi simulativi per prevedere il comportamento e l'evoluzione di un flusso turbolento.

Il problema della chiusura
Le equazioni fondamentali della fluido dinamica sono rappresentate nel set delle equazioni di Navier-Stokes. La risoluzione di questo set di equazioni permette di prevedere il comportamento di un flusso, dal punto di vista cinematico e termodinamico. Vista la natura intrinsecamente tridimensionale, tempo dipendente e randomica della turbolenza, diversi approcci statistici sono stati sviluppati per catturarne gli effetti sul flusso medio. Per catturare questa caratteristica dei flussi turbolenti, ogni quantità del flusso può essere scritta come somma della media e della fluttuazione del campo stesso. Le equazioni ottenute mediando le Navier-Stokes riscritte utilizzando questa decomposizione sono chiamate Reynolds-Averaged Navier Stokes (RANS) equations. Questa procedura di media presenta diverse proprietà, e in particolare quando essa viene applicata al prodotto di componenti medie e fluttuanti risulta che:
 * La media di una componente fluttuante è nulla:
 * $$ \overline{\phi'} = 0 $$


 * La media del prodotto di una componente media e di una fluttuante è nulla:
 * $$ \overline{\phi'\phi} = \overline{\phi'} \overline{\phi} = 0 $$


 * La media del prodotto di 2 componenti fluttuanti è diversa da zero:
 * $$ \overline{\phi' \phi'} \neq 0 $$

In particolare questa ultima proprietà del processo di media applicata alle equazioni della conservazione della quantità di moto e dell'energia porta all'emergere di componenti che non possono essere determinate analiticamente, ma che richiedono di una trattazione modellistica. Per l'equazione della quantità di moto (considerando le proprietà del fluido come costanti): $$ \frac{\partial \rho \textbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \textbf{U}\textbf{U}) = \rho \textbf{g} - \nabla P + \mu \nabla^2\textbf{U} + \frac{1}{3} \nabla\left(\nabla \cdot \textbf{U}\right) $$

E guardando in particolare alla media del termine convettivo:

$$ \overline{\nabla \cdot \rho \left(\overline{\textbf{U}} + \textbf{u'} \right) \otimes \left(\overline{\textbf{U}} + \textbf{u'} \right) } $$

Che sviluppando il prodotto tra i termini, può essere scritto come:

$$ \nabla \cdot \left(\rho \overline{\textbf{U}} \otimes \overline{\textbf{U}}\right) + \nabla \cdot \left(\rho \overline{\textbf{u'} \otimes \textbf{u'}}\right)$$

Il secondo termine rappresenta gli stress di Reynolds. Fisicamente, questi stress rappresentano l'effetto del trasporto turbolento sul flusso, come aumento della diffusività e della miscelazione all'interno di flussi turbolenti. Svolgendo il prodotto si può osservare che il tensore degli stress di Reynolds può essere scritto come una componente simmetrica e una deviatorica:

$$ \overline{\overline{r}} = -\rho \begin{bmatrix} \overline{u^2} & \overline{uv} & \overline{uw} \\ \overline{vu} & \overline{v^2} & \overline{vw} \\ \overline{wu} & \overline{wv} & \overline{w^2} \end{bmatrix} $$

Dove la componente simmetrica può essere scritta come: $$ tr(\overline{\overline{r}}) = -\rho (\overline{u^2} + \overline{v^2} +\overline{w^2}) = -2 \rho k$$

Dove $$k$$ rappresenta la energia cinetica turbolenta. La necessità di trovare un modello per il tensore degli stress di Reynolds dà origine al problema della chiusura.

Eddy viscosity
Un primo approccio per trovare una chiusura al set delle RANS fu quello proposto da Joseph Valentin Boussinesq, introducendo l'idea della eddy viscosity. Boussinesq propose di modellare la componente deviatorica ($$ \overline{\overline{a}}$$) del tensore degli stress di Reynolds in analogia con la legge di sforzo/deformazione di Newton:

$$ \overline{\overline{a}} = \overline{\overline{r}} + \rho \frac{2}{3} k = -2 \mu_t \overline{D_{ij}}$$

Dove $$\overline{D_{ij}} $$ rappresenta il tensore delle deformazioni medie. Specificando un valore per la viscosità turbolenta $$ \mu_t$$, il problema risulta chiuso. Questo modello risulta applicabile per casi in cui una componente del gradiente di velocità risulta dominante, come nel caso di strati limite turbolenti, getti, o scie. In questi casi infatti una singola componente della velocità risulta dominante, e il termine preponderante nel tensore degli stress di Reynolds risulta essere quello dovuto al gradiente di velocità trasversale. La assunzione di Boussinesq si riduce allora a: $$ -\rho \overline{uv} = \mu_t \frac{\partial U}{\partial y} $$

Lunghezza di miscelazione
Successivamente a Boussinesq, Taylor (1915) e successivamente Prandtl (1925) introdussero il concetto di lunghezza di miscelazione (mixing length). Questa idea nasce dall'appllicazione del modello di Boussinesq allo strato limite. Considerando ancora un flusso quasi monodimensionale, in presenza di un gradiente di velocità trasversale ($$\frac{\partial U}{\partial y} $$), il tensore degli stress di Reynolds può essere scritto come:

$$ -\rho \overline{uv} = \mu_t \frac{\partial U}{\partial y} \propto l_t u_t \frac{\partial U}{\partial y}$$

Dove $$ \mu_t$$ è stato scritto come il prodotto di una lunghezza $$ l_t$$ chiamata lunghezza di miscelazione e della $$ u_t$$, la perturbazione di velocità prodotta dal vortice. La lunghezza di miscelazione rappresenta quindi la massima distanza di influenza del vortice stesso. Se consideriamo il gradiente normale di velocità e questa distanza, è possibile scrivere la $$ u_t$$ come funzione della $$ l_t$$. Sostituendo, si può quindi trovare che:

$$ -\rho \overline{uv} \propto l_t^2 (\frac{\partial U}{\partial y})^2 $$

Riducendo il problema alla modellazione della lunghezza di miscelazione. Questo termine risulta più facile da stimare rispetto alla viscosità turbolenta. Su questo modello si basa la legge di parete che descrive il comportamento della velocità per flussi vicino alla parete, in condizioni in assenza (o con ridotti) gradienti di pressione.