User:Alberto Rodríguez Ruiz/sandbox

Objetivos y metodología
Este trabajo tiene como objetivo el estudio de los campos físicos escalares y vectoriales que definen un fluido que discurre por un canal. Este estudio se ha realizado en dos dimensiones, y para la visualización de los campos y el cálculo numérico de algunas integrales se han empleado los programas Matlab y Octave UPM.

El campo que vamos a tratar viene definido por los siguientes campos:

Campo vectorial de velocidades: $$\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}$$

Campo escalar de presiones: $$p(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)$$

Campo escalar de temperatura: $$T(x,y)=e^{-(x-1)^2+y^2}$$

Donde $$μ$$ es el coeficiente de viscosidad del fluido, $$p_1$$ es la presión en los puntos x = 1 y $$p_2$$ es la presión en los puntos x = 2

Representación del espacio ocupado por el fluido
El fluido objeto del estudio se halla ocupando el espacio delimitado por el rectángulo [0,4] x [-1,2].

Para representar gráficamente dicho dominio, crearemos el siguiente programa en MATLAB:



Ecuación de Navier-Stokes estacionaria
Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Reciben su nombre de Claude-Louis Navier (1785-1836) y George Gabriel Stokes (1819-1903).

En este caso vamos a trabajar con la ecuación de Navier Stokes estacionaria, cuya expresión es la que sigue:

$$\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} $$

Donde $$\vec{u}(x,y)$$ y $$p(x,y)$$ son los campos de velocidades y presiones del fluido descritos en la introducción, y $$μ$$ es el coeficiente de viscosidad del fluido.

La misma ecuación empleando índices será:

$$(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i $$

Operando se tiene:

- El gradiente de $$\vec{u}(x,y)$$ :

$$((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y}  \\ \frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y}  \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}  \\ 0 & 0  \\   \end{pmatrix} $$

- El gradiente de $$p(x,y)$$ :

$$\begin{pmatrix} (\nabla\ p)_1 \\ (\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x} \\ \frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

- El laplaciano de $$\vec{u}(x,y)$$:

$$\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})$$

$$\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{\partial (y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2} {2μ})}{\partial x} +\frac{\partial 0}{\partial y} = 0$$

De este resultado se extrae que, al ser la divergencia nula, se cumple la condición de incompresibilidad. Esto implica que el fluido es incompresible (ni se comprime ni se expande) por lo que siempre ocupa el mismo volumen.

Para calcular el rotacional consideramos el campo en 3 dimensiones con z = 0:

$$\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= -(1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}$$

$$\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & 0 & -(1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \end{vmatrix}= \frac{p_1-p_2}{μ}\vec{i}$$

Luego $$\Delta\vec{u} = \frac{p_2-p_1}{μ}\vec{i}$$

Finalmente, sustituyendo en la ecuación:

$$\begin{pmatrix} 0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}  \\ 0 & 0  \\   \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\ 0 \\   \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= μ\begin{pmatrix} \frac{p_2-p_1}{μ} \\ 0 \end{pmatrix} $$

Queda demostrado.

Definición
El campo vectorial de velocidades objeto del estudio, viene definido por la siguiente expresión:

$$\vec{u}(x,y) = \frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{i}$$

Representación gráfica
Para representarlo gráficamente, suponemos:

$$p_1=2$$

$$p_2=1$$

$$\mu=1$$

$$\vec{u}(x,y) = \frac{y(1-y)(2-1)}{2}\vec{i}$$

Creamos a continuación el siguiente programa en MATLAB:



Velocidad máxima
Los puntos correspondientes a la máxima velocidad del fluido, se determinarán igualando la primera derivada del campo de velocidades a cero:

$$\vec{u}(x,y) = \frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{i}$$

$$\frac{\partial }{\partial y}u(x,y) = \frac{(1-2y)(p_1-p_2)}{2\mu} = 0$$

$$1-2y=0$$

$$y=0.5$$

El resultado obtenido puede verificarse fácilmente observando la representación gráfica del campo de velocidades.

Rotacional del campo de velocidades
El rotacional del campo de velocidades es:

$$\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= -(1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}$$

Definición
El campo escalar de presiones objeto del estudio, viene definido por la siguiente expresión:

$$p(x,y) = p_1+(p_2-p_1)(x-1)$$

Representación gráfica
Para representarlo gráficamente, suponemos:

$$p_1=2$$

$$p_2=1$$

$$\mu=1$$

$$p(x,y) =x-1$$

Creamos a continuación el siguiente programa en MATLAB:



Definición
Dada la ecauación de la temperatura a lo largo del canal: T(x; y) =e^{-(x-1)^2+y^2

Representación gráfica
Para obtener su representacion nos ayudamos de Octave UPM:

Comprobamos a continuación que el gradiente de temperaturas es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

Para ello escribimos el siguiente programa en MATLAB:



Ampliando al recinto [1.25; 1.75] x [0.25; 0.75] se puede apreciar mejor la ortogonalidad:



Definición
Las líneas de corriente vienen definidas por [...]

Representación gráfica
Creamos a continuación el siguiente programa en MATLAB:



Ecuación de Navier-Stokes estacionaria
Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Reciben su nombre de Claude-Louis Navier (1785-1836) y George Gabriel Stokes (1819-1903).

En este caso vamos a trabajar con la ecuación de Navier Stokes estacionaria, cuya expresión es la que sigue:

$$\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} $$

Donde $$\vec{u}(x,y)$$ y $$p(x,y)$$ son los campos de velocidades y presiones del fluido descritos en la introducción, y $$μ$$ es el coeficiente de viscosidad del fluido.

La misma ecuación empleando índices será:

$$(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i $$

Operando se tiene:

- El gradiente de $$\vec{u}(x,y)$$ :

$$((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y}  \\ \frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y}  \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}  \\ 0 & 0  \\   \end{pmatrix} $$

- El gradiente de $$p(x,y)$$ :

$$\begin{pmatrix} (\nabla\ p)_1 \\ (\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x} \\ \frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

- El laplaciano de $$\vec{u}(x,y)$$:

$$\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})$$

$$\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{\partial (y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2} {2μ})}{\partial x} +\frac{\partial 0}{\partial y} = 0$$

De este resultado se extrae que, al ser la divergencia nula, se cumple la condición de incompresibilidad. Esto implica que el fluido es incompresible (ni se comprime ni se expande) por lo que siempre ocupa el mismo volumen.

Para calcular el rotacional consideramos el campo en 3 dimensiones con z = 0:

$$\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= -(1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}$$

$$\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & 0 & -(1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \end{vmatrix}= \frac{p_1-p_2}{μ}\vec{i}$$

Luego $$\Delta\vec{u} = \frac{p_2-p_1}{μ}\vec{i}$$

Finalmente, sustituyendo en la ecuación:

$$\begin{pmatrix} 0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}  \\ 0 & 0  \\   \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\ 0 \\   \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= μ\begin{pmatrix} \frac{p_2-p_1}{μ} \\ 0 \end{pmatrix} $$

Queda demostrado.