User:Aldair Kaddaur

MILTON THEOREM FOR A QUADRILATERAL AREA

The area of a quadrangular region is equal to the product of the lengths of one of its sides (b) with the perpendicular (h) drawn to that side, from the point of intersection of the side opposite to it, with the line that passes through them. midpoints of the diagonals of the quadrilateral.


 * $$[ABCD] = b \cdot h $$



PROOF



Let P be a point of the line that passes through the midpoints of the diagonals of a quadrilateral, as shown in Figure 2, then we can notice that thanks to the midpoints, you can obtain congruent right triangles, some of sides " a  and others of legs  b '' as perpendicular to said line, then:
 * $$ 2[APB] = m(a + b)  $$
 * $$ 2[DPC] = n(a + b)  $$
 * $$ 2([APB] + [DPC]) = (a + b)(m + n)  $$

From the above it is demonstrated that the sum of areas [APB] + [DPC] is constant, for all points P on the indicated line, while these regions share only the point P.

But the value of this constant, that is to say of the constant sum of the areas of the regions [APB] + [DPC] can be easily known, since, as the point P belongs to the line that passes through the midpoints of the diagonal, then it is enough to locate the point P at the midpoint of one of those diagonals and you can notice that [APB] + [DPC] is equal to half the area of the quadrangular region ABCD



Finally, we have from figure 2 that if the point P we place on one of the sides, for example in BC as shown in the figure of the statement of the theorem, and since:
 * $$ [APB] + [DPC] = [ABCD]/2  $$

so
 * $$ [APB] + [DPC] = [APD]  $$

then
 * $$ 2[APD] = [ABCD]  $$

but
 * $$ 2[APD] = b\cdot h $$

then it is easily proved that
 * $$ [ABCD] = b \cdot h $$

PERPENDICULAR SURFACE

In a quadrangular region, the line that passes through the midpoints of its diagonals intersects either side of the quadrilateral or its extensions. The perpendiculars drawn from these points of intersection to opposite sides will be called perpendiculars of the quadrilateral surface. They exist for any quadrilateral, four of these segments with ends aligned in the indicated straight line.



The above definition will help mainly to be able to simplify the statement of the theorem. Since the theorem can be stated as follows:

''The area of any quadrangular region is equal to the product of the length of one of its sides with the perpendicular of surface relative to said side. ''

QUADRILATERAL OF REGION NOT CONVEXA



PARTICULAR SITUATIONS

Cuadrilateral, Parallelogram, Trapeze




 * 1) 3333

 TEOREMA DE MILTON DONAIRE PARA EL ÁREA DE UN CUADRILÁTERO 

El área de una región cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de intersección del lado opuesto a él, con la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero.


 * $$[ABCD] = b \cdot h $$



DEMOSTRACIÓN



Sea P un punto de la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero, como se observa en la Figura 2, luego podemos notar que gracias a los puntos medios, se pueden obtener triángulos rectángulos congruentes, unos de catetos a y otros de catetos b como perpendiculares a dicha recta, entonces:
 * $$ 2[APB] = m(a + b)  $$
 * $$ 2[DPC] = n(a + b)  $$
 * $$ 2([APB] + [DPC]) = (a + b)(m + n)  $$

De lo anterior queda demostrado que la suma de áreas [APB] + [DPC] es constante, para todo punto P sobre la recta señalada, mientras que dichas regiones compartan únicamente el punto P.

Pero el valor de esa constante, es decir de la suma constante de las áreas de las regiones [APB] + [DPC] se puede conocer fácilmente, ya que, como el punto P pertenece a la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, entonces basta con ubicar el punto P en el punto medio de una de esas diagonales y se podrá notar que [APB] + [DPC] es igual a la mitad del área de la región cuadrangular ABCD



Finalmente, Se tiene de la figura 2 que si el punto P lo ubicamos sobre uno de los lados, por ejemplo en BC como se muestra en la figura del enunciado del teorema, y ya que:
 * $$ [APB] + [DPC] = [ABCD]/2  $$

entonces
 * $$ [APB] + [DPC] = [APD]  $$

de donde
 * $$ 2[APD] = [ABCD]  $$

pero
 * $$ 2[APD] = b\cdot h $$

entonces se prueba facilmente que
 * $$ [ABCD] = b \cdot h $$

PERPENDICULAR DE SUPERFICIE

En una región cuadrangular, la recta que pasa por los puntos medios de sus diagonales interseca a cada lado del cuadrilátero o a sus prolongaciones. Las perpendiculares trazadas desde estos puntos de intersección hacia los lados opuestos las denominaremos perpendiculares de superficie del cuadrilátero. Existen para cualquier cuadrilátero, cuatro de estos segmentos con extremos alineados en la recta señalada.



La definición anterior ayudará principalmente para poder simplificar el enunciado del teorema. Ya que el teorema se podrá enunciar como sigue:

El área de cualquier región cuadrangular es igual al producto de la longitud de uno de sus lados con la perpendicular de superficie relativa a dicho lado.

CUADRILÁTERO DE REGIÓN NO CONVEXA



ANALOGÍAS CON TRAPECIOS Y PARALELOGRAMOS

En la siguiente figura se tienen algunas situaciones particulares que se presentan en el paralelogramo y el trapecio



Teoremas Relacionados

 * Fórmula de Herón, para el área de un triángulo.
 * Teorema de Pitágoras, para los lados de un triángulo.

Referencias

 * Formas Y Números

Enlaces externos

 * Matemáticas Educativas
 * Fórmula de Herón y Brahmagupta
 * Formula de Milton
 * Formula de Milton