User:Ale va991/sandbox

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In matematica, un semigruppo C0 è una generalizzazione della funzione esponenziale. Analogamente alle funzioni esponenziali, che forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in $$\R$$, i semigruppi C0 forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in spazi di Banach generici. Questo tipo di equazioni compare ad esempio nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Definizione
Un semigruppo C0 su uno spazio di Banach $$X$$ è una mappa $$ T : \mathbb{R}_+ \to  L(X)$$ (l'insieme degli operatori lineari continui da $$X$$ in $$X$$) tale che Le prime due condizioni sono di natura algebrica e affermano che $$T$$ è una rappresentazione del semigruppo $${(\mathbb{R}_+,+)}$$; l'ultima è topologica ed è equivalente ad affermare che $$T$$ è continua nella topologia operatoriale forte.
 * 1) $$ T(0) = I $$,   (operatore identità su $$X$$)
 * 2) $$\forall t,s \ge 0 : \ T(t + s) = T(t) T(s)$$
 * 3) $$\forall x_0 \in X: \ \|T(t) x_0 - x_0\| \to 0$$, as $$t\downarrow 0$$.

Generatore infinitesimale
Il generatore infinitesimale A di un semigruppo C0 T è definito come


 * $$ A\,x = \lim_{t\downarrow0} \frac1t\,(T(t)- I)\,x $$

dove il limite esiste. Il dominio di A, D(A), è l'insieme delle x∈X per le quali questo limite esiste; D(A) è un sottospazio lineare e A è lineare sul dominio. L'operatore A è chiuso, ma non necessariamente limitato, e il dominio è denso in X.

Il semigruppo C0 T con generatore A è spesso indicato con il simbolo eAt.

Semigruppo C0 uniformemente continuo
Un semigruppo C0 uniformemente continuo è un semigruppo C0 T tale che vale


 * $$ \lim_{t \to 0^+} \| T(t) - I \| = 0 $$.

In questo caso, il generatore infinitesimale A di T è limitato e abbiamo


 * $$ \mathcal{D}(A)=X $$

e


 * $$ T(t) = e^{At}:=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}t^k. $$

Al contrario, ogni operatore limitato


 * $$A \colon X \to X$$

è il generatore infinitesimale di un semigruppo C0 uniformemente continuo dato da


 * $$ T(t) := e^{At}$$.

Un operatore lineare A è quindi il generatore infinitesimale di un semigruppo C0 uniformemente continuo se e solo se A è un operatore lineare limitato. Se X è uno spazio di Banach finito-dimensionale, allora ogni semigruppo C0 è uniformemente continuo. Per un semigruppo C0 non uniformemente continuo il generatore infinitesimale non è limitato. In questo caso, $$e^{At}$$ potrebbe non convergere.

Problema di Cauchy astratto
Si consideri il problema di Cauchy astratto
 * $$u'(t)=Au(t),u(0)=x,$$

dove A è un operatore chiuso su uno spazio di Banach X e x∈X. Sono possibili due definizioni di soluzione del problema:
 * una funzione differenziabile con continuità u:[0,&infin;)→X è detta una soluzione classica del problema di Cauchy se u(t) ∈ D(A) per ogni t > 0 e soddisfa le condizioni iniziali,
 * una funzione continua u:[0,∞) → X è detta una soluzione debole del problema i Cauchy se
 * $$\int_0^t u(s)\,ds\in D(A)\text{ e }A \int_0^t u(s)\,ds=u(t)-x.$$

Ogni soluzione classica è anche soluzione debole. Una soluzione debole è una soluzione classica se e solo se è differenziabile con continuità.

Il seguente teorema collega i semigruppi C0 con i problemi di Cauchy astratti.

Teorema  Sia A un operatore chiuso su uno spazio di Banach X. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: Quando valgono le precedenti affermazioni, la soluzione del problema di Cauchy è data da u(t) = T(t)x dove T è il semigruppo C0 generato da A.
 * 1) per ogni x∈X esiste un'unica soluzione debole del problema di Cauchy astratto,
 * 2) l'operatore A genera un semigruppo C0,
 * 3) l'insieme risolvente di A è non vuoto e per ogni x ∈ D(A) esiste un'unica soluzione classica del problema di Cauchy.

Teoremi di generazione dei semigruppi C0
Analogamente allo studio dei problemi di Cauchy, di solito l'operatore lineare A è dato e la domanda è se questo generi o meno un semigruppo C0. I teoremi che rispondo a questa domanda sono detti teoremi di generazione. Una caratterizzazione completa degli operatori che generano un semigruppo C0 è data dal Teorema di Hille-Yosida. Di maggiore importanza pratica sono le condizioni (molto più facili da verificare) del Teorema di Lumer-Phillips.

Stabilità esponenziale
Il growth bound di un semigruppo T è la costante


 * $$ \omega_0 = \inf_{t>0} \frac1t \log \| T(t) \|. $$

E' così chiamata in quanto è anche il limite inferiore dell'insieme dei numeri reali ω tali che esiste una costante M (≥ 1) con


 * $$\|T(t)\| \leq Me^{\omega t}$$

per ogni t ≥ 0.

Le seguenti asserzioni sono equivalenti:
 * 1) Esistono M,ω>0 tali che per ogni t ≥ 0: $$\|T(t)\|\leq M{\rm e}^{-\omega t},$$
 * 2) Il growth bound è negativo: ω0 < 0,
 * 3) Il semigruppo converge a 0 nella topologia operatoriale uniforme: $$\lim_{t\to\infty}\|T(t)\|=0$$,
 * 4) Esiste t0 > 0 tale che $$\|T(t_0)\|<1$$,
 * 5) Esiste t1 > 0 tale che il raggio spettrale di T(t1) è strettamente minore di 1,
 * 6) Esiste p ∈ [1, ∞) tale che per ogni x∈X: $$\int_0^\infty\|T(t)x\|^p\,dt<\infty$$,
 * 7) Per ogni p ∈ [1, ∞) e ogni x ∈ X: $$\int_0^\infty\|T(t)x\|^p\,dt<\infty.$$

Un semigruppo che soddisfa queste condizioni equivalenti è detto esponenzialmente stabile o uniformemente stabile (in letteratura una qualsiasi tra le prime tre condizioni viene presa come definizione). Il fatto che le condizioni Lp sono equivalenti alla stabilità esponenziale è il teorema di Datko-Pazy.

Nel caso in cui X è uno spazio di Hilbert un'altra condizione in termini dell'operatore risolvente del generatore è equivalente alla stabilità esponenziale : ogni λ con parte reale positiva appartiene all'insieme risolvente di A e l'operatore risolvente è uniformemente limitato sul semipiano destro, i.e. (λI &minus; A)&minus;1 appartiene allo spazio di Hardy $$H^\infty(\mathbb{C}_+;L(X))$$ (teorema di Gearhart-Pruss).

Lo spectral bound di un operatore A è la costante
 * $$s(A):=\sup\{{\rm Re}\lambda:\lambda\in\sigma(A)\}$$,

con la convenzione che s(A) = &minus;∞ se lo spettro di A è vuoto.

Il growth bound di un semigruppo e lo spectral bound del suo generatore soddisfano la seguente relazione: s(A)≤ω0(T). The growth bound of a semigroup and the spectral bound of its generator are related by: s(A)≤ω0(T). Ci sono esempi in cui s(A) < ω0(T). La condizione s(A) = ω0(T) è detta spectral determined growth condition.

Stabilità asintotica
Un semigruppo C0 T è detto asintoticamente stabile se per ogni x ∈ X: $$\lim_{t\to\infty}\|T(t)x\|=0$$.

La stabilità esponenziale implica la stabilità asintotica, ma l'inverso non è generalmente vero se X è finito-dimensionale (è vero per X finito-dimensionale).

Le seguenti condizioni sufficienti per la stabilità esponenziale sono contenute nel teorema di Arendt-Batty-Lyubich-Phong: assumiamo che Allora T è asintoticamente stabile.
 * 1) T è limitato: esiste M ≥ 1 tale che $$\|T(t)\|\leq M$$,
 * 2) A non ha spettro residuo sull'asse immaginario, e
 * 3) Lo spettro di A contenuto nell'asse immaginario è numerabile.