User:Amire Shala/sandbox

Transformimet e Laplasit
Transformimi I Laplasit për sinjalin x(t) përkufizohet si :
 * $$ X(S) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}\, dt $$

Ku variableli s është madhësi komplekse s=σ+jω=Re[s]+jIm[s] Zbatim më të madh praktik ka transformimi njëanësore i Laplasit, ku merr parasysh vetem pjesën shkakesore të sinjalit x(t)
 * $$ X(s)=\int_0^\infty x(t)e^{-st}\, dt$$

Vetit e transformimit të Laplasit
Shumës së peshuar(kombinimit linear) të hyrjeve I përgjigjet kombinimi linear i transformimeve pëekatëse me pesha të njëjta.
 * Lineariteti -
 * $$~x_1(t) \leftrightarrow X_1(s) $$ dhe $$~x_2(t) \leftrightarrow X_2(s)$$
 * $$ax_1(t)+ bx_2(t)\leftrightarrow aX_1(s) + bX_2(s)$$

.Zona e konvergjencës së X(s) formohet nga bashkësia vlerave të s për të cilat bashkërisht konvergjojnë X₁(s) dhe X₂(s)

Sinjali i zhvendosur për tο çiftohet me transformimin
 * Zhvendosja në kohë:
 * $$~x(t-t_0) \leftrightarrow e^{-st_0} X(s)\ $$

.Vetia vlen pa kufizim vetëm për transformimin dyanësor, pra si për vlera pozitive ashtu edhe për vlera negative të zhvendosjes tο.Te transformimi njëanësor i. .Laplasit vetia vlen vetëm për vlera pozitive të t0, pra për tο<0 vetia nuk vlen.

Nëse $$~x(t) \leftrightarrow X(s)$$ atëherë vlen
 * Zhvendosja në domenin s
 * $$~e^{s_0t} x(t) \leftrightarrow X(s-s_0) $$

Zona e konvergjencës së $$ X(s-s_0) \ $$ zhvendoset për Re[sₒ] ndaj asaj të X(s).

Nëse $$~x(t) \leftrightarrow X(s)$$ dhe a ka vlerë reale atëherë vlen: $$~x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right )$$ Zona e konvergjencës gjithashtu shkallëzohet R₁=aR
 * Shkallëzimi në kohë

Nëse $$~x_1(t)\leftrightarrow X_1(s)$$ dhe $$~x_2(t) \leftrightarrow X_2 (s)$$, me zona të konvergjencës $$R_1$$, përkatësisht $$R_2$$, atëherë:
 * Vetia e thurjes në kohë
 * $$~x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)X_2(s)$$

Në qoftë se X(s) është transformimi njëanësor i x(t), atëherë për derivatin e x(t) vlen:
 * Vetia e diferencimit në kohë
 * $$~{dx(t)\over dt}\leftrightarrow sX(s)-x(0)$$

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë me atë të X(s), pos në rastin kur X(s) ka pol në s=0, me ç’rast ky pol anulohet dhe për rrjedhojë zona e konvergjencës ndryshon. Transformim dyanësor i rendit arbitrar të derivatit të x(t) merr trajtën:
 * $$~{d^m x(t)\over dt^m} \leftrightarrow s^m X(s)$$


 * Diferencimi në domenin s
 * $$~-tx(t)\leftrightarrow {dX(s)\over ds} $$

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë. Në rastin e përgjithshëm, për derivatin e n-të, vlen:
 * $$~(-1)^m t^m x(t) \leftrightarrow {d^m X(s)\over ds^m} $$


 * Integrimi në domenin kohor:
 * $$~\int_{-\infty}^t x(\lambda)\,d\lambda \leftrightarrow  \frac{X(s)}{s} \ $$

Vlera fillestare e sinjalit shkakësor $$ x(0)$$ mund të përcaktohet nga $$X(s)$$ përmes relacionit:
 * Terorema për vlerën fillestare:
 * $$x(0)=\lim_{s=\infty}{sX(s)} \ $$

Vlera fundore e sinjalit shkakësor x(t) mund të përcaktohet nga relacioni:
 * Teorema për pikën fundore:
 * $$x(\infty)=\lim_{s=0}{sX(s)} \ $$

Transformimi i kundërt i Laplasit
Baze per percaktim te shprehjes per transformim te kundert te Laplasit, mund te sherbejne shprehjet e cifteve transfomuese Furie.
 * Sipas interpretimit me te drejtperdrejt, transformimi Furie $$X(\omega)$$ paraqet vlerat e transformimit te Laplasit ,$$X(s)$$ , neper boshtin imagjinar $$ j\omega$$
 * $$X(s)=X(\sigma + j \omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{- \sigma t} e^{-j \omega t}= \int_{-\infty}^{\infty} [x(t)e^{- \sigma t} ] e^{-j \omega t}\,dt= F[x(t)e^{- \sigma t}]$$

Me kete shmanget problemi i perfshirjess se boshtit imagjinar ne zonen e konvergjences.
 * Transformimi i Laplasit i sinjalit x(t) mund te interpretohet edhe si transformim Furie i sinjalit $$ x(t)e^{- \sigma t}$$.
 * $$x(t)e^{ \sigma t}= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X( \sigma + j \omega )e^{j \omega t}\,d \omega$$

ose
 * $$x(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X( \sigma + j \omega )e^{( \sigma + j \omega )t}\,d \omega$$