User:AndrewPMurray

φ
$$\varphi = $$ 1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890 2449707207204189391137484754088075386891752126633862223536931793180060766726354 4333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116962070322210432 1626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104432 0771344947049565846788509874339442212544877066478091588460749988712400765217057 5179788341662562494075890697040002812104276217711177780531531714101170466659914 6697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829778347 8458782289110976250030269615617002504643382437764861028383126833037242926752631 1653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465490681131715993432 3597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790352406020 1727997471753427775927786256194320827505131218156285512224809394712341451702237 3580577278616008688382952304592647878017889921990270776903895321968198615143780 3149974110692608867429622675756052317277752035361393621076738937645560606059216 5894667595519004005559089502295309423124823552122124154440064703405657347976639 7239494994658457887303962309037503399385621024236902513868041457799569812244574 7178034173126453220416397232134044449487302315417676893752103068737880344170093 9544096279558986787232095124268935573097045095956844017555198819218020640529055 1893494759260073485228210108819464454422231889131929468962200230144377026992300 7803085261180754519288770502109684249362713592518760777884665836150238913493333 1223105339232136243192637289106705033992822652635562090297986424727597725655086 1548754357482647181414512700060238901620777322449943530889990950168032811219432 0481964387675863314798571911397815397807476150772211750826945863932045652098969 8555678141069683728840587461033781054443909436835835813811311689938555769754841 4914453415091295407005019477548616307542264172939468036731980586183391832859913 0396072014455950449779212076124785645916160837059498786006970189409886400764436 1709334172709191433650137157660114803814306262380514321173481510055901345610118 0079050638142152709308588092875703450507808145458819906336129827981411745339273 1208092893279222132980642946878242748740174505540677875708323731097591511776297 8443284747908176518097787268416117632503861211291436834376702350371116330725869 8832587103363222381098090121101989917684149175123313401527338438372345009347860 4979294599158220125810459823092552872124137043614910205471855496118087642657651 1060545881475604431784798584539731286301625448761148520217064404111660766950597 7578325703951108782308271064789390211156910392768384538633332156582965977310343 6032322545743637204124406408882673758433953679593123221343732099574988946995656 4736007295999839128810319742631251797141432012311279551894778172691415891177991 9564812558001845506563295285985910009086218029775637892599916499464281930222935 5234667475932695165421402109136301819472270789012208728736170734864999815625547 2811373479871656952748900814438405327483781378246691744422963491470815700735254 5707089772675469343822619546861533120953357923801460927351021011919021836067509 7308957528957746814229543394385493155339630380729169175846101460995055064803679 3041472365720398600735507609023173125016132048435836481770484818109916024425232 7167219018933459637860878752870173935930301335901123710239171265904702634940283 0766876743638651327106280323174069317334482343564531850581353108549733350759966 7787124490583636754132890862406324563953572125242611702780286560432349428373017 2557440583727826799603173936401328762770124367983114464369476705312724924104716 7001382478312865650649343418039004101780533950587724586655755229391582397084177 2983372823115256926092995942240000560626678674357923972454084817651973436265268 9448885527202747787473359835367277614075917120513269344837529916499809360246178 4426757277679001919190703805220461232482391326104327191684512306023627893545432 4617699757536890417636502547851382463146583363833760235778992672988632161858395 9036399818384582764491245980937043055559613797343261348304949496868108953569634 8281781288625364608420339465381944194571426668237183949183237090857485026656803 9897440662105360306400260817112665995419936873160945722888109207788227720363668 4481532561728411769097926666552238468831137185299192163190520156863122282071559 9876468423552059285371757807656050367731309751912239738872246825805715974457404 8429878073522159842667662578077062019430400542550158312503017534094117191019298 9038447250332988024501436796844169479595453045910313811621870456799786636617460 5957000344597011352518134600656553520347888117414994127482641521355677639403907 1038708818233806803350038046800174808220591096844202644640218770534010031802881 6644153091393948156403192822785482414510503188825189970074862287942155895742820 2166570621880905780880503246769912972872103870736974064356674589202586565739785 6085956653410703599783204463363464854894976638853510455272982422906998488536968 2804645974576265143435905093832124374333387051665714900590710567024887985804371 8151261004403814880407252440616429022478227152724112085065788838712493635106806 3651667432223277677557973992703762319147047323955120607055039920884426037087908 4333426183841359707816482955371432196118950379771463000755597537957035522714493 1913217255644012830918050450089921870512118606933573153895935079030073672702331 4165320423401553741442687154055116479611433230248544040940691145613987302603951 8281680344825254326738575900560432024537271929124864581333441698529939135747869 8957986439498023047116967157362283912018127312916589952759919220318372356827279 3856373312654799859124632750300605925674549794350881192950568549325935531872914 1801136412187470752628106869830135760524719445593219553596104528303148839117693 0119658583431442489489856558425083410942950277197583352244291257364938075417113 7392437601435068298784932712997512286881960498357751587717804106971319667534771 9479226365190163397712847390793361111914089983056033610609871717830554354035608 9529290818464143713929437813560482038947912574507707557510300242072662900180904 2293424942590606661413322872269806901459945119954780163991514126125257282806643 3126165746938819510644216738718000110042184830258091654338374923641183888564685 1431500637319042951481469424314608952547072037405566913069220990804819452975110 6504642810541775525909518713188835914765996041317960209415308585533238772538023 2727632977372143127968216716234421183201802881412747443168847218459392781435474 0999990722332030592629766112383279833169882539312620065037028844782866694044730 7947104761255865837529862362509998232335971550723383833244081525778193364262630 4330265895817080045127887311593558774721725649470005163667257715392098409503274 5112153687300912199629522765913163709396860727134269262315475330437993316581107 3696431421719794340563915512108108136262688856974806806011691894175027229874158 6991791453499462444194012197858601373660828690722365147713912687420966513787562 0591854328888341742920901563133283193575622089713765630978501563154982456445865 4247929357228287506084814533513521817295879329911710032476222052194645105362450 5129884308713444395072442673514628617991832336459836963763272257569159723954383 0520866474742381511079273494836952396479268993698324917999502789500060459661313 4633630249499514808053290179029751825158750490074351879835118360327227726017174 0453557165885557829729106195819351710554825793070910057635869901929721799516873 1175563144485648100220014254540554292734588371160209947945720823780436871894480 5636891825802444996318783420274910153357910727336253289069334741238022220116262 7711930854485029541913200400999865566651775664095365619789781838045103035651013 1589458902871861086905893947136801484570018366495647203294334374298946427412551 4359058434840919548701523614031739139036164401984550510491211697920012019996050 6994966403035086369290394100701945053201623487276323273244943963048089055425137 9723314751852070910250636859816795304818100739424531700238804759834323450414258 4314063612721096022824233782280902797659607771084939151748873168777135223900911 7117350918600654620099024975852779254278165970383495058010626155333691093784659 7710529750223173074121778344189411845965861029801877874274456386696612772450384 5860526415103040898257777544741153320764075881677514975538047116296677710058766 4615954967769270549623939857092550702740699781408431249653630718665337180605874 2242598165307052573834541577054292162998114917508611311765773172095615656478695 4744892713206080635457794624145310669837421137981689638235333044778831693397287 2891810366408326985698825443851667586228993069643468489751484087903964760420361 0206021717394470263487633654393195229077383616738981178124248365578105034169451 5636260430036657431084766548777801285779236454185224472361713742292558415931356 1286637167032807217155339264632573067306391085410886808574283858828060230334140 8550390973538726134511962926415995212789311354431460152730902553827104325966226 7439037455636122861390783194335705900381487008986613153981958574423304419708566 9672229314273074138488278897558886079973870447020316683485694199096548029824931 9817657926829855629723010682777235162740783807431877827318211919695280051608791 5721288263379682312725628700015001829297577299935790949196407634428615757135444 2789838304045470271019458004258202120234458063034503365814721854920367998997293 5353919681213319516537974539911149424445183033858841290401817818821376006659284 9413677543174516054093871103687152116404058219344712044827759605416948645398783 2626954801391501903899593130670318661670663719640256928671388714663118919268568 2691995276457997718278759460961617218868109454651578869122410609814197268619255 4787899263153594729228250805425169068140107817960218853307623055638163164019224 5450325765673925997651753080142716071430871886285983603746505713420467008343275 4230277047793311183666903232885306873879907135900740304907459889513647687608678 4432382482189306175703195638032308197193635672741964387262587061543307296370381 2751517040600505759488272385634515639052657710426459476040556950959840888903762 0799566388017861855915944111725092313279771138032943765475090165169496509916073 8339377158332302457019483474000704376186719984834016318260084626196562846491182 2568885752134637549025418083382138352224525872678937950537591560357945469850910 2256225455003017571049469833483545323835260787092219304581782306012370753280678 3685413065846367888664334862493680101987827996306702595432651378060073863929085 6483087415761874189734584845014188976529341101372215864355991552711362332200352 6677859159890231446163321026519665907632061524383747619049531582968836265042094 8401056545891306298277172498096419594723404651104198213476893540180382569549562 8603924426415986748598228006035386283916620125282660749330619658496519997941939 3226017235710733642537083033011433624985753635970424446475998999950855041354977 5585859345765909265333072527754167584314669367678061703501200384487488382337603 4407751594778122188307090008738662736209166079905022698927032189976037950989059 1085910392967345614610700304581921273892599269610621167643642438350141020408632 1499178152979681522379832242737536570085534699796554138590503268361602227884755 4706269843910885210302076860470680455684656049168649886061622295232390709809262 9302337956482179981632645827888877674520846371971063478923106675469355047615197 7816990258818404079275109018244827870525059769837535143062244509022023824398233 2550584162320718831930069360646468209659500654929010971618652636721610741713618 3776673327975626854801245657682790317603946555394523143387567730349791578588591 0116637484556758479527139186087825401042333298574427471189696104851264019750435 9909207662155899866073683762318835884508129295011466535482817144846405686524654 0907815471619625784469575262569455165601519164029217988548909373280314651922247 5900309657154905053610437768687726191595284492046478689734737085984138451316211 9297201263424077369454598186502965923353451256845497454112981973587667072860161 6056204230636066130281496773445797737750557564665475256322648177116997857087122 8315431045691232625034976811524521744973961367488220464805196887543419695119331 2045021605142938484475452382127014383095785581361967830231068508084587695205905 3294683384904712099162556365034003439670828933698367423001575117385151269123066 1722764144216075129173418747143150932419249141609699986728158238592573598238948 4927491964615227227333874631213843626211637946706203263022505548958057308375046 1299231136299173069489407342588319483999274163950984439634057635284717562762192 7865225396087201310804864065343961688754525342630989695176190197709631922587093 4216595597447175015753837674152228057065028068314335652491719973335840306415355 0759115974264366482846628136802174505909705894602744292632222215459450758046571 2060686399043082369396932082374907675611901715613054248133117152425684784633637 7001520441791650116823257523616049574970639082244344451035121904881983027600176 6809850965245439007199098034993026860675523879685292194732393352370086650221407 4645540372223434816757493731446409283790065391967740103558619361815668366168648 9239555496145282647289499416061580304586789146197172815545110005666054249969197 4102798740593276434953714525167694620698597880946950174730228414275718871940921 2091379940594303705043648386004346452279933029239018659226898749921132565605578 4014233542605895105620369072028939315920440476835927636479960059640486076198915 9298194950878786027663459905404263770045900803279434720629825445256356479542992 4881986461361713144857734699534755771554913842392894017540341399738461694812934 7924223460974301962752301382860722449638095383840152656781976450758854785515549 2345234781646033062938842009950803260140918302574385770671025227243666905988908 5450155707542303166659247235289247025886247948875462527657272851511128782706734 5431024451523345654228431103967952829625019369893998347396176398809573541526014 5372964681473821843600521099472119416591494716705203792255209633645848468041447 7803021647286239992640483635087737478245016382008952403225343799257901292656401 5553775409175170441962728503912669595666487724296766036730345366873404907914188 6945214715827908157233969124039985869390855173079801955546128513408912061084012 2136170705704300605692468559164688347733208568914126794284480413846828132569291 4816010978627269686686737391711893146226913489458042778989960814470952476290501 9260311649206867743318661546966896601822663578788750608856243562678932797354633 9041821087746380392162447720256726995963918246877884554971790385158392047483199 0312762243706623509251877543414010711233586590774812206376345901988422547272765 5290504399502524440391136582670813300580588209460310208261341369127572936992893 0299617308928436703152385897539873889368074415263737942405064487641717686135523 4326986572897046306918017427797217388985944328485205725758833756382015054672065 1674252681894851673328046307647813293132602893229366045210213189812987661526244 4874866938904061784699166654174850845979701461782158450149195721098250892345174 7451225432738681972586494458808377139868506598408545773165416917406705211194916...,and so on, blah, blah, blah...





$$\varphi = \sqrt[3](\ 2+\sqrt{5})$$

$$\varphi - 1 = \tfrac{1}{\varphi}$$.

$$\tfrac{1}{\sqrt[3](\ 2+\sqrt{5}} = \sqrt[3](\ 2+\sqrt{5}) - 4$$

$$\varphi$$2 = $$\varphi + 1$$

$$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$


 * $$\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}\,.$$


 * $$-\frac{\varphi}{2}=\sin666^\circ=\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).{}$$


 * $$\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ$$
 * $$\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ$$
 * $$\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ.\,$$


 * $$\sum_{n=1}^{\infty}|F(n)\varphi-F(n+1)|

= \varphi\,.$$


 * $$\varphi^{n+1} = \varphi^n + \varphi^{n-1}\,.$$



\begin{align} 3\varphi^3 - 5\varphi^2 + 4 & = 3(\varphi^2 + \varphi) - 5\varphi^2 + 4 \\ & = 3[(\varphi + 1) + \varphi] - 5(\varphi + 1) + 4 \\ & = \varphi + 2 \approx 3.618. \end{align} $$

The golden ratio's decimal expansion can be calculated directly from the expression
 * $$\varphi = {1+\sqrt{5} \over 2},$$

√5 ≈ 2.2360679774997896964.


 * $$x_{n+1} = \frac{(x_n + 5/x_n)}{2}$$

xn and xn−1.


 * $$x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 1}{2x_n - 1},$$

x − 1 − 1/x = 0,
 * $$x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 2x_n}{x_n^2 + 1}.$$

$$\frac{R}{s} = \frac{1}{2} \csc(\pi/10) = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) = \varphi$$

$$\varphi = \frac{13}{8} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{2n+3}}$$

$$\varphi = 1 + \sum_{n+1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}$$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi.$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \varphi^{-2k} = \frac{1}{1 - \varphi^{-2}} = \varphi$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \varphi^{-2k}\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi\sum_{n=1}^{\infty}|F(n)\varphi-F(n+1)| = \varphi\begin{align} 3\varphi^3 - 5\varphi^2 + 4 & = 3(\varphi^2 + \varphi) - 5\varphi^2 + 4 \\ & = 3[(\varphi + 1) + \varphi] - 5(\varphi + 1) + 4 \\ & = \varphi + 2 \approx 3.618. \end{align}\sum_{n=1}^{\infty}\varphi$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}{\sqrt{\psi_1}} + \int \varphi^{-2k} + \psi_2-\mu_0^3 \sqrt\mu_1-\sqrt\lambda^\xi$$