User:Anon1054572

$$ V_{n+1} - V_n = u_{n+1} - u_n + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n+n(n+1)-(n+1)^2}{n(n+1)^2} = \frac{n+n^2+n-n^2-2n-1}{n(n+1)^2} = \frac{-1}{n(n+1)^2}$$

Limite de la différence :

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} u_n - V_n = \lim_{n\rightarrow\infty} u_n - u_n - \frac{1}{n} = \lim_{n\rightarrow\infty} -\frac{1}{n} = 0 $$

Dérivée quotient :

$$ \dfrac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} $$

Preuve.

$$u_0 \in [-1;3] $$

Soit $$ u_n\in [-1;3] $$ pour un n $$ \in \mathbb{N} $$.

f est monotone, croissante, $$ f(-1) = (-1) $$et $$f(3) = 1$$, donc $$ f([-1,3]) \subset [-1,1] \subset [-1,3] $$.

$$ u_{n+1} = f(u_n) \in [-1,3] $$

cqfd par récurrence.

Assertion : pour tout n, $$ u_n>u_{n+1} $$

Preuve.

Par calcul direct, on a $$ u_0 = 3, u_1 = 1 $$ donc l'assertion est vraie pour n = 0.

L'assertion soit vraie pour n. f est strictement croissante, on a donc $$ f(u_{n})> f(u_{n+1})$$. Donc $$ u_{n+1} > u_{n+2} $$

cqfd.

Convergence

u_n est décroissante et bornée par -1, donc convergente.

Soit u la limite de u_n.

On a f(u)=u. On sait que les points fixes sont -1 et 4, et que u est dans [-1,3], donc u = -1.