User:Aronkapusi/sandbox

=Gyök keresés numerikus módszerei=

Felező módszer
A felező módszer a legegyszerűbb numerikusan végrehajható, és szinte mindig működik. A fő hátránya, hogy a konvergencia lassú. Ha a szögfelezés eljárás szerint előállított számítógépes program futása túl lassú, akkor más gyorsabban módszereket is lehet választani. Összeállítunk egy sorozatot $$ x_0, x_1, x_2,... $$ ami konvergál a gyökhöz $$ x=r $$, megoldja a $$ f(x)=0 $$. Válasszuk a $$ x_0 $$-t és a $$ x_1 $$-et, ahol $$ x_0< r <  x_1$$. Azt mondjuk, hogy $$ x_0 $$ és $$ x_1 $$ közrefogják a gyököket. $$ f(r)=0 $$, feltételezzük, hogy $$ f(x_0) $$ és $$ f(x_1) $$ ellenkező előjelűek, így $$ f(x_0)f(x_1) < 0 $$. Jelöljuk $$ x_2 $$-vel a $$ x_0 $$ és $$ x_1 $$ köztes pontját, ami $$ x_2=(x_0 + X_1)/2 $$, vagy $$ x_2= x_0 + \frac{X_1-X_0}{2} $$.

Az $$ f(x_2) $$ tudjuk meghatározni. Az $$ x_3 $$ legyen az $$ x_0 $$ és $$ x_2 $$ vagy a $$ x_2 $$ és $$ x_1 $$ köztes pontja, annak függvényében, hogy a $$ x_0 $$ és $$ x_2 $$ vagy a $$ x_2 $$ és $$ x_1 $$ fogja közre a gyököt. A gyök ezért mindig közrefogva marad. Az algoritmust akkor állítjuk le, amikor a növekmény a ba oldalon lesz (a fent megadott $$ (x_1 - x_0)/2 $$) kisebb mint a kívánt pontosság.

Newton módszere
A Newton módszere a leggyorsabb módszer, de szükség van arra, hogy a $$ f(x) $$ üggvénynek létezzen folytonos deriváltja. Továbbá, az eljárás nem mindig konvergál a kívánt gyökhöz. Le tudjuk vezetni a Newton módszerét grafikusan vagy a Taylor sor segítségével. Újból veszünk egy sorozatot $$ x_0, x_1, x_2,... $$ ami konvergál a $$ x=r $$ gyökhöz. Feltétlezzük, hogy a $$ x_{n+1} $$ tagja a sorozatnak és a Taylor sor bővíti a $$ f(x_{n+1}) $$ az $$ x_n $$ pont körül. Létezik a $$ f(x_{n+1})=f(x_n)+(x_{n+1}-x_n)f$$′$$(x_n)+... $$ A $$ x_{n+1} $$ megállapításához elhagyjuk a Taylor sor magasabb rendű tagjait és feltételezzük, hogy $$ f(x_{n+1})=0 $$. Megoldása a $$ x_{n+1} $$-nak, $$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$. Kezdve az x_0 taglalásával, reménykedve, hogy a x=r közel van a gyökhöz.

Szelő módszer
A szelő módszer a második legjobb a Newton módszere után. Akkor alkalmazzák, amikor a konvergencia gyorsabb, mint a szögfelezés, de túl nehéz vagy akár lehetetlen, hogy megadjuk az $$ f(x) $$ függvény analitikus deriváltját. Helyette felírjuk, hogy $$ f'(x_n)$$ ≈ $$\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}} $$