User:B3256

Bloch's theorem
In einem Metall lassen sich die Elektronenzustände in stark gebundene, lokalisierte Zustände (in der Nähe der Atomkerne) und nur schwach gebundene, sich über den ganzen Raum erstreckende Zustände aufteilen. Die Elektronen in diesen Zuständen werden hier nun als Kristallelektronen bezeichnet. In einem perfekten und zeitlich unveränderlichen Kristall ist das Potential V für ein Kristallelektron periodisch und es gilt:
 * $$ V(\vec r+\vec R)=V(\vec r)$$    für jeden Bravaisgittervektor $$\vec R = n_1\cdot\vec a_1 +n_2\cdot\vec a_2+n_3\cdot\vec a_3 $$.

Für den (zeitlich) stationären Zustand $$\psi$$ eines solchen Kristallelektrons gilt also, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte $$\vert \psi \vert ^2$$ vom Ursprung O genauso aussieht wie vom vom Ort R aus. (Andernfalls würde sich der Zustand ja messbar verändern, wenn er zu einem späteren Zeitpunkt vom Ort O aus so aussähe wie vom vorher vom Ort R und wäre also nicht stationär.) Also muss gelten $$\vert\psi(\vec r+\vec R)\vert=\vert\psi(\vec r)\vert$$, und damit ist $$\psi(\vec r+\vec R)=\psi(\vec r)\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R))$$   mit der reellwertigen Phasenfunktion $$\theta$$.

Nun ist $$\psi(\vec r+\vec R_1+\vec R_2) = \psi(\vec r)\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R_1+\vec R_2))$$.

Aber genauso auch $$\psi(\vec r+\vec R_1+\vec R_2) = \psi(\vec r+\vec R_1)\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R_2))= \psi(\vec r)\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R_1))\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R_2))$$.

Ein Vergleich liefert: $$\theta(\vec R_1+\vec R_2)=\theta(\vec R_1)+\theta(\vec R_2)$$. Die Phasenfunktion ist also eine Linearform und kann daher als Skalarprodukt $$\theta(\vec R)=\vec k \circ\vec R$$ mit einem festen Vektor k geschrieben werden.

Insgesamt also:  $$\psi(\vec r+\vec R)=\psi(\vec r)\cdot\exp(i\cdot\vec k\circ\vec R)$$.

Die Elementarzelle ist der Raumbereich $$ E=\lbrace x_1\cdot \vec a_1+x_2\cdot \vec a_2+x_3\cdot \vec a_3 \vert \text{mit         } 0\leq x_i<1 \rbrace $$

Da man jeden Vektor $$\vec r$$ eindeutig als Summe eines Vektors r' der Elementarzelle und eines Bravaigittervektors R schreiben kann, kann die Zustandsfunktion $$\psi$$ aus ihrem Verlauf in der Elementarzelle E auf den ganzen Raum hin eindeutig ausgedehnt werden: $$\psi(\vec r)=\psi(\vec r\,')\cdot\exp(i\cdot\vec k\circ\vec R)$$.

wikipedia's original article
A Bloch wave or Bloch state, named after Felix Bloch, is the wavefunction of a particle (usually, an electron) placed in a periodic potential. Bloch's theorem states that the energy eigenfunction for such a system may be written as the product of a plane wave envelope function and a periodic function (periodic Bloch function) $$\, u_{n \mathbf{k}}(r)$$ that has the same periodicity as the potential:

$$\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}).$$

The corresponding energy eigenvalues are ϵn(k) = ϵn(k + K), periodic with periodicity K of a reciprocal lattice vector. The energies associated with the index n vary continuously with wave vector k and form an energy band identified by band index n. The eigenvalues for given n are periodic in k; all distinct values of ϵn(k) occur for k-values within the first Brillouin zone of the reciprocal lattice.

Die

In fact, the Bloch theorem is a direct consequence of the translational symmetry of crystals, which means that the crystal is invariant under a translational movement $$ \mathbf{ r } \!$$ of the form $$ \sum_{i=1}^3 n_i \mathbf{ a_i} \!$$, where $$ n_i \! $$ are integers and $$ \mathbf{ a_i} \! $$ are the primitive lattice vectors. If $$ \hat{T}_{\mathbf {r}} \!$$ denotes the translation operation that can be applied to a wave function in a direction of the form $$ \sum_{i=1}^3 n_i \mathbf{ a_i } \! $$