User:Bgm2011/Bloch

Bloch's theorem
In einem Metall lassen sich die Elektronenzustände in stark gebundene, lokalisierte Zustände (in der Nähe der Atomkerne) und nur schwach gebundene, sich über den ganzen Raum erstreckende Zustände aufteilen. Die Elektronen in diesen Zuständen werden hier nun als Kristallelektronen bezeichnet. In einem perfekten und zeitlich unveränderlichen Kristall ist das Potential V für ein Kristallelektron periodisch und es gilt:
 * $$ V(\vec r+\vec R)=V(\vec r)$$    für jeden Bravaisgittervektor $$\vec R = n_1\cdot\vec a_1 +n_2\cdot\vec a_2+n_3\cdot\vec a_3 $$.

Für den (zeitlich) stationären Zustand $$\psi$$ eines solchen Kristallelektrons gilt also, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte $$\vert \psi \vert ^2$$ vom Ursprung O genauso aussieht wie vom vom Ort R aus. (Andernfalls würde sich der Zustand ja messbar verändern, wenn er zu einem späteren Zeitpunkt vom Ort O aus so aussähe wie vom vorher vom Ort R und wäre also nicht stationär.) Also muss gelten $$\vert\psi(\vec r+\vec R)\vert=\vert\psi(\vec r)\vert$$, und damit ist $$\psi(\vec r+\vec R)=\psi(\vec r)\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R))$$   mit der reellwertigen Phasenfunktion $$\theta$$.

Nun ist $$\psi(\vec r+\vec R_1+\vec R_2) = \psi(\vec r)\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R_1+\vec R_2))$$.

Aber genauso auch: $$\psi(\vec r+\vec R_1+\vec R_2) = \psi(\vec r+\vec R_1)\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R_2))= \psi(\vec r)\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R_1))\cdot \exp(i\cdot \theta(\vec R_2))$$.

Ein Vergleich liefert: $$\theta(\vec R_1+\vec R_2)=\theta(\vec R_1)+\theta(\vec R_2)$$. Die Phasenfunktion ist also eine Linearform und kann daher als Skalarprodukt $$\theta(\vec R)=\vec k \circ\vec R$$ mit einem festen Vektor k geschrieben werden.

Insgesamt also:  $$\psi(\vec r+\vec R)=\psi(\vec r)\cdot\exp(i\cdot\vec k\circ\vec R)$$.

Die Elementarzelle ist der Raumbereich $$ E=\lbrace x_1\cdot \vec a_1+x_2\cdot \vec a_2+x_3\cdot \vec a_3 \vert \text{mit         } 0\leq x_i<1 \rbrace $$

Da man jeden Vektor $$\vec r$$ eindeutig als Summe eines Vektors r' der Elementarzelle und eines Bravaigittervektors R schreiben kann, kann die Zustandsfunktion $$\psi$$ aus ihrem Verlauf in der Elementarzelle E auf den ganzen Raum hin eindeutig ausgedehnt werden: $$\psi(\vec r)=\psi(\vec r\,')\cdot\exp(i\cdot\vec k\circ\vec R)$$.