User:Bo Jacoby/sandbox

= Hvor sikkert er det at det vindende hold nu også var det bedste hold? =

En smuk og nyttig formel
Formlen
 * $$\int_y^\infty {x^i\over e^x i!}dx=\sum_{k=0}^i {y^k\over e^y k!}$$

er smuk og symmetrisk.

Den bevises ved matematisk induktion.

For i = 0 står der
 * $$\int_y^\infty {1\over e^x }dx= {1\over e^y}$$

hvilket er rigtigt.

Induktionsantagelsen er at formlen gælder for i−1 :
 * $$\int_y^\infty {x^{i-1}\over e^x (i-1)!}dx=\sum_{k=0}^{i-1} {y^k\over e^y k!}$$

Udregningen bruger delt integration og induktionsantagelsen.
 * $$\int_y^\infty {x^i\over e^x i!}dx$$
 * $$=-\int_y^\infty {x^i\over i!}d\left({1\over e^x}\right)$$
 * $$={y^i\over i!}{1\over e^y}+\int_y^\infty {1\over e^x}d\left({x^i\over i!}\right)$$
 * $$={y^i\over e^y i!}+\int_y^\infty {1\over e^x}\left({i x^{i-1}\over i!}dx\right)$$
 * $$={y^i\over e^y i!}+\int_y^\infty {x^{i-1}\over e^x (i-1)!}dx$$
 * $$={y^i\over e^y i!}+\sum_{k=0}^{i-1} {y^k\over e^y k!}$$
 * $$=\sum_{k=0}^{i}{y^k\over e^y k!}$$

Hermed er det bevist at formlen er sand for alle tallene i = 0, 1, 2,. . . At den også er nyttig vil vise sig om lidt. Specialtilfældet y=0 giver
 * $$\int_0^\infty {x^i\over e^x i!}dx=1$$

Målscore, spillestyrke, og troværdighed
Et fodboldhold har spillestyrken x. Sandsynligheden, for at antallet af mål i   ligger i intervallet  a ≤ i ≤ b, er
 * $$\sum_{i=a}^b {x^i\over e^x i!}$$

Dette er poissonfordelingen. Den totale sandsynlighed er
 * $$\sum_{i=0}^\infty {x^i\over e^x i!}={1\over e^x}\left(\sum_{i=0}^\infty {x^i\over i!}\right)={1\over e^x}\left(e^x\right)=1$$

Et hold scorede i  mål. Troværdigheden, af at dette holds spillestyrke x lå i intervallet a ≤ x ≤ b, er
 * $$\int_a^b {x^i\over e^x i!}dx$$

Dette er gammafordelingen. Den totale troværdighed er
 * $$\int_0^\infty {x^i\over e^x i!}dx=1$$

Et andet hold scorede j  mål. Troværdigheden, af at dette holds spillestyrke y lå i intervallet a ≤ y ≤ b, er
 * $$\int_{a}^b {{y^j}\over{e^y j!}}dy$$

Troværdigheden, af at det hold som scorede i mål er bedre end det hold som scorede j mål, er
 * $$T=\int_{0}^\infty \left(\int_{y}^\infty {x^i\over e^x i!}dx\right){y^j\over e^y j!}dy$$

Denne formel giver svar på spørgsmålet: "Hvor sikkert er det at det vindende hold nu også var det bedste hold?"

Reduktion af formlen for troværdigheden
Ved at bruge den smukke formel
 * $$\int_y^\infty {x^i\over e^x i!}dx=\sum_{k=0}^i {y^k\over e^y k!}$$

forenkles udtrykket for troværdigheden
 * $$T=\int_{0}^\infty \left(\int_{y}^\infty {x^i\over e^x i!}dx\right){y^j\over e^y j!}dy$$

til
 * $$T=\int_{0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i {y^k\over e^y k!}\right){y^j\over e^y j!}

dy$$ Her ombyttes integration og summation
 * $$T=\sum_{k=0}^i {1 \over k!j!}\int_0^\infty{y^{k+j}\over e^{2y} }dy$$

Dette omskrives til
 * $$T=\sum_{k=0}^i 2^{-(k+j+1)}{(k+j)! \over k!j!}\int_0^\infty{(2y)^{k+j}\over e^{2y}(k+j)! }d(2y) $$

Integralet er lig med 1, og brøken foran er en binomialkoefficient.
 * $$T={\sum_{k=0}^i 2^{i-k}\binom{k+j}j \over 2^{i+j+1}}$$

Denne formel for troværdigheden er simpel. Både tæller og nævner er hele tal.

Hvad nu hvis fodboldkampen for eksempel endte 3-2
Tilfældet (i,j) = (3,2) giver
 * $$T=2^{-6}\sum_{k=0}^3 2^{3-k}\binom{k+2}2$$
 * $$T=2^{-6}(2^3\binom 2 2+2^2\binom 3 2+2^1\binom 4 2+2^0\binom 5 2)$$
 * $$T=2^{-6}(2^31^1+2^2 3^1+2^1 6^1+2^0 10^1)$$
 * $$T=2^{-6}(8+12+12+10)=2^{-5}(4+6+6+5)={21\over 32}$$
 * $$T=0.65625 $$

Troværdigheden for at det vindende hold var bedst, når fodboldkampen endte 3-2, er 65.6%

Programmering
I programmeringssproget J ser det sådan ud. FIFA=.([([:+/!*2^-@>:@])(+i.&>:))~"0  3 FIFA 2x 21r32     (FIFA/~)i.6x NB. 0 til 5 mål   1r2   1r4     1r8    1r16    1r32    1r64   3r4   1r2    5r16    3r16    7r64    1r16   7r8 11r16     1r2   11r32  29r128  37r256 15r16 13r16   21r32     1r2  93r256  65r256 31r32 57r64  99r128 163r256     1r2 193r512 63r64 15r16 219r256 191r256 319r512     1r2