User:Curtis Autery/sandbox

$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c & e \\ b & d & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} a & c & e \\ b & d & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} a' & c' & e' \\ b' & d' & f' \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} aa'+cb' & ac'+cd' & ae'+cf'+e \\ ba'+db' & bc'+dd' & be'+df'+f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = ax + by + cz $$

$$ x' = \begin{bmatrix} a & c & e \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = ax + cy + e $$

$$ y' = \begin{bmatrix} b & d & f \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = bx + dy + f $$

$$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & .5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} 1 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 20 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 30 \\ 0 & .5 & 10 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 30 \\ 0 & .5 & 10 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \therefore \begin{align} x' & = 2x + 30 \\ y' & = .5y + 10 \end{align} $$

$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & e & i & m \\ b & f & j & n \\ c & g & k & o \\ d & h & l & p \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \therefore \begin{align} x' & = ax + ey + iz + m \\ y' & = bx + fy + jz + n \\ z' & = cx + gy + kz + o \\ w & = dx + hy + lz + p \end{align} $$

$$ \begin{bmatrix} 1-2y^2-2z^2 & 2xy-2wz & 2xz+2wy & 0 \\2xy+2wz & 1-2x^2-2z^2 & 2yz-2wx & 0 \\2xz-2wy & 2yz+2wx & 1-2x^2-2y^2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$