User:Dafina Sopa/sandbox

Kombinacioni
Përkufizim: Kombinacion me n elemente, i klasës p(p≤n), quhet cdo nënbashkësi me p elemente, të marrë nga bashkësia me n elemente nga bashkësia M(M një bashkësi me  n} elemente). Dy kombinacione të klasës p janë të ndryshme në qoftë se njëri përmban së paku një element që nuk e përmban tjetri, (pa e shikuar radhën!). P.sh. kombinacione të klasës së tretë të bashkësisë të të bashkësisë M={1,2,3,4,5} janë:

{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5} ose shkurt: 123,124,125,134,135,145,234,235,245,345.

Le të jetë tani:

M={1,2,3,...,n}

dhe p një numër kardinal ( në rastin e përgjithshëm i fundëm apo i numërueshëm). Shënojmë me:

{M \choose p}(lexo: M mbi p),

bashkësinë e të gjitha pjesëve të M me nga p elemente, pra bashkësia e të gjitha kombinacioneve të klasës p nga bashkësia M, kurse me kx{M \choose p} = {C_{n}^{p}

shënojmë numrin e kombinacioneve të klasës p nga bashkësia M (me n elemente). Është e qartë se {C_{n}^{p}} = 0, për p > n, sepse në këtë rast {M \choose p}=0{

Në shembullin e më sipërm kemi:

{M \choose 3} = {1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}

kurse

C_5^3=kx{M \choose 3}=10} {C_{n}^{l}} është numri i pjesëve të bashkësisë me n elemente që përmbajnë nga një element, prandaj C_n^1=kx{M \choose 1}=n}.

C_n^2= n(n-1)\2

sepse bashkësia e kombinacioneve të klasës së dytë me n elemente është:

{M \choose 1}= {2,3},{2,4},...,{2,n} {3,4},...,{3,n} .................                 {n-1,n}

E tërë bashkësia M është kombinacion i klasës n:

{M \choose n}={M} dhe {C_n^n = {n}\{n} =1} kurse bashkësia e zbrazët është kombinacion i klasës zero.

Teoremë: Numri i kombinacioneve (pa përsëritje) të klasës p, prej n elementesh (0 ≤ p ≤ n) është i barabartë me:

{C_n^p= {n!}{p!(n-p)!}                        (1)

Vërtetim: Vërtetimin do t`a bëjmë me metodën e induksionit matematik në lidhje me p. Për p=0,1,2 formula (1) është e vlefshme

C_n^0 = {n!}{0!(n)!} = 1, C_n^1 = {n!}{1!(n-1)!} = n,                C_n^2={n!}{2!(n-2)!}={n(n-1)}{n}} Po e zëmë se formula (1) vlen për numrin e kombinacioneve të klasës p-1,p ≥ 1, të bashkësisë M={1,2,...,n}. Duhet vërtetuar se ajo vlen edhe për kombinacioet e klasës p.

Vërejmë se jashtë një kombinacioni të klasës p mbesin n-p+1 elemente nga bashkësia M, kurse i njëjti kombinacion i klasës p, p.sh. {1,2,...,p-1,p} mund të formohet në këto mënyra:

{2,3,...,p-1,p} U {1}, {1,3,...,p-1,p} U {2},                 (2) {1,2,...,p-1} U \{p}.

Secili nga kombinacionet e klasës p-1 e të tillë sipas hipotezës induktive ka {C_n^p-1}, jep nga n-p+1 kombinacione të klasës p; gjithsej (m-p+1). {C_n^p-1}. Por meqenëse secili nga ato kombinacione përsëritet p herë (shih (2)), numri i gjithëmbarshëm i kombinacioneve të klasës p, me n elemente është:

C_n^(p-1) = {n-p+1}{p}}.C_{n}^{p-1}.

E meqë është

C_n^(p-1) ={n!}{(p-1)!(n-p+1)!},

C_n^(p-1)={n-p+1}{p}}x {n!}{(p-1)!(p+1)!}= (n-p+1)x n!}{p(p-n)!(n-p+1)(n-p)! ose

C_n^p={n!}{p!(n-p)!}}={n}{p}{C_n^p}

që është formula (1).

Sipas induksionit matematik formula (1) vlen për numrin e kombinacioneve të çfarëdo klase p (0 ≤ p ≤ n).