User:Detalse

թվային գծային հանրահաշիվը, Առնոլդի բազմակրկնությունը  հանդիսանում է ութվալենտական ​​ալգորիթմ որի կարեւոր օրինակներից է կրկնողական մեթոդը. Առնոլդը գտնում է, որ ութվալենտականությունը գլխավորապես (անհնար է համարվի -հերմետիկ) մատրիցներ; հերմետիկ մատրիցների համար համանման մեթոդ է Լենքզոսի կրկնողականությունը. Առնոլդի կրկնողականությունը հայտնաբերվել է Վ.Է.Առնոլդի կողմից 1951թ.

 կրկնողական մեթոդ տերմինը, որն օգտագործվում է նկարագրելու Առնոլդինը, կարող է լինել, թերեւս փոքր - ինչ շփոթեցնող. Նշենք, որ բոլոր գլխավոր ութվալենտական ​​ալգորիթմերը պետք է լինեն կրկնողական. Սա այն չէ ինչը վերաբերվում է երբ մենք ասում ենք Առնոլդինը կրկնողական մեթոդ է. Փոխարենը, Առնոլդինը պատկանում է տվյալ դասի գծային հանրահաշվի ալգորիթմերին (հիմնված Կռիլովի միջակայքերին) որոնք տալիս են մասնակի արդյունք կրկնողականության փոքր թվերի համեմատությունից հետո. Սրանք տարբեր են այսպես կոչված ուղղակի մեթոդները, որոնք պետք է ավարտվեն տալով որեւէ օգտակար արդյունքներ.

Առնոլդի բազմակրկնությունը լայն նոսր փակուղային մատրիցա ալգորիթմ է: Այն ուղղակիորեն չի օգտվում մատրիցայի էլեմենտներից, սակայն մատրիցայի քարտեզի վեկտորների եզրակացությունները ի զորու է դարձնել պատկերներ. Սա շարժառիթ է կառուցելու Կռիլովի միջակայքերը.

Կռիլովի միջակայքերը եւ գլխավոր բազմակրկնությունը
ՈՒթվալենտականության գտնելու մեթոդը (մասնավորապես խոշորագույն ութվալենտականությունը) որպես տվյալ m &times; m մատրից $$A$$ հանդիսանում է գլխավոր բազմակրկնություն. Սկսելով նախնական պատահական վեկտոր b, այս մեթոդը հաշվարկում է Ab, A2b, A3b,… բազմակրկնության պահպանման եւ նորմալացման արդյունքը b ամեն հերթին. Այս հաջորդականությունը համնկնում է ութվեկտորի  համապատասխան ութվալենտականության հետ, $$\lambda_{1}$$. Սակայն միայն վերջնական արդյունքը օգտագործելիս հնարավոր է օգտակար հաշվարկը ապարդյուն լինի, $$A^{n-1}b$$. ենթադրվում է, որ փոխարենը, ձևավորենք այսպես կոչված Կռիլովի մատրիցը:
 * $$K_{n} = \begin{bmatrix}b & Ab & A^{2}b & \cdots & A^{n-1}b \end{bmatrix}.$$

Մատրիցի սյուները օրթոգոնալ չեն,բայց սկզբունքորեն,մենք կարող ենք գտնել օրթոգոնալ հիմքը,մեթոդի միջոցով ինչպիսիք են Gram–Schmidt orthogonalization. արդյունքային վեկտորները հիմք են հանդիսանում Կռիլովի միջակայքերը, $$\mathcal{K}_{n}$$.  Մենք կարող ենք ակնկալել, որ վեկտորները այս սկզբունքով են տալիս լավ մոտեցումներ ութվեկտորներին համապատասխանող $$n$$ խոշորագույն ութվեկտորներ, նույն պատճառով որ $$A^{n-1}b$$ մոտեցուման գերակշռողը ութվեկտորն է.

Առնոլդի բազմակրկնությունը
Գործընթացը նկարագրված է վերը ինտուիտիվ կերպով. Ցավոք, դա նաեւ անկայուն է. սա այն վայրն է որտեղ մուտք է գործել Առնոլդի բազմակրկնությունը.

Առնոլդի բազմակրկնությունը օգտագործում է կայունացելու Gram–Schmidt գործընթացը արտադրելու օրթնորմալացված վեկտորների հաջորդականությունը, q1, q2, q3, …, որը կոչվում է Առնոլդի վեկտոր, օրինակ, որ ամեն n, վեկտոր q1, …, qn ներառում է Կռիլովի միջակայքը $$\mathcal{K}_n$$. Հստակ է, որ ալգորիթմը հետեւյալն է:


 * Սկսել կամայական q1 վեկտորից կապնված 1 նորմայից.
 * Կրկնել k = 2, 3, համար …
 * $$ q_k \leftarrow Aq_{k-1} \,$$
 * j համար 1-ից դեպի k &minus; 1
 * $$ h_{j,k-1} \leftarrow q_j^* q_k \, $$
 * $$ q_k \leftarrow q_k - h_{j,k-1} q_j \, $$
 * $$ h_{k,k-1} \leftarrow \|q_k\| \, $$
 * $$ q_k \leftarrow \frac{q_k}{h_{k,k-1}} \, $$

j-հանգույցի ծրագրերը դուրս են $$q_k$$  բաղադրիչից  $$q_1,\dots,q_{k-1}$$ ուղղություններով. Սա ապահովում են բոլոր առաջացած վեկտորների օրթոգենությունը.

Ալգորիթմը խախտվում է երբ qk զրոյական վեկտոր է. Դա պատահում է, երբ նվազագույն պոլինամինալ A-ի k աստիճանն է. Շատ դիմումների վերաբերյալ Առնոլդի բազմակրկնությունը, այդ թվում ութվալենտական ​​ալգորիթմի ներքեւինը GMRES, ալգորիթմը այս պահին համնկնում է.

k հանգույցի ամեն քայլը տեւում է մեկ մատրից-վեկտորը ապրանքների եւ մոտ 4mk լողացող միավոր գործողություններ.

Առնոլդի բազմակրկնության Հատկությունները
Նշենք Qn ենթակետի m-by-n մատրից ձեւավորում առաջին n եթե, եւ միայն եթե Arnoldi բազմակրկնություն չի կոտրել ներքեւ. մատրից q1, q2, …, qn, եւ թող Hn (վերին Hessenberg) մատրից ձեւավորվում է ըստ համարների hj,k  հաշվարկվում է ի ալգորիթմը:
 * $$ H_n = \begin{bmatrix}

h_{1,1} & h_{1,2} & h_{1,3} & \cdots & h_{1,n} \\ h_{2,1} & h_{2,2} & h_{2,3} & \cdots & h_{2,n} \\ 0      & h_{3,2} & h_{3,3} & \cdots  & h_{3,n} \\ \vdots & \ddots  & \ddots  & \ddots  & \vdots  \\ 0      & \cdots  & 0     & h_{n,n-1} & h_{n,n} \end{bmatrix}. $$ Ապա մենք ունենք
 * $$ H_n = Q_n^* A Q_n. \, $$

Այս զիջում այլընտրանքային մեկնաբանության է Առնոլդի կրկնողականությունը որպես (մասնակի) orthogonal կրճատման A  Hessenberg ձեւով.. մատրիցը Hn կարելի է դիտարկել որպես ներկայացուցչության հենքի վրա ձեւավորված Առնոլդի վեկտորի կողմից օրթոգոնալ նախագծումը  A ապա Կռիլովի միջակայքերը $$\mathcal{K}_n$$.

մատրից Hn արելի է բնութագրել հետեւյալ պայմանով. The օպտիմալ բնորոշում Hn ||p(A)q1||2 ենթակետի monic polynomials of degree n. Այս խնդիրը յուրօրինակ լուծում է եթե, եւ միայն եթե Առնոլդի բազմակրկնություն չի կոտրել ներքեւ.

նա հարաբերությունը միջեւ Q matrices հետագա iterations տրված է
 * $$ A Q_n = Q_{n+1} \tilde{H}_n $$

where
 * $$ \tilde{H}_n = \begin{bmatrix}

h_{1,1} & h_{1,2} & h_{1,3} & \cdots & h_{1,n} \\ h_{2,1} & h_{2,2} & h_{2,3} & \cdots & h_{2,n} \\ 0      & h_{3,2} & h_{3,3} & \cdots  & h_{3,n} \\ \vdots & \ddots  & \ddots  & \ddots  & \vdots  \\ \vdots &         & 0       & h_{n,n-1} & h_{n,n} \\ 0      & \cdots  & \cdots  & 0       & h_{n+1,n} \end{bmatrix} $$ is an (n+1)-by-n matrix formed by adding an extra row to Hn.

Category:Numerical linear algebra

Arnoldi-Verfahren