User:DoubleAW/Operator theory (other)

This is something I found off of Tailsteak's website, in the thoughts section.

Explanation
First off, there are multiple operators in mathematics. Addition is a basic one; $$a+b$$. Multiplication is based off of addition
 * $${{a \times b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a + \cdots + a}} \atop b}$$

Exponentiation is based off of multiplication in the same way:
 * $${{a^b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop b}$$

as is tetration:
 * $${\ ^{b}a = \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b}$$

If you look at those, you could say each operator could be assigned a number (i.e. addition is 1, multiplication is 2, etc.). So $$a_1b=a+b$$. In other words:
 * $${{a_nb = }=\atop {\ }} {{\underbrace{a_{n-1} \cdots \ _{n-1}a}} \atop b}$$

is true. This could extend into all real numbers, including zero.

You can also derive that $$a_nb=a_{n+1}2$$.

Application
When you apply this, you realize the higher the operator number gets, the faster the result will reach infinity, and the lower the operator number gets, the faster the result will reach zero. This can be demonstrated like so:
 * $$a_5b=\underset{b}{a}$$
 * $$\underset{2}{2} = \ ^{\ ^{2}2}2$$
 * $$\ ^{\ ^{2}2}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{2^{4}} = 2^{16} = 65536$$

As you can see, even with the lowest whole number closest to one, you get a massive amount. Watch what happens when you try $$\underset{3}{2}$$.
 * $$\underset{3}{2} = \ ^{\ ^{\ ^{2}2}2}2$$
 * $$\ ^{\ ^{\ ^{2}2}2}2 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^2}}}}}$$
 * $$2^{2^{2^{2^{2^{2^2}}}}} = 2^{2^{2^{2^{2^{4}}}}} = 2^{2^{2^{2^{16}}}} = 2^{2^{2^{65536}}}$$ $$2^{65536}$$ = 200352993040684646497907235156025575044782547556975141926501697371089

405955631145308950613088093334810103823434290726318182294938211881266886 950636476154702916504187191635158796634721944293092798208430910485599057 015931895963952486337236720300291696959215610876494888925409080591145703 767520850020667156370236612635974714480711177481588091413574272096719015 183628256061809145885269982614142503012339110827360384376787644904320596 037912449090570756031403507616256247603186379312648470374378295497561377 098160461441330869211810248595915238019533103029216280016056867010565164 675056803874152946384224484529253736144253361437372908830379460127472495 841486491593064725201515569392262818069165079638106413227530726714399815 850881129262890113423778270556742108007006528396332215507783121428855167 555407334510721311242739956298271976915005488390522380435704584819795639 315785351001899200002414196370681355984046403947219401606951769015611972 698233789001764151719005113346630689814021938348143542638730653955296969 138802415816185956110064036211979610185953480278716720012260464249238511 139340046435162386756707874525946467090388654774348321789701276445552940 909202195958575162297333357615955239488529757995402847194352991354376370 598692891375715374000198639433246489005254310662966916524341917469138963 247656028941519977547770313806478134230959619096065459130089018888758808 473362595606544488850144733570605881709016210849971452956834406197969056 546981363116205357936979140323632849623304642106613620022017578785185740 916205048971178182040018728293994344618622432800983732376493181478984811 945271300744022076568091037620399920349202390662626449190916798546151577 883906039772075927937885224129430101745808686226336928472585140303961555 856433038545068865221311481363840838477826379045960718687672850976347127 198889068047824323039471865052566097815072986114143030581692792497140916 105941718535227588750447759221830115878070197553572224140001954810200566 177358978149953232520858975346354700778669040642901676380816174055040511 767009367320280454933902799249186730653993164072049223847481528061916690 093380573212081635070763435166986962502096902316285935007187419057916124 153689751480826190484794657173660100589247665544584083833479054414481768 425532720731558634934760513741977952519036503219802010876473836868253102 518337753390886142618480037400808223810407646887847164755294532694766170 042446106331123802113458869453220011656407632702307429242605158281107038 701834532456763562595143003203743274078087905628366340696503084422585596 703927186946115851379338647569974856867007982396060439347885086164926030 494506174341236582835214480672667684180708375486221140823657980296120002 744132443843240233125740354501935242877643088023285085588608996277445816 468085787511580701474376386797695504999164399828435729041537814343884730 348426190338884149403136613985425763557710533558020662218557706008255128 889333222643628198483861323957067619140963853383237434375883085923372228 464428799624560547693242899843265267737837317328806321075321123868060467 470842805116648870908477029120816110491255559832236624486855665140268464 120969498259056551921618810434122683899628307165486852553691485029953967 550395493837185340590009618748947399288043249637316575380367358671017578 399481847179849824694806053208199606618343401247609663951977802144119975 254670408060849934417825628509272652370989865153946219300460736450792621 297591769829389236701517099209153156781443979124847570623780460000991829 332130688057004659145838720808801688744583555792625846512476308714856631 352893416611749061752667149267217612833084527393646924458289257138887783 905630048248379983969202922221548614590237347822268252163995744080172714 414617955922617508388902007416992623830028228624928418267124340575142418 856999427233160699871298688277182061721445314257494401506613946316919762 918150657974552623619122484806389003366907436598922634956411466550306296 596019972063620260352191777674066877746354937531889958786628212546979710 206574723272137291814466665942187200347450894283091153518927111428710837 615922238027660532782335166155514936937577846667014571797190122711781278 045024002638475878833939681796295069079881712169068692953824852983002347 606845411417813911064856023654975422749723100761513187002405391051091381 784372179142252858743209852495787803468370333781842144401713868812424998 441861812927119853331538256732187042153063119774853521467095533462633661 086466733229240987984925669110951614361860154890974024191350962304361219 612816595051866602203071561368473236466086890501426391390651506390819937 885231836505989729912540447944342516677429965981184923315155527288327402 835268844240875281128328998062591267369954624734154333350014723143061275 039030739713525206933817384332295070104906186753943313078479801565513038 475815568523621801041965025559618193498631591323303609646190599023611268 119602344184336333459492763194610171665291382371718239429921627253846177 606569454229787707138319881703696458868981186321097690035573588462446483 570629145305275710127887202796536447972402540544813274839179412882642383 517194919720979714593688753719872913083173803391101612854741537737771595 172808411162759718638492422280237344192546999198367219213128703558530796 694271341639103388275431861364349010094319740904733101447629986172542442 335561223743571582593338280498624389249822278071595176275784710947511903 348224141202518268871372819310425347819612844017647953150505711072297431 456991522345164312184865757578652819756484350895838472292353455946452121 583165775147129870822590929265563883665112068194383690411625266871004456 024370420066370900194118555716047204464369693285006004692814050711906926 139399390273553454556747031490388602202463994826050176243196930564066636 662609020704888743889890749815286544438186291738290105182086993638266186 830391527326458128678280660133750009659336462514609172318031293034787742 123467911845479131110989779464821692250562939995679348380169915743970053 754213448587458685604728675106542334189383909911058646559511364606105515 683854121745980180713316361257307961116834386376766730735458349478978831 633012924080083635682593915711313097803051644171668251834657367593419808 495894794098329250008638977856349469321247342610306271374507728615692259 662857385790553324064184901845132828463270926975383086730840914224765947 443997334813081098639941737978965701068702673416196719659159958853783482 298827012560584236558953969030647496558414798131099715754204325639577607 048510088157829140825077773855979012912940730946278594450585941227319481 275322515232480150346651904822896140664689030510251091623777044848623022 948896671138055560795662073244937337402783676730020301161522700892184351 565212137921574820685935692079021450227713309998772945959695281704458218 195608096581170279806266989120506156074232568684227130629500986442185347 081040712891764690655083612991669477802382250278966784348919940965736170 458678624255400694251669397929262471452494540885842272615375526007190433 632919637577750217600519580069384763578958687848953687212289855780682651 819270363209948015587445557517531273647142129553649408438558661520801211 507907506855334448925869328385965301327204697069457154695935365857178889 486233329246520273585318853337094845540333656535698817258252891805663548 836374379334841184558016833182767683464629199560551347003914787680864032 262961664156066750815371064672310846196424753749055374480531822600271021 640098058449752602303564003808347205314994117296573678506642140084269649 710324191918212121320693976914392336837470922826773870813223668008692470 349158684099115309831541206356612318750430546753698323082796645741762080 659317726568584168183796610614496343254411170694170022265781735835125982 108076910196105222926387974504901925431190062056190657745241619191318753 398404934397682331029846589331837301580959252282920682086223033258528011 926649631444131644277300323779227471233069641714994553226103547514563129 066885434542686978844774298177749371011761465162418361668025481529633530 849084994300676365480610294009469375060984558855804397048591444958444507 997849704558355068540874516331646411808312307970438984919050658758642581 073842242059119194167418249045270028826398305795005734171148703118714283 418449915345670291528010448514517605530697144176136858238410278765932466 268997841831962031226242117739147720800488357833356920453393595325456489 702855858973550575123512953654050284208102278524877660357424636667314868 027948605244578267362623085297826505711462484659591421027812278894144816 399497388188462276824485162205181707672216986326570165431691974265123004 175732990447353767253684579275436541282655358185804684006936771860502007 054724754840080553042495185449526724726134731817474218007857469346544713 603697588411802940803961674694628854067917213860122541950381970453841726 800639882065632879283958270851091995883944829777564715202613287108952616 341770715164289948795356485455355314875497813400996485449863582484769059 003311696130376612792346432312970662841130742704620203201336835038542536 031363676357521260470742531120923340283748294945310472741896928727557202 761527226828337674139342565265328306846999759709775000556088993268502504 921288406827413988163154045649035077587168007405568572402175868543905322 813377070741583075626962831695568742406052772648585305061135638485196591 896864959633556821697543762143077866593473045016482243296489127070989807 667662567151726906205881554966638257382927418208227896068448822298339481 667098403902428351430681376725346012600726926296946867275079434619043999 661897961192875051944235640264430327173734159128149605616835398818856948 404534231142461355992527233006488162746672352375123431189344211888508507 935816384899448754475633168921386967557430273795378526254232902488104718 193903722066689470220425883689584093999845356094886994683385257967516188 215941098162491874181336472696512398067756194791255795744647142786862405 375057610420426714936608498023827468057598259133100691994190465190653117 190892607794911921794640735512963386452303567334558803331319708036545718 479155043265489955970586288828686660661802188224860214499997312216413817 065348017551043840662441282280361664890425737764095632648282525840766904 560843949032529052633753231650908768133661424239830953080654966187938194 912003391948949406513239881664208008839555494223709673484007264270570116 508907519615537018626479745638118785617545711340047381076276301495330973 517418065547911266093803431137853253288353335202493436597912934128485497 094682632907583019307266533778255931433111096384805394085928398890779621 047984791968687653998747709591278872747587443980677982496827827220092644 994455938041460877064194181044075826980568803894965461658798390466058764 534181028990719429302177451997610449504319684150345551404482092893337865 736305283061999007774872692299860827905317169187657886090894181705799340 489021844155979109267686279659758395248392673488363474565168701616624064 242424122896111801061568234253939218005248345472377921991122859591419187 749179382334001007812832650671028178139602912091472010094787875255126337 288422235386949006792766451163475810119387531965724212147603828477477457 170457861041738574791130190858387789015233434301300528279703858035981518 292960030568261209195094373732545417105638388704752895056396102984364136 093564163258940813798151169333861979733982167076100460798009601602482309 694304380695662012321365014054958625061528258803302290838581247846931572 032323360189946943764772672187937682643182838260356452069946863021604887 452842436359355862233350623594500289055858161127534178375045593612613085 264082805121387317749020024955273873458595640516083058305377073253397155 262044470542957353836111367752316997274029294167420442324811387507563131 907827218886405337469421384216992886294047963530515056078812636620649723 125757901959887304119562622734372890051656111109411174527796548279047125 058199907749806382155937688554649882293898540829132512907647838632249478 101675349169348928810420301561028338614382737816094634133538357834076531 432141715065587754782025245478065730134227747061674424196895261316427410 469547462148375628829977180418678508454696561915090869587425118443583730 659095146098045124740941137389992782249298336779601101538709612974970556 630163730720275073475992294379239382442742118615823616131788639255309511 718842129850830723825972914414225157940388301135908333165185823496722125 962181250705811375949552502274727467436988713192667076929919908446716122 873885845758462272657333075373557282395161696417519867501268174542932373 829414382481437713986190671665757294580780482055951188168718807521297183 263644215533678775127476694079011705750981957508456356521738954417987507 452385445520013357203333237989507439390531291821225525983379090946363020 218535384885482506289771561696386071238277172562131346054940177041358173 193176337013633225281912754719144345092071184883836681817426334294961187 009150304916533946476371776643912079834749462739782217150209067019030246 976215127852195614207080646163137323651785397629209202550028896201297014 137964003805573494926907353514596120867479654773369295877362863566014376 796403843079686413856344780132826128458918489852804804884418082163942397 401436290348166545811445436646003249061876303950235640204453074821024136 689519664422133920075747912868380517515063466256939193774028351207566626 082989049187728783385217852279204577184696585527879044756219266399200840 930207567392536373562839082981757790215320210640961737328359849406665214 119818381088451545977289516457213189779790749194101314836854463961690460 703010759681893374121757598816512700076126278916951040631585763753478742 007022205107089125761236165802680681585849985263146587808661680073326467 683020639169720306489440562819540619068524200305346315662189132730906968 735318164109451428803660599522024824888671155442910472192913424834643870 536850864874909917881267056566538719104972182004237149274016446094345984 539253670613221061653308566202118896823400575267548610147699368873820958 455221157192347968688816085363161586288015039594941852948922707441082820 716930338781808493620401825522227101098565344481720747075601924591559943 107294957819787859057894005254012286751714251118435643718405356302418122 547326609330271039796809106493927272268303541046763259135527968383770501 985523462122285841055711992173171796980433931770775075562705604783177984 444763756025463703336924711422081551997369137197516324130274871219986340 454824852457011855334267526471597831073124566342980522145549415625272402 891533335434934121786203700726031527987077187249123449447714790952073476 138542548531155277330103034247683586549609372232400715451812973269208105 842409055772564580368146223449318970813889714329983134761779967971245378 231070373915147387869211918756670031932128189680332269659445928621060743 882741691946516226763254066507088107103039417886056489376981673415902592 519461182364294565266937220315550470021359884629275801252771542201662995 486313032491231102962792372389976641680349714122652793190763632613681414 551637665655983978848938173308266877990196288693229659737995193162118721 545528739417024366988559388879331674453336311954151840408828381519342123 412282003095031334105070476015998798547252919066522247931971544033179483 683737322082188577334162385644138070054191353024594391350255453188645479 625226025176292837433046510236105758351455073944333961021622967546141578 112719700173861149427950141125328062125477581051297208846526315809480663 368767014731073354071771087661593585681409821296773075919738297344144525 668877085532457088895832099382343210271822411476373279135756861542125284 965790333509315277692550584564401055219264450531207375628774499816364633 283581614033017581396735942732769044892036188038675495575180689005853292 720149392350052584514670698262854825788326739873522045722823929020714482 221988558710289699193587307427781515975762076402395124386020203259659625 021257834995771008562638611823381331850901468657706401067627861758377277 289589274603940393033727187385053691295712671506689668849388088514294360 996201296675907922508227531381284985152690293170026313632894209579757795 932763553116206675348865131732387243874806351331451264488996758982881292 548007642518658649024111112730135719718138160258317850693224400799865663 537154408845486639318170839573578079905973083909488180406093595919090747 396090441015051632174968141210076571917748376735575100073361692238653742 907945780320004233745280756615304292901449578062963413838355178359976470 885134900485697369796523869584599459559209070905895689145114141268450546 211794502661175016692826025095077077821195043261738322356243760177679936 279609936897519139496503335850715541843645685261667424368892037103749532 842592713161053783498074073915863381796765842525803673720646935124865223 848134166380806150570482905989069645193644001859712042572300731641000991 698752426037736217776343062161674488493081092990100951797454156425120482 208671458684925513244426677712786372821133153622430109182439124338021404 624222334915355951689081628848798998827363044537243217428021575577796702 166631704796972817248339284101564227450727177926939992974030807277039501 358154514249404902653610582540937311465310494338248437971860693721444460 082679800247122948940576185389220342560830269705287662137737359439422411 470707407290272546130735854174569141944648762435768239706570318416846754 073346634629367398362000404140071405427763248013274220268539369886978760 700959004868465062677136307097982100655728510130660101078063374334477307 347865388174268123074376606664331277535646657860371519292276844045827328 324380821284121877613204246046490080105473142674926082692215563740548624 171703102791999694264562095561981645454766204502241144940474934983220680 719135276798674781345820385957041346617793722853494003163159954409368408 957253343870298671782977037333280680176463950209002394193149911500910527 682111951099906316615031158558283558260717941005252858361136996130344279 017381178741206128818206202326384986151565645123004779296756361834576810 504334176954306753804111392855379252924134733948105053202570872818630729 115891133594201476187266429156403637192760230628384065042544174233546454 998705531872688792642410214736369862546374715974435494344389973005174252 511087735788639094681209667342815258591992485764048805507132981429935991 146323991911395992675257635900744657281019180584180734222773472139772321 823177171691640010882611254909336118678057572239101818616854910850088527 227437421208652485237245624869766224538481929867112945294551549703058591 930719849710541418163696897613112674402700964866754593456705993699546450 055892162804797636568613331656390739570327203438917541526750091501119885 687270884819553167693168127289214303137681801644547736751835349785792427 646335416243360112596025210950161226411034608346564823559793427405686884 922445874549377675212032470380303549115754483129527589193989368087632768 543876955769488142284431199859570072752139317683783177033913042306095899 913731468456901042209516196707050642025673387344611565527617599272715187 766001023894476053978951694570880272873622512107622409181006670088347473 760515628553394356584375627124124445765166306408593950794755092046393224 520253546363444479175566172596218719927918657549085785295001284022903506 151493731010700944615101161371242376142672254173205595920278212932572594 714641722497732131638184532655527960427054187149623658525245864893325414 506264233788565146467060429856478196846159366328895429978072254226479040 061601975197500746054515006029180663827149701611098795133663377137843441 619405312144529185518013657555866761501937302969193207612000925506508158 327550849934076879725236998702356793102680413674571895664143185267905471 716996299036301554564509004480278905570196832831363071899769915316667920 895876857229060091547291963638167359667395997571032601557192023734858052 112811745861006515259888384311451189488055212914577569914657753004138471 712457796504817585639507289533753975582208777750607233944558789590571915 6736

This is an enormous number. Pentation increases rapidly. If you're wondering, $$\underset{2}{3} = 7625597484987$$, and $$\underset{3}{3} = 3^{3^{3^{3^{3^{3^{7625597484987}}}}}}$$.

Sextation
This would be $$a_6b$$ or $$\ _ba$$. This was requested by someone on #math. :)

Let's try $$\ _{2}2$$.
 * $$\ _{2}2 = \underset{2}{\underset{2}{2}}$$.
 * $$\underset{2}{\underset{2}{2}} = \underset{65536}{2}$$
 * $$\ ^{\underbrace{a_{\cdot_{\cdot_{a}}}} \atop 65536}2$$

That number might as well be infinity. :)