User:Dunge88/sandbox

Теорија на редици на чекање
Теорија на редици на чекање е математички студија на чекање во линии или редици. Во теоријата на редици, конструиран е модел за да можат да бидат предвидени должината на редиците и времето на чекање. Теорија на редици на чекање генерално се смета за гранка на истражувачки активности бидејќи резултатите често се користат при донесување деловни одлуки за ресурсите потребни за обезбедување на услуга.

Теоријата на редици на чекање потекнува од истражувањата на Агнер Краруп Ерланг кога креирал модел за да ја опише телефонската централа на Копенхаген. Идејата од тогаш се применува во телекомуникациите, сообраќајното инженерство, процесирањето и во дизајн на фабрики, продавници и болници како и во проектниот менаџмент.

Едниствено поредување на јазли
'Едниствено поредување на јазли' обично се опишани користејќи ја ознаката на Кендал во форма A/S/C, каде А го означува времето помеѓу пристигнувањата во редицата, S големината на задачата и C, бројот на сервери на јазолот. Многу теореми во теорија на редици можат да се докажат преку намалување на редици во математичките системи познати како Маркови ланци, прв пат опишани од Андреј Марков во неговиот труд во 1906 година.

Агнер Краруп Ерланг, Дански инженер кој работел за телефонската централа на Копенхаген, го објавил својот труд на теорија на редици во 1909 година. Тој го моделирал бројот на дојдовни повици во централата со Поисоновиот процес и го решил M/D/1 редот во 1917 и M/D/k моделот на редици во 1920. Кендаловата нотација-ознака:
 * М - Марков или memoryless и значи пристигнувањата се појавуваат според Поисоновиот процес
 * Д - детерминистички и значи задачи што пристигнуваат на редицата имаат потреба од точен износ на услуга
 * к – го опишува бројот на серверот на подредувачкиот јазолот (к = 1, 2...). Ако има повеќе задачи на јазолот од сервери тогаш задачите ќе се подредат и ќе чекаат за услуга

M/M/1 редот е едноставен модел каде што еден сервер опслужува задачи кои што пристигнуваат согласно Поасоновиот процес и имаат експоненцијално распределени задачи. Во M/G/1 редот, G означува генерално и покажува произволна веројатност за дистрибуција. M/G/1 моделот е решен од Феликс Полаѕек во 1930, решението подоцна се преформулира во услови на веројатност од Александр Кхинчин и сега формулата е позната како Полацек-Кхинчин.

После 1940 теоријата на редици стана поле на интерес за истражување кај математичарите. Во 1953 Давид Џорџ Кендал го решил GI/M/k редот, и со тоа вовел модерна ознака за редици, позната како кендалова нотација. Во 1957 Полацек го изучувал GI/G/1 користејќи интегрални равенки. Џон Кингман дал форлмула за времето за чекање во редица во G/G/1: Кингзманова формула.

Методот на геометриска матрица и методот на аналитичка матрица ни дозволија редиците со фазни дистрибуции и временски задачи да бидат разгледани.

Проблеми како ефикасноста за M/G/k редиците сè уште претставуваат проблем.

Дисциплини на услугите
Различни политики на распоред можат да бидат искористени во редење јазли: Овој принцип ни кажува дека задачите се извршуваат една по една и клиентот кој чекал највеќе ќе биде услужен прв. Овој принцип исто така ни кажува дека задачите се извршуваат една по една, но клиентот кој што чекал најмалку ќе биде услужен прв, познато како “stack”. Капацитетот за давање услуги се дели подеднакво помеѓу клиентите. Клиентите со висок приоритет се услужени први. Постојат два вида на редици со приоритет, не примитивни (каде задачата не смее да биде прекината) и примитивни (каде задачата може да биде прекината од друга задача со поголем приоритет). Ниту една задача не е изгубена во двата модела. Следна задача за извршување е задачата со најмала големина. Следна задача за извршување е задачата со вистинската најмала големина. Следна задача за извршување е таа што има најмало преостанато време потребно за процесирање. Еден сервер: клиентите се подредуваат и постои единствен сервер Паралелни сервери: клиентите се подредуваат и постојат повеќе сервери Тандем редици: постојат повеќе шалтери и клиентите можат да изберат редица Предомислување: клиентот одлучува да не чека доколку редицата е предолга
 * Прв влегува прв излегува
 * Последен влегува прв излегува
 * Процесно споделување/делење
 * Приоритет
 * Најкратката задача прва
 * Прва задача - примитивната најкрата
 * Задача со најмало преостанато време за процесирање
 * Зграда за услуги Сервисен центар
 * Однесувањето на клиентите за време на чекање

Маневрирање: клиентот променува редици ако мисли дека ќе биде услужен побрзо

Одбегнување: клиентот одлучува да ја напушти редицата ако чекал предолго за да биде услужен

Мрежи за редици на чекање
Мрежи на редици на чекање се системи во кои одреден број на редици се поврзани со рутирање на клиенти. Кога клиентите се услужени со еден јазол, може да се приклучиат на друг јазол и да чекаат за услугата, или да ја напуштат мрежа. За мрежа на m, состојбата на системот може да се опише со m-димензионален вектор (X1, X2, ..., XM) каде xi го претставува бројот на клиенти во секој јазол.

Првите значајни резултати во оваа област беа Џексоновите мрежи, за кои постои ефикасен продукт во форма на стационарна дистрибуција и анализата на средната вредност која им овозможува на просечните мерки, како пропусна моќ и време на престој да бидеат пресметани. Ако вкупниот број на корисници во мрежата останува константен, мрежата се нарекува затворена мрежа и исто така се покажа дека продукт во форма на стационарна дистрибуција во теоремата Гордон-Њуел. Овој резултат беше проширен до мрежата BCMP каде што мрежа со општо време потребно за услуга, режими и рутирање на клиентите се покажало како пример за продукт од стационирана дистрибуција. Нормализирањето на константи може да се пресмета со алгоритмот на Бузен, предложен во 1973 година.

Мрежи на клиенти исто така биле истражени, Кели мрежи каде што корисниците на различни класи искусуваат различни нивоа на приоритет на различни јазли. Друг тип на мрежа се G-мрежите, кои за првпат се предложени од Ерол Геленбе во 1993 година. Овие мрежи не претпоставуваат експоненцијална распределба на време како кај класичната Џексон мрежа.

Примери од М/М/1
Процес на раѓање и умирање А: дистрибуција на времето на пристигнување
 * А/В/С

В: дистрибуција на времето потребно за процесирање

С: потребен број на паралелни процесирања

Систем за време на пристигнување и време на процесирање

λ: стапка на просечно време на пристигнување

µ: просечна стапка на процесирање на еден сервер

P: веројатност за n клиенти во систем

n: број на луѓе во системот

Ситуација 0: $$\mu_1P_1=\lambda_0P_0$$
 * Е ќе ни го бројот на влегувања во позиција n, и L го претставува бројот на излези од позиција n. Од тоа следи $$|E-L| \in \{0,1\}$$ . Кога системот стигнува во рамнотежна /стабилна состојба, што значи t, следи стапка на пристигнување= стапка на бришење.
 * Равенка за балансирање

Ситуација 1: $$\lambda_0P_0+\mu_2P_2=(\lambda_1+\mu_1)P_1$$

Ситуација n: $$\lambda_{n-1}P_{n-1}+\mu_{n+1}P_{n+1}=(\lambda_n+\mu_n)P_n$$

Равенка за балансирање: $$P_1=\frac{\lambda_0}{\mu_1}P_0\;\;\;P_2=\frac{\lambda_1}{\mu_2}P_1+\frac{1}{\mu_2}(\mu_1P_1-\lambda_0P_0)=\frac{\lambda_1}{\mu_2}P_1=\frac{\lambda_1\lambda_0}{\mu_2\mu_1}P_0 $$

Математичка индукција: $$ P_n=\frac{\lambda_{n-1}\lambda_{n-2}\cdots\lambda_0}{\mu_n\mu_{n-1}\cdots\mu_1}P_0=P_0\prod_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} $$

Бидејќи: $$ \sum_{n=0}^{\infty}P_n=P_0+P_0\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{i=0}^ {n-1}\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}}=1 $$

Добиваме: $$ P_0=\frac{1}{1+\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{i=0}^ {n-1}\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}}} $$

Рутирачки алгоритми
Во дискретно време, во мрежите во каде има constraint ограничувања на кој service nodes услужни јазли/јазли на услуги можат да бидат активни во секое време, max-weight scheduling алгоритамот одбира service policy политика на услуга која ќе даде оптималена пропусна моќ во случај каде секоја задача посетува/зафаќа само една service node. Во поопшт случај каде задачите може да посетуваат повеќе од еден јазол, "backpressure" рутирањето ни овозможува оптимална продуктивност.

Распоредувачот на мрежа мора да одбере "queuing" алгоритам, кој влијае врз карактеристиките на поголемата мрежа.

Поле на граници
Моделите на средни полиња го земаат во обзир ограниченото однесување на емпириските мерки додека бројот на  редици  (поголемо од m) расте/се движи кон бесконечност. Влијанието од другите редици на било која дадена редица во мрежата е приближна со диференцијална равенка. Детерминистикиот модел конвергира во истата стационарна дистрибуција како оригиналниот модел.

Течни граници
Течните модели се континуирани детерминистички аналози на мрежите добиени со земање на лимитот кога процесот е прилагоден во време и простор, дозволувајќи хетерогени објекти. Оваа измерена прилагодена траекторија патека конвергира во детерминистичка равенка која дозволува стабилноста на системот да биде докажана. Се знае дека мрежата може да биде стабилна, но има нестабилена течна граница.

Густ сообраќај
Во систем со висок процент на зафатеност (употреба во близина 1), апроксимација на густ сообраќај може да се користи за да се апроксимира должината на редицата со гледање на брауновото движењe, користејќи го Орнстеин-Ухленбек процесот или процесот на дифузија. Бројот на димензиите на "RBM" е еднаков на бројот на редици на јазли и дифузијата е ограничена на не-негативен orthant.

Дополнително

 * "Ehrenfest_model"
 * "Industrial engineering"
 * "Network simulation"
 * "Queueing delay"
 * "Queue management system"
 * "Queueing Systems "– "a journal of queueing theory"
 * "Random early detection"
 * "Renewal theory"
 * "Throughput"
 * "Scheduling (computing)"
 * "Traffic jam"
 * "Traffic generation model"
 * "Flow network"

Останато

 * "Queueing theory calculator"
 * "Teknomo's Queueing theory tutorial and calculators"
 * "Virtamo's Queueing Theory Course"
 * "Myron Hlynka's Queueing Theory Page"
 * "Queueing Theory Basics"
 * "A free online tool to solve some classical queueing systems"
 * "What You Hate Most About Waiting in Line: (It’s not the length of the wait.)", by Seth Stevenson, Slate, 2012 – popular introduction