User:El Caro/sandbox

Isoperimetry


The isoperimetric problem is to determine a figure with the largest area, amongst those having a given perimeter. The solution is intuitive: it is the circle. In particular, that is why drops of fat on a broth surface are circular.

This problem may seem simple, but its mathematical proof needs spohisticated theories. The isoperimetric problem is sometimes simplified: one search for the quadrilateral, or the triangle or another particular figure, with the largest area amongst those having a given perimeter. The solution to the quadrilateral isoperimetric problem is the square, and it is the equilateral triangle to the triangle problem. In general, the polygon with n sides having the largest area and a given perimeter is the regular polygon, which is the closer to the circle.

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :


 * $$\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1$$

Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2,900 ans, ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne.

Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.