User:El Slameron/IA

$$\rho=\frac{VA}{I\mathit{l}}$$

Step1
$$M^1=M$$

$$M^n =\begin{Bmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{Bmatrix}$$

$$M^n =\begin{Bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{Bmatrix}^n$$

Step2
$$P =\begin{Bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{Bmatrix}$$

$$P^2 =\begin{Bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{Bmatrix}^2 =\begin{Bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{Bmatrix} =2\begin{Bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{Bmatrix}$$

$$P^3 =\begin{Bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{Bmatrix}^3 =\begin{Bmatrix} 36 & 28 \\ 28 & 36 \end{Bmatrix} =4\begin{Bmatrix} 9 & 7 \\ 7 & 9 \end{Bmatrix}$$

$$P^4 =\begin{Bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{Bmatrix}^4 =\begin{Bmatrix} 136 & 120 \\ 120 & 136 \end{Bmatrix} =8\begin{Bmatrix} 17 & 15 \\ 15 & 17 \end{Bmatrix}$$

$$P^{10} =\begin{Bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{Bmatrix}^{10} =\begin{Bmatrix}524800 & 523776 \\ 523776 & 524800 \end{Bmatrix} =512\begin{Bmatrix} 1025 & 1023 \\ 1023 & 1025 \end{Bmatrix}$$

$$P^n =2^{n-1}\begin{Bmatrix} 2^n+1 & 2^n-1 \\ 2^n-1 & 2^n+1 \end{Bmatrix}$$

$$S^n$$

$$S =\begin{Bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{Bmatrix}^n$$

$$S^2 =\begin{Bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{Bmatrix}^2 =\begin{Bmatrix} 20 & 16 \\ 16 & 20 \end{Bmatrix} =2\begin{Bmatrix} 10 & 8 \\ 8 & 10 \end{Bmatrix}$$

$$S^2 =4\begin{Bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{Bmatrix}$$

$$S^3 =\begin{Bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{Bmatrix}^3 =\begin{Bmatrix} 112 & 104 \\ 104 & 112 \end{Bmatrix} =8\begin{Bmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{Bmatrix}$$

$$S^4 =\begin{Bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{Bmatrix}^4 =\begin{Bmatrix} 656 & 640 \\ 640 & 656 \end{Bmatrix} =16\begin{Bmatrix} 41 & 40 \\ 40 & 41 \end{Bmatrix}$$

$$S^{10} =\begin{Bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{Bmatrix}^{10} =\begin{Bmatrix} 30233600 & 30232576 \\ 30232576 & 30233600 \end{Bmatrix} =1024\begin{Bmatrix} 29525 & 29524 \\ 29524 & 29525 \end{Bmatrix}$$

$$P^n =2^n\begin{Bmatrix} 2^n+1 & 2^n-1 \\ 2^n-1 & 2^n+1 \end{Bmatrix}$$

Step3
$$M$$ $$P$$ $$S$$ $$k=4$$ $$k=10$$ $$k=20$$ $$A_k^n$$ $$A_k^2$$ $$A_k^3$$ $$A_k^{10}$$ $$n^{th}$$ $$n-1$$

$$\begin{Bmatrix} k+1 & k-1 \\ k-1 & k+1 \end{Bmatrix}$$

$$A_4=\begin{Bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{Bmatrix}$$

$$A_{10}=\begin{Bmatrix} 11 & 9 \\ 9 & 11 \end{Bmatrix}$$

$$A_{20}=\begin{Bmatrix} 21 & 19 \\ 19 & 21 \end{Bmatrix}$$

$$A_4^2=\begin{Bmatrix} 34 & 30 \\ 30 & 34 \end{Bmatrix}$$ $$A_4^3=\begin{Bmatrix} 260 & 252 \\ 252 & 260 \end{Bmatrix}=4\begin{Bmatrix} 65 & 63 \\ 63 & 65 \end{Bmatrix}$$

$$A_{20}^{2}=\begin{Bmatrix} 802 & 798 \\ 798 & 802 \end{Bmatrix}=2\begin{Bmatrix} 401 & 399 \\ 399 & 401 \end{Bmatrix}$$

$$A_{20}^{3}=\begin{Bmatrix} 32004 & 31996 \\ 31996 & 32004 \end{Bmatrix}=4\begin{Bmatrix} 8001 & 7999 \\ 7999 & 8001 \end{Bmatrix}$$

$$A_k^n=2^{n-1}\begin{Bmatrix} k^n+1 & k^n-1 \\ k^n-1 & k^n+1 \end{Bmatrix}$$

b
$$ A_2^{-2} =\begin{Bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{Bmatrix}^{-2} =(\begin{Bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{Bmatrix}^{2}){-1} =\begin{Bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{Bmatrix}^{-1} =\begin{Bmatrix} 10 & -6 \\ -6 & 10 \end{Bmatrix} =2\begin{Bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix} 2.5 & -1.5 \\ -1.5 & 2.5 \end{Bmatrix}$$

$$A_k^n=2^{n-1}\begin{Bmatrix} k^n+1 & k^n-1 \\ k^n-1 & k^n+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_2^{-2}=2^{-2-1}\begin{Bmatrix} 2^{-2+1} & 2^{-2-1} \\ k^{-2-1} & k^{-2+1} \end{Bmatrix}$$ $$A_2^{-2}=2^{-3}\begin{Bmatrix} 2^{-1} & 2^{-3} \\ 2^{-3} & 2^{-1} \end{Bmatrix}$$ $$A_2^{-2}=.125\begin{Bmatrix} .5 & .125 \\ .125 & .5 \end{Bmatrix}$$ $$A_2^{-2}=\begin{Bmatrix} .0625 & .015625 \\ .015625 & .0625 \end{Bmatrix}$$

$$k=2$$$$n=-2$$

c
$$k=-2$$$$n=2$$

$$A_k^n=2^{n-1}\begin{Bmatrix} k^n+1 & k^n-1 \\ k^n-1 & k^n+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{2}=2^{2-1}\begin{Bmatrix} -2^{2+1} & -2^{2-1} \\ -2^{2-1} & -2^{2+1} \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{2}=2^{1}\begin{Bmatrix} -2^{3} & -2^{1} \\ -2^{1} & -2^{3} \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{2}=2\begin{Bmatrix} .125 & .5 \\ .5 & .125 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{2}=\begin{Bmatrix} .25 & 1 \\ 1 & .25 \end{Bmatrix}$$

$$ A_{-2}^{2}=\begin{Bmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -3 \end{Bmatrix}^{2} =\begin{Bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{Bmatrix} $$

d
$$k=-2$$$$n=3$$

$$ A_{-2}^{3}=\begin{Bmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -3 \end{Bmatrix}^{3} =\begin{Bmatrix} -36 & -28 \\ -28 & -36 \end{Bmatrix} $$

$$A_k^n=2^{n-1}\begin{Bmatrix} k^n+1 & k^n-1 \\ k^n-1 & k^n+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{3-1}=2^{3-1}\begin{Bmatrix} -2^3+1 & -2^3-1 \\ -2^3-1 & -2^3+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^2=2^{2}\begin{Bmatrix} -2^4 & -2^2 \\ -2^2 & -2^4 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^2=4\begin{Bmatrix} -16 & -4 \\ -4 & -16 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^2=\begin{Bmatrix} -64 & -16 \\ -16 & -64 \end{Bmatrix}$$

e
$$k=-2$$$$n=-3$$

$$A_{-2}^{-3}=\frac{1}{\begin{Bmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -3 \end{Bmatrix}^{2}}=\begin{Bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{Bmatrix}^{-1}=\begin{Bmatrix} 10 & -6 \\ -6 & 10 \end{Bmatrix}$$

$$A_k^n=2^{n-1}\begin{Bmatrix} k^n+1 & k^n-1 \\ k^n-1 & k^n+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{-3}=2^{-3-1}\begin{Bmatrix} -2^{-3+1} & -2^{-3-1} \\ -2^{-3-1} & -2^{-3+1} \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{-3}=2^{-4}\begin{Bmatrix} -2^{-2} & -2^{-4} \\ -2^{-4} & -2^{-2} \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{-3}=.0625\begin{Bmatrix} .25 & -.0625 \\ -.0625 & .25 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-2}^{-3}=\begin{Bmatrix} .015625 & -.00390625 \\ -.00390625 & .015625 \end{Bmatrix}$$

f
$$A$$ $$I_2$$

$$k=-1$$ $$n=2$$

$$A_{-1}^2=\begin{Bmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{Bmatrix}^2$$ $$A_{-1}^2=\begin{Bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{Bmatrix}$$

$$A_k^n=2^{n-1}\begin{Bmatrix} k^n+1 & k^n-1 \\ k^n-1 & k^n+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-1}^2=2^{2-1}\begin{Bmatrix} -1^2+1 & -1^2-1 \\ -1^2-1 & -1^2+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-1}^2=2^{1}\begin{Bmatrix} -1^3 & -1^1 \\ -1^1 & -1^3 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-1}^2=2\begin{Bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{Bmatrix}$$ $$A_{-1}^2=\begin{Bmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -2 \end{Bmatrix}$$

g
$$A_{-1}^2$$

$$({A_{-1}^2})^{-1}=\begin{Bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{Bmatrix}$$

h-j
Since $$k=0$$ for all three cases, the matrix in question each time will be $$A_0=\begin{Bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{Bmatrix}$$.

$$A_0$$ $$A_0^2=\begin{Bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{Bmatrix}$$

$$A_0^n=2^{n-1}\begin{Bmatrix} 0^n+1 & 0^n-1 \\ 0^n-1 & 0^n+1 \end{Bmatrix}$$ $$n=0$$ $$A_0^0=2^{0-1}\begin{Bmatrix} 0^{0+1} & 0^{0-1} \\ 0^{0-1} & 0^{0+1} \end{Bmatrix}$$ $$A_0^0=2^{-1}\begin{Bmatrix} 0^1 & 0^{-1} \\ 0^{-1} & 0^1 \end{Bmatrix}$$

$$A_0^0=A_0$$ $$A_0^n=2^{n-1}\begin{Bmatrix} 0^n+1 & 0^n-1 \\ 0^n-1 & 0^n+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_0=2^{-1}\begin{Bmatrix} 0^0+1 & 0^0-1 \\ 0^0-1 & 0^0+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_0=2^{-1}\begin{Bmatrix} 1+1 & 1-1 \\ 1-1 & 1+1 \end{Bmatrix}$$ $$A_0=\frac{1}{2}\begin{Bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{Bmatrix}$$ $$A_0=\begin{Bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{Bmatrix}$$

Step5
$$k\le0$$ $$n\le0$$ $$k^n$$ $$A=\begin{Bmatrix} k+1 & k-1 \\ k-1 & k+1 \end{Bmatrix}$$

Cleanup
$$(n+1)^{th}$$

$$\begin{Bmatrix} Mean & Extreme \\ Extreme & Mean \end{Bmatrix}$$