User:Felytic/sandbox

В теорії множин (дисципліна математики), числа Алеф  - множина чисел, що використовуються для представлення потужності (розміру) нескінчених множин. Названі за символом, що використовується для їх позначення – літери івриту алеф.($$\aleph$$).

Потужність множини натуральних чисел – $$\aleph_0$$ (читається «алеф-нуль»), наступне, більше, кардинальне число - $$\aleph_1$$, потім - $$\aleph_2$$ і так далі. Продовжуючи таким чином, можна визначити кардинальне число $$\aleph_\alpha$$ для кожного порядкового числа α.

Концепція числа сходить до Георга Кантора, який визначив поняття потужності і зрозумів, що нескінченні множини можуть мати різні потужності.

Числа алеф відрізняються від нескінченності (∞), що часто зустрічається а у алгебрі математичному аналізі. Алеф визначає розмірність нескінчених множин; нескінченність, з іншої сторони, зазвичай, визначається як крайня границя числової прямої (використовується до функцій чи послідовностей, що «розбігаються до нескінченності» або «нескінченно ростуть»), або як крайня точка розширеної числової прямої.

Алеф-нуль
$$\aleph_0$$ є потужністю усіх натуральних чисел, та є першим нескінченим кардиналом. Множина має потужність $$\aleph_0$$ тільки якщо це злічена нескінченна множина, яку можна поставити у пряму бієкцію, тобто «один-до-одного», з множиною натуральних чисел. До таких множин відносяться множина простих чисел, множина усіх раціональних чисел, множна алгебраїчних чисел, множина бінарних строк усіх скінчених довжин і множина усіх скінчених підмножин будь-якої зліченої нескінченої множини.

Потужність зліченної множини $$\aleph_0$$ є найменшим трансфінітним кардинальним числом. Це означає, що будь-яка нескінченна множина A має принаймні одну зліченну частину (тобто зліченну підмножину).

Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m⋅$$\aleph_0 = \aleph_0$$ та $$\aleph_0^m=\aleph_1$$.

Алеф-один
$$\aleph_1$$ є потужністю множини всіх злічених порядкових чисел, яка називається ω1, або іноді Ω. Ця ω1 сама по собі є порядковим номером, більшим, за всі злічені множини, тобто ця множина є незліченою. Таким чином $$\aleph_1$$ відрізняється від $$\aleph_0$$. З визначення випливає, що не існує кардинального числа між $$\aleph_0$$ та $$\aleph_1$$.

Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m⋅$$\aleph_1 = \aleph_1 $$⋅$$ \aleph_1 = \aleph_1^m = \aleph_1$$^$$\aleph_0 = \aleph_1$$, де m≥1 – ціле.