User:FenggeTCD

Padé逼近是“最好的”逼近给定的顺序由一个有理函数的功能 - 在这种技术下，同意逼近的电源系列电源系列的功能近似. 这项技术是由亨利的Padé，但可以追溯到乔治弗罗贝纽斯的思想介绍和调查功能的合理近似电源系列. Padé逼近往往比截断的泰勒级数近似的功能提供了更好的，它仍然可以工作的泰勒级数不收敛. 出于这些原因Padé逼近中广泛使用了计算机计算. 他们也被用来作为辅助功能的丢番图逼近和超越数论，特别的方法，在一定程度上的Padé理论的启发虽然锋利的结果，通常会取代他们.

定义
函数“F”和两个整数 S M≥0， N≥0，“Padé逼近的”秩序 M / N 是有理函数


 * $$R(x)= \frac{\sum_{j=0}^{m}a_j x^j}{1+\sum_{k=1}^{n}b_k x^k}=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m}{1+b_1 x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n}$$

同意"F（X）"，以尽可能高的顺序，这相当于


 * $$\begin{array}{rcl}

f(0)&=&R(0)\\ f'(0)&=&R'(0)\\ f(0)&=&R(0)\\ &\vdots& \\ f^{(m+n)}(0)&=&R^{(m+n)}(0)\end{array}$$.

等价地，如果“R（x）的”扩大的麦克劳林系列（泰勒级数为0），其第一个“M”+“N”条款将取消第一个“米”'+ N的“F（X）”，因此：


 * $$f(x)-R(x) = c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots$$

Padé逼近的是唯一的给定的“米”和“N”，即是，系数 $$a_0, a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n$$的可以唯一确定. 它的唯一性的原因，在“R（x）的分母的零阶项是”被选择为1，否则为“R（x）的分子和分母的”仅本来独特高达乘以一个常数.

Padé逼近上述定义也记作


 * $$[m/n]_f(x). \,$$

计算
对于给定的“X”，Padé逼近的计算Wynn's epsilon algorithm 还有其他 序列变换 从部分和


 * $$T_N(x)=c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_N x^N $$

泰勒级数“F”，即，我们有


 * $$c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}.$$

“F”也可以是正式的幂级数，并且，因此，Padé逼近的也可以被施加到求和发散一系列.

计算Padé逼近的一种方式是通过[扩展欧几里得算法多项式GCD. 的关系


 * $$R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x) \text{ mod }x^{m+n+1}$$

是相当于'' K（x）的存在的一些因子“，使得


 * $$P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1}$$,

这可以解释为身份中的一个步骤的计算多项式扩展的最大公约数Bézout $$T_{m+n}(x)$$ and $$x^{m+n+1}$$.

概括：计算两个多项式的最大公约数“P”和“Q”，通过长除法计算的剩余序列


 * $$r_0=p,\;r_1=q,\quad r_{k-1}=q_kr_k+r_{k+1}$$,

“K'= 1，2，3，...同 $$\deg r_{k+1}<\deg r_k\,$$, until $$r_{k+1}=0$$.对于Bézout身份的扩展GCD的同时计算两个多项式序列


 * $$u_0=1,\;v_0=0,\quad u_1=0,\;v_1=1,\quad u_{k+1}=u_kq_k-u_{k-1},\;v_{k+1}=v_kq_k-v_{k-1}$$

在每个步骤中，得到Bézout身份


 * $$r_k(x)=u_k(x)p(x)+v_k(x)q(x)$$.

“[M / N]”逼近，从而进行了扩展欧几里得算法


 * $$r_0=x^{m+n+1},\;r_1=T_{m+n}(x)$$

并停止在最后的瞬间，$$v_k$$ 的有“N”或更小的程度.

多项式的集合$$P=r_k,\;Q=v_k$$给“[M / N]”Padé逼近. 如果一个人计算的所有步骤的扩展GCD计算，将获得一个反对角线[Padé表]...

黎曼的Padézeta函数
要研究的重求和的[不同系列]，说


 * $$ \sum_{z=1}^{\infty}f(z), $$


 * $$r_0=x^{m+n+1},\;r_1=T_{m+n}(x)$$

它可以是有用的介绍简单合理的zeta函数的Padé或


 * $$ \zeta _{R}(s) = \sum_{z=1}^{\infty} \frac{R(z)}{z^{s}}, $$

哪里


 * $$ R(x) = [m/n]_{f}(x),\,$$

只是Padé逼近的顺序（“M”，“N”）的功能“F（X）”. ζ电正规化的值在“的''=0被取为发散系列的总和.

是这个函数值Padézeta函数的函数方程为


 * $$ \sum_{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)= \sum_{j=0}^{m}b_{j}\zeta_{0}(s-j), $$

“一个 J 的”和“BĴ”的Padé逼近系数. 标'0'表示的Padé是[0/0]，因此，我们的黎曼zeta函数.

文献

 * Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P.  Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
 * Baker, G. A., Jr. Padé approximant, Scholarpedia, 7(6):9756.
 * Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
 * Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
 * Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
 * Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 supplement.
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