User:Fujunwu/sandbox

位置
绝对坐标系$$O_aX_aY_a$$内有旋转坐标系$$OXY$$. $$OY$$轴一直指向$$O_a$$,$$O$$到$$O_a$$的距离固定为$$r$$. $$OY$$与$$O_aY_a$$的夹角为$$\theta$$.

坐标系$$OXY$$内有一点$$P$$,在坐标系$$OXY$$内的坐标为 $$\left( x,y \right)$$. 在坐标系$$OXY$$的两个单位向量记为$$\vec{x},\vec{y}$$. 向量$$\vec{P}$$由点$$O$$指向点$$P$$，于是$$\vec{P}=x\vec{x}+y\vec{y}$$. 向量$$\vec{r}=\vec{O_aO}$$由点$$O_a$$指向点$$O$$. 向量$$\vec{P_a}=\vec{O_aP}$$由点$$O_a$$指向点$$P$$. 向量$$\vec{P}=\vec{OP}$$由点$$O$$指向点$$P$$ $$\vec{P_a}=\vec{r}+\vec{P}$$ $$\vec{P}=x\vec{x}+y\vec{y}$$ $$\vec{x}=[\cos{\theta},\sin{\theta}]$$ $$\vec{y}=[-\sin{\theta},\cos{\theta}]$$ $$\vec{r}=[r\sin{\theta},-r\cos{\theta}]=-r\vec{y}$$ $$\vec{P_a}=[r\sin{\theta}+x\cos{\theta}-y\sin{\theta}, -r\cos{\theta}+x\sin{\theta}+y\cos{\theta}] $$ $$\vec{P_a}=[\left(r-y\right)\sin{\theta}+x\cos{\theta}, -\left(r-y\right)\cos{\theta}+x\sin{\theta}] $$ $$\vec{P_a}=\left(r-y\right)[\sin{\theta},-\cos{\theta}]+ x[\cos{\theta},\sin{\theta}] $$ $$\vec{P_a}=\left(y-r\right)\vec{y}+x\vec{x} $$

速度
A点的速度向量 $$\dot{\vec{P}}=[-\left(\dot{y}+x\dot{\theta}\right)\sin{\theta} +\left(\dot{x}+\left(r-y\right)\dot{\theta}\right)\cos{\theta}, \left(\dot{y}+x\dot{\theta}\right)\cos{\theta} +\left(\dot{x}+\left(r-y\right)\dot{\theta}\right)\sin{\theta}] $$ 记$$v_x=\dot{x}+\left(r-y\right)\dot{\theta}$$，$$v_y=\dot{y}+x\dot{\theta}$$ $$\dot{\vec{P}}=[-v_y\sin{\theta}+v_x\cos{\theta},v_y\cos{\theta}+v_x\sin{\theta}]$$ $$\vec{v}=\dot{\vec{P}}=v_x\vec{x}+v_y\vec{y}$$

$$v_x$$和$$v_y$$分别是点$$P$$的速度矢量在$$\vec{x}$$和$$\vec{y}$$的分量 用矢量方法计算：

$$\dot{\vec{x}}=[-\dot{\theta}\sin{\theta},\dot{\theta}\cos{\theta}]=\dot{\theta}[-\sin{\theta},\cos{\theta}]= \dot{\theta}\vec{y}$$ $$\dot{\vec{y}}=[-\dot{\theta}\cos{\theta},-\dot{\theta}\sin{\theta}]==-\dot{\theta}[\cos{\theta},\sin{\theta}]=-\dot{\theta}\vec{x} $$ $$\dot{\vec{P}}=\dot{y}\vec{y}+\left(y-r\right)\dot{\vec{y}}+\dot{x}\vec{x}+x\dot{\vec{x}} $$ $$\dot{\vec{P}}=\dot{y}\vec{y}-\left(y-r\right)\dot{\theta}\vec{x}+\dot{x}\vec{x}+x\dot{\theta}\vec{y} $$ $$\dot{\vec{P}}=\left(\dot{x}+\left(r-y\right)\dot{\theta}\right)\vec{x}+\left(\dot{y}+x\dot{\theta}\right)\vec{y}$$

加速度
$$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v_x}\vec{x}+v_x\dot{\vec{x}}+\dot{v_y}\vec{y}+v_y\dot{\vec{y}}$$ $$\vec{a}=\left(\dot{v_x}-v_y\dot{\theta}\right)\vec{x}+\left(\dot{v_y}+v_x\dot{\theta}\right)\vec{y}$$ 记$$a_x=\dot{v_x}-v_y\dot{\theta}$$和$$a_y=\left(\dot{v_y}+v_x\dot{\theta}\right)$$ 则$$\vec{a}=a_x\vec{x}+a_y\vec{y}$$ $$a_x=\ddot{x}-2\dot{y}\dot{\theta}+\left(r-y\right)\ddot{\theta}-x\dot{\theta}^2$$ $$a_y=\ddot{y}+2\dot{x}\dot{\theta}+x\ddot{\theta}-\left(r-y\right)\dot{\theta}^2$$ $$\vec{a}=[\ddot{x},\ddot{y}] + 2\dot{\theta}[-\dot{y},\dot{x}] +\ddot{\theta}[\left(r-y\right),x]-\dot{\theta}^2[x,\left(r-y\right)]$$

参考
$$ m = \frac{m_{x0-i}^{p^{t_2-1}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$