User:GJ1729/sandbox

=Symmetric products= In algebraic topology, the nth symmetric product of a topological space consists of the unordered n-tuples of its elements. If one fixes a basepoint, there is a canonical way of embedding the lower-dimensional symmetric products into the higher-dimensional ones. That way, one can consider the colimit over the symmetric products, the infinite symmetric product. This construction can easily be extended to give a homotopy functor.

From an algebraic point of view, the infinite symmetric product is the free commutative monoid generated by the space minus the basepoint, the basepoint yielding the identity element. That way, one can view it as the abelian version of the James reduced product.

One of its essential applications is the Dold-Thom theorem, stating that the homotopy groups of the infinite symmetric product of a connected CW complex are the same as the reduced homology groups of that complex. That way, one can give a homotopical definition of homology.

Definition
Let X be a topological space and n ≥ 1 a natural number. Define the nth symmetric product of X or the n-fold symmetric product of X as the space


 * $$\operatorname{SP}^n(X)= X^n/S_n.$$

Here, the symmetric group Sn acts on Xn by permuting the factors. Hence, the elements of SPn(X) are the unordered n-tuples of elements of X. Write [x1, ..., xn] for the point in SPn(X) defined by (x1, ..., xn) ∈ Xn.

Note that one can define the nth symmetric product in any category where  products and colimits exist. Namely, one then has canonical isomorphisms φ : X × Y → Y × X for any objects X and Y and can define the  action of the transposition $$(k\ k+1)\in S_n$$ on Xn as $$\operatorname{Id}^{k-1} \times \phi \times \operatorname{Id}^{n-k-1}$$, thereby inducing an action of the whole Sn on Xn. This means that one can consider symmetric products of objects like  simplicial sets as well. Moreover, if the category is cartesian closed, the distributive law X × (Y ∐ Z) ≅ X × Y ∐ X × Z holds and therefore one gets


 * $$\operatorname{SP}^n(X\amalg Y) = \coprod_{k=0}^n \operatorname{SP}^k(X)\times \operatorname{SP}^{n-k}(Y).$$

If (X, e) is a based space, it is common to set SP0(X) = {e}. Further, Xn can then be embedded into Xn+1 by sending (x1, ..., xn) to (x1, ..., xn, e). This clearly induces an embedding of SPn(X) into SPn+1(X). Therefore, the infinite symmetric product can be defined as


 * $$\operatorname{SP}(X)=\operatorname{colim}\operatorname{SP}^n(X).$$

A definition avoiding category theoretic notions can be given by taking SP(X) to be the union of the increasing sequence of spaces SPn(X) equipped with the direct limit topology. This means that a subset of SP(X) is open if and only if all its intersections with the SPn(X) are open. We define the basepoint of SP(X) as [e]. That way, SP(X) becomes a based space as well.

One can generalise this definition as well to pointed categories where products and colimits exist. Namely, in this case one has a canonical map Xn → Xn+1, induced by the identity Xn → Xn and the zero map Xn → X. So this results in a direct system of the symmetric products, too and one can therefore define its colimit as the infinite symmetric product.

Examples
\qquad \operatorname{SP}^n(S^1)&\to S^1, \\ {\color{white} .} [w_1,\dots,w_n]&\mapsto w_1\cdots w_n \end{align}$$ is a fibre bundle with fibre being homeomorphic to the (n − 1)-dimensional standard simplex ∆n−1. It is orientable if and only if n is odd. \qquad f\colon (S^2)^n&\to \mathbf{CP}^n, \\ (a_1,\dots,a_n)&\mapsto (z+a_1)\cdots(z+a_n), \end{align}$$ where the possible factors z + ∞ are omitted. One can check that this map indeed is continuous. As f(a1, ..., an) remains unchanged under permutation of the ai's, f induces a continuous bijection SPn(S2) → CPn. But as both are compact Hausdorff spaces, this map is a homeomorphism. Letting n go to infinity shows that the assertion holds.
 * SPn(I) is the same as the n-dimensional standard simplex Δn, where I denotes the unit interval.
 * SPn(S1) can be identified with the space of conjugacy classes of unitary n × n-matrices, where S1 is supposed to be the circle. This is because such a class is uniquely determined by the eigenvalues of an element of the class, all lying in S1. At first, one can easily see that this space is homotopy-equivalent to S1: As SPn is a homotopy functor (see  Properties), the space in question is homotopy-equivalent to SPn(C − {0}). Consider the map SPn(C − {0}) → Pn into the space Pn of polynomials over C of degree at most n, mapping [w1, ..., wn] to (z - w1) ⋅⋅⋅ (z - wn). This way, one can identify SPn(C − {0}) with the space of monic polynomials of degree n having constant term different from zero, i.e. Cn − 1 × (C − {0}), which is homotopy-equivalent to S1. This implies that the infinite symmetric product SP(S1) is homotopy-equivalent to S1 as well. However, one knows considerably more about the space SPn(S1). Namely, that the map  $$\begin{align}
 * SP(S2) is homeomorphic to the infinite-dimensional complex projective space CP∞ as follows: The space CPn can be identified with the space of nonzero polynomials of degree at most n over C up to scalar multiplication by sending a0 + ... + anzn to the line passing through (a0, ..., an). Interpreting S2 as the Riemann sphere C ∪ {∞} yields a map $$\begin{align}

Although calculating SP(Sn) for n ≥ 3 turns out to be quite difficult, one can still describe SP2(Sn) quite well as the mapping cone of a map ΣnRPn-1 → Sn, where Σn stands for applying the reduced suspension n times and RPn−1 is the (n − 1)-dimensional real projective space: One can view SP2(Sn) as a certain quotient of Dn × Dn by identifying Sn with Dn/∂Dn. Interpreting Dn × Dn as the cone on its boundary Dn × ∂Dn ∪ ∂Dn × Dn, the identifications for SP2 respect the concentric copies of the boundary. Hence, it suffices to only consider these. The identifications on the boundary ∂Dn × Dn ∪ Dn × ∂Dn of Dn × Dn itself yield Sn. This is clear as this is a quotient of Dn × ∂Dn and as ∂Dn is collapsed to one point in Sn. The identifications on the other concentric copies of the boundary yield the quotient space Z of Dn × ∂Dn, obtained by identifying (x, y) with (y, x) whenever both coordinates lie in ∂Dn. Define a map f: Dn × RPn−1 → Z by sending a pair (x, L) to (w, z). Here, z ∈ ∂Dn and w ∈ Dn are chosen on the line through x parallel to L such that x is their midpoint. If x is the midpoint of the segment zz′, there is no way to distinguish between z and w, but this is not a problem since f takes values in the quotient space Z. Therefore, f is well-defined. As f(x, L) = f(x, L′) holds for every x ∈ ∂Dn, f factors through ΣnRPn−1 and is easily seen to be a homeomorphism on this domain.

H-space structure
As SP(X) is the free commutative monoid generated by X − {e} with identity element e, it can be thought of as a commutative analogue of the James reduced product J(X). This means that SP(X) is the quotient of J(X) obtained by identifying points that differ only by a permutation of coordinates. Therefore, the H-space structure on J(X) induces one on SP(X) if X is a CW complex, making it a commutative and associative H-space with strict identity. As such, the Dold-Thom theorem implies that all its k-invariants vanish, meaning that it has the weak homotopy type of a generalised Eilenberg-MacLane space if X is path-connected. However, if X is an arbitrary space, the multiplication on SP(X) may fail to be continuous.

Functioriality
SPn is a homotopy functor: A map f: X → Y clearly induces a map SPn(f) : SPn(X) → SPn(Y) given by SPn(f)[x1, ..., xn] = [f(x1), ..., f(xn)]. A homotopy between two maps f, g: X → Y yields one between SPn(f) and SPn(g). Also, one can easily see that the diagram



commutes, meaning that SP is a functor as well. Similarly, SP is even a homotopy functor on the category of pointed spaces and basepoint-preserving homotopy classes of maps. In particular, X ≃ Y implies SPn(X) ≃ SPn(Y), but in general not SP(X) ≃ SP(Y) as homotopy equivalence may be affected by requiring maps and homotopies to be basepoint-preserving. However, this is not the case if one requires X and Y to be connected CW complexes.

Simplicial and CW structure
SP(X) inherits certain structures of X: For a simplicial complex X, one can also install a simplicial structure on Xn such that each n-permutation is either the identity on a simplex or a homeomorphism from one simplex to another. This means that one gets a simplicial structure on SPn(X). Furthermore, SPn(X) is also a subsimplex of SPn+1(X) if the basepoint e ∈ X is a vertex, meaning that SP(X) inherits a simplicial structure in this case as well. However, one should note that Xn and SPn(X) do not need to have the weak topology if X has uncountably many simplices. An analogous statement can be made if X is a CW complex. Nevertheless, it is still possible to equip SP(X) with the structure of a CW complex such that both topologies have the same compact sets if X is an arbitrary simplicial complex. So the distinction between the two topologies will not cause any differences for purposes of homotopy, e.g.

Homotopy
One of the main uses of infinite symmetric products is the Dold-Thom theorem. It states that the reduced homology groups coincide with the homotopy groups of the infinite symmetric product of a connected CW complex. This allows one to reformulate homology only using homotopy which can be very helpful in algebraic geometry. It also means that the functor SP maps Moore spaces M(G, n) to Eilenberg-MacLane spaces K(G, n). Therefore, it yields a natural way to construct the latter spaces given the proper Moore spaces.

It has also been studied how other constructions combined with the infinite symmetric product affect the homotopy groups. For example, it has been shown that the map


 * $$\rho\colon \operatorname{SP}(X)\to \Omega\operatorname{SP}(\Sigma X), \quad \rho[x_1,\dots,x_n](t) = [(x_1,t),\dots,(x_n,t)]$$

is a weak homotopy equivalence, where ΣX = X ∧ S1 denotes the reduced suspension and ΩY stands for the loop space of the pointed space Y.

Homology
Unsurprisingly, the homology groups of the symmetric product cannot be described as easily as the homotopy groups. Nevertheless, it is known that the homology groups of the symmetric product of a CW complex are determined by the homology groups of the complex. More precisely, if X and Y are CW complexes and R is a principal ideal domain such that Hi(X, R) ≅ Hi(Y, R) for all i ≤ k, then Hi(SPn(X), R) ≅ Hi(SPn(Y), R) holds as well for all i ≤ k. This can be generalised to Γ-products, defined in the next section.

For a simplicial set K, one has furthermore


 * $$H_*(\operatorname{SP}^{n+1}(K))\cong H_*(\operatorname{SP}^{n+1}(K),\operatorname{SP}^n(K)) \oplus H_*(\operatorname{SP}^n(K)).$$

Passing to geometric realisations, one sees that this statement holds for connected CW complexes as well. Induction yields furthermore


 * $$H_*(\operatorname{SP}(K))\cong \bigoplus_{n=1}^\infty H_*(\operatorname{SP}^n(K),\operatorname{SP}^{n-1}(K)).$$

Related constructions and generalisations
S. Liao introduced a slightly more general version of symmetric products, called Γ-products for a subgroup Γ of the symmetric group Sn. The operation was the same and hence he defined XΓ = Xn/Γ as the Γ-product of X. That allowed him to study cyclic products, the special case for Γ being the cyclic group, as well.

When establishing the Dold-Thom theorem, they also considered the "quotient group" Z[X] of SP(X). This is the free abelian group over X with the basepoint as the zero element. If X is a CW complex, it is even a topological group. In order to equip this group with a topology, Dold and  Thom initially introduced it as the following quotient over the infinite symmetric product of the wedge sum of X with a copy of itself: Let τ : X ∨ X → X ∨ X be interchanging the summands. Furthermore, let ~ be the equivalence relation on SP(X ∨ X) generated by


 * $$x\sim x+y+\operatorname{SP}(\tau)(y)$$

for x, y ∈ SP(X ∨ X). Then one can define Z[X] as


 * $$\mathbb{Z}[X] = \operatorname{SP}(X\vee X)/\sim.$$

Since ~ is compatible with the addition in SP(X ∨ X), one gets an associative and commutative addition on Z[X]. One also has the topological inclusions X ⊂ SP(X) ⊂ Z[X] and it can easily be seen that this construction has properties similar to the ones of SP, like being a functor.

McCord gave a construction generalising both SP(X) and Z[X]: Let G be a monoid with identity element 1 and let (X, e) be a pointed set. Define


 * $$B(G,X) = \{ u\colon X\to G: u(e)=1 \text{ and } u(x)=1 \text{ for all but finitely many } x\in X \}.$$

Then B(G, X) is again a monoid under pointwise multiplication which will be denoted by ⋅. Let gx denote the element of B(G, X) taking the value g at x and being 1 elsewhere for g ∈ G, x ∈ X − {e}. Moreover, ge shall denote the function being 1 everywhere, the unit of B(G, X).

In order to install a topology on B(G, X), one needs to demand that X be compactly generated and that G be an abelian topological monoid. Define Bn(G, X) to be the subset of B(G, X) consisting of all maps that differ from the constant function 1 at no more than n points. Bn(G, X) gets equipped with the final topology of the map


 * $$\begin{align}

\mu_n\colon (G\times X)^n&\to B_n(G,X), \\ ((g_1,x_1),\dots,(g_n,x_n))&\mapsto g_1x_1\cdots g_nx_n. \end{align}$$

Now, Bn(G, X) is a closed subset of Bn+1(G, X). Then B(G, X) can be equipped with the direct limit topology, making it again a compactly generated space. One can then identify SP(X) respectively Z[X] with B(N, X) respectively B(Z, X).

Moreover, B(⋅,⋅) is functorial in the sense that B: C × D → C is a bifunctor for C being the category of abelian topological monoids and D being the category of pointed CW complexes. Here, the map B(φ, f) : B(G, X) → B(H, Y) for a morphism φ: G → H of abelian topological monoids and a continuous map f: X → Y is defined as


 * $$B(\varphi, f)(g_1x_1\cdots g_nx_n) = (\varphi g_1)(fx_1)\cdots (\varphi g_n)(fx_n)$$

for all gi ∈ G and xi ∈ X. As in the preceding cases, one sees that a based homotopy ft : X → Y induces a homotopy B(Id, ft) : B(G, X) → B(G, Y) for an abelian topological monoid G.

Using this construction, the Dold-Thom theorem can be generalised. Namely, for a discrete module M over a commutative ring with unit one has


 * $$[X,B(M,Y)]\cong \prod_{n=0}^\infty \tilde{H}^n(X,\tilde{H}_n(Y,M))$$

for based spaces X and Y having the homotopy type of a CW complex. Here, H̃n denotes reduced homology and [X, Z] stands for the set of all based homotopy classes of basepoint-preserving maps X → Z. As M is a module, [X, B(M, Y)] has an obvious group structure. Inserting X = Sn and M = Z yields the Dold-Thom theorem for Z[X].

It is noteworthy as well that B(G, S1) is a classifying space for G if G is a topological group such that the inclusion {1} → G is a cofibration.

=Quasifibrations= In algebraic topology, a quasifibration is a generalisation of fibre bundles and fibrations introduced by Albrecht Dold and René Thom. Roughly speaking, it is a continuous map p: E → B having the same behaviour as a fibration regarding the (relative) homotopy groups of E, B and p−1(x). Equivalently, one can define a quasifibration to be a continuous map such that the inclusion of each fibre into its homotopy fibre is a weak equivalence. One of the main applications of quasifibrations lies in proving the Dold-Thom theorem.

Definition
A continuous surjective map of topological spaces p: E → B is called a quasifibration if it induces isomorphisms


 * $$p_*\colon \pi_i(E,p^{-1}(x),y) \to \pi_i(B,x)$$

for all x ∈ B, y ∈ p−1(x) and i ≥ 0. For i = 0,1 one can only speak of bijections between the two sets.

By definition, quasifibrations share a key property of fibrations, namely that a quasifibration p: E → B induces a long exact sequence of homotopy groups


 * $$\begin{align}

\dots\to \pi_{i+1}(B,x)\to \pi_i(p^{-1}(x),y)\to \pi_i(E,y)&\to \pi_i(B,x)\to \dots \\ &\to \pi_0(B,x)\to 0 \end{align}$$

as follows directly from the long exact sequence for the pair (E, p−1(x)).

This long exact sequence is also functorial in the following sense: Any fibrewise map f: E → E′ induces a morphism between the exact sequences of the pairs (E, p−1(x)) and (E′, p′−1(x)) and therefore a morphism between the exact sequences of a quasifibration. Hence, the diagram



commutes with f0 being the restriction of f to p−1(x) and x′ being an element of the form p′(f(e)) for an e ∈ p−1(x).

An equivalent definition is saying that a surjective map p: E → B is a quasifibration if the inclusion of the fibre p−1(b) into the homotopy fibre Fb of p over b is a weak equivalence for all b ∈ B. To see this, recall that Fb is the fibre of q under b where q: Ep → B is the usual path fibration construction. Thus, one has


 * $$E_p=\{(e,\gamma)\in E\times B^I:\gamma(0)=p(e)\}$$

and q is given by q(e, γ) = γ(1). Now consider the natural homotopy equivalence φ : E → Ep, given by φ(e) = (e, p(e)), where p(e) denotes the corresponding constant path. By definition, p factors through Ep such that one gets a commutative diagram



Applying πn yields the alternative definition.

Examples

 * Every Serre fibration is a quasifibration. This follows from the Homotopy lifting property.
 * The projection of the letter L onto its base interval is a quasifibration, but not a fibration. More generally, the projection Mf → I of the mapping cylinder of a map f: X → Y between connected CW complexes onto the unit interval is a quasifibration if and only if πi(Mf, p−1(b)) = 0 = πi(I, b) holds for all i ∈ I and b ∈ B. But by the long exact sequence of the pair (Mf, p−1(b)) and by Whitehead's theorem, this is equivalent to f being a homotopy equivalence. For topological spaces X and Y in general, it is equivalent to f being a weak homotopy equivalence. Furthermore, if f is not surjective, non-constant paths in I starting at 0 cannot be lifted to paths starting at a point of Y outside the image of f in Mf. This means that the projection is not a fibration in this case.
 * The map SP(p) : SP(X) → SP(X/A) induced by the projection p: X → X/A is a quasifibration for a CW pair (X, A) consisting of two connected spaces. This is one of the main statements used in the proof of the Dold-Thom theorem. In general, this map also fails to be a fibration.

Properties
The following is a direct consequence of the alternative definition of a fibration using the homotopy fibre:


 * Theorem. Every quasifibration p: E → B factors through a fibration whose fibres are weakly homotopy equivalent to the ones of p.

A corollary of this theorem is that all fibres of a quasifibration are weakly homotopy equivalent if the base space is path-connected, as this is the case for fibrations.

Checking whether a given map is a quasifibration tends to be quite tedious. The following two theorems are designed to make this problem easier. They will make use of the following notion: Let p: E → B be a continuous map. A subset U ⊂ p(E) is called distinguished (with respect to p) if p: p−1(U) → U is a quasifibration.


 * Theorem. If the open subsets U,V and U ∩ V are distinguished with respect to the continuous map p: E → B, then so is U ∪ V.


 * Theorem. Let p: E → B be a continuous map where B is the inductive limit of a sequence B1 ⊂ B2 ⊂ ... All Bn are moreover assumed to satisfy the first separation axiom. If all the Bn are distinguished, then p is a quasifibration.

To see that the latter statement holds, one only needs to bear in mind that continuous images of compact sets in B already lie in some Bn. That way, one can reduce it to the case where the assertion is known. These two theorems mean that it suffices to show that a given map is a quasifibration on certain subsets. Then one can patch these together in order to see that it holds on bigger subsets and finally, using a limiting argument, one sees that the map is a quasifibration on the whole space. This procedure has e.g. been used in the proof of the Dold-Thom theorem.

=The Dold-Thom theorem= In algebraic topology, the Dold-Thom theorem states that the homotopy groups of the infinite symmetric product of a connected CW complex are the same as its reduced homology groups. The most common version of its proof consists of showing that the composition of the homotopy group functors with the infinite symmetric product defines a reduced homology theory. One of the main tools used in doing so are quasifibrations. The theorem has been generalised in various ways, for example by the Almgren isomorphism theorem.

There are several other theorems constituting relations between homotopy and homology, for example the Hurewicz theorem. Another approach is given by stable homotopy theory. Thanks to the Freudenthal suspension theorem, one can see that the latter actually defines a homology theory. Nevertheless, none of these allow one to directly reduce homology to homotopy. This advantage of the Dold-Thom theorem makes it particularly interesting for algebraic geometry.

The theorem

 * Dold-Thom theorem. For a connected CW complex X one has πnSP(X) ≅ H̃n(X), where H̃n denotes reduced homology and SP stands for the infite symmetric product.

It is also very useful that there exists an isomorphism φ : πnSP(X) → H̃n(X) which is compatible with the Hurewicz homomorphism h: πn(X) → H̃n(X), meaning that one has a commutative diagram



where i* is the map induced by the inclusion i: X = SP1(X) → SP(X).

The following example illustrates that the requirement of X being a CW complex cannot be dropped offhand: Let X = CH ∨ CH be the wedge sum of two copies of the cone over the Hawaiian earring. The common point of the two copies is supposed to be the point 0 ∈ H meeting every circle. On the one hand, H1(X) is an infinite group while H1(CH) is trivial. On the other hand, π1(SP(X)) ≅ π1(SP(CH)) × π1(SP(CH)) holds since φ : SP(X) × SP(Y) → SP(X ∨ Y) defined by φ([x1, ..., xn], [y1, ..., yn]) = ([x1, ..., xn, y1, ..., yn]) is a homeomorphism for compact X and Y.

But this implies that either π1(SP(CH)) ≅ H1(CH) or π1(SP(X)) ≅ H1(X) does not hold.

Sketch of the proof
One wants to show that the family of functors hn = πn ∘ SP defines a homology theory. Dold and Thom chose in their initial proof a slight modification of the Eilenberg-Steenrod axioms, namely calling a family of functors (h̃n)n∈N 0 from the category of basepointed, connected CW complexes to the category of abelian groups a reduced homology theory if they satisfy
 * If f ≃ g: X → Y, then f* = g*: h̃n(X) → h̃n(Y), where ≃ denotes pointed homotopy equivalence.
 * There are natural boundary homomorphisms ∂ : h̃n(X/A) → h̃n−1(A) for each pair (X, A) with X and A being connected, yielding an exact sequence $$\qquad \dots\xrightarrow{\partial} \tilde{h}_n(A)\xrightarrow{i_*}\tilde{h}_n(X) \xrightarrow{q_*} \tilde{h}_n(X/A)\xrightarrow{\partial} \tilde{h}_{n-1}(A)\xrightarrow{i_*} \dots$$  where i: A → X is the inclusion and q: X → X/A is the quotient map.
 * h̃n(S1) = 0 for n ≠ 1, where S1 denotes the circle.
 * Let (Xλ) be the system of compact subspaces of a pointed space X containing the basepoint. Then (Xλ) is a direct system together with the inclusions. Denote by $$i_\lambda\colon X_\lambda\to X$$ respectively $$i_\lambda^\mu\colon X_\lambda\to X_\mu$$ the inclusion if Xλ ⊂ Xμ. h̃n(Xλ) is a direct system as well with the morphisms $${i_\lambda^\mu}_*$$. Then the homomorphism $$\qquad i_*\colon \varinjlim \tilde{h}_n(X_\lambda)\to \tilde{h}_n(X),$$  induced by the $$i_{\lambda*}$$ is required to be an isomorphism.

One can show that for a reduced homology theory (h̃n)n∈N 0 there is a natural isomorphism h̃n(X) ≅ H̃n(X; G) with G = h̃1(S1).

Clearly, hn is a functor fulfilling property 1 as SP is a homotopy functor. Moreover, the third property is clear since one has SP(S1) ≃ S1. So it only remains to verify the axioms 2 and 4. The crux of this undertaking will be the first point. This is where quasifibrations come into play:

The goal is to prove that the map p*: SP(X) → SP(X/A) induced by the quotient map p: X → X/A is a quasifibration for a CW pair (X, A) consisting of connected complexes. First of all, as every CW complex is homotopy equivalent to a simplicial complex, X and A can be assumed to be simplicial complexes. Furthermore, X will be replaced by the mapping cylinder of the inclusion A → X. This will not change anything as SP is a homotopy functor. It suffices to prove by induction that p* : En → Bn is a quasifibration with Bn = SPn(X/A) and En = p*−1(Bn). For n = 0 this is trivially fulfilled. In the induction step, one decomposes Bn into an open neighbourhood of Bn−1 and Bn − Bn−1 and shows that these two sets are, together with their intersection, distinguished, i.e. that p restricted to each of the preimages of these three sets is a quasifibration. It can be shown that Bn is then already distinguished itself. Therefore, p* is indeed a quasifibration on the whole SP(X) and the long exact sequence of such a one implies that axiom 2 is satisfied as p*−1([e]) ≅ SP(A) holds.

One may wonder whether p* is not even a fibration. However, that turns out not to be the case: Take an arbitrary path xt for t ∈ [0, 1) in X − A approaching some a ∈ A and interpret it as a path in X/A ⊂ SP(X/A). Then any lift of this path to SP(X) is of the form xtαt with αt ∈ A for every t. But this means that its endpoint aα1 is a multiple of a, hence different from the basepoint, so the Homotopy lifting property fails to be fulfilled.

Verifying the fourth axiom can be done quite elementary, in contrast to the previous one.

One should bear in mind that there is a variety of different proofs although this one is seemingly the most popular. For example, proofs have been established via factorisation homology or simplicial sets. One can also proof the theorem using other notions of a homology theory (the Eilenberg-Steenrod axioms e.g.).

Compatibility with the Hurewicz homomorphism
In order to verify the compatibility with the Hurewicz homomorphism, it suffices to show that the statement holds for X = Sn. This is because one then gets a prism



for each Element [f] ∈ πn(X) represented by a map f: Sn → X. All sides except possibly the one at the bottom commute in this diagram. Therefore, one sees that the whole diagram commutes when considering where 1 ∈ πn(Sn) ≅ Z gets mapped to. However, by using the suspension isomorphisms for homotopy respectively homology groups, the task reduces to showing the assertion for S1. But in this case the inclusion SP1(S1) → SP(S1) is a homotopy equivalence.

Mayer-Vietoris sequence
One direct consequence of the Dold-Thom theorem is a new way to derive the Mayer-Vietoris sequence. One gets the result by first forming the homotopy pushout square of the inclusions of the intersection A ∩ B of two subspaces A, B ⊂ X into A and B themselves. Then one applies SP to that square and finally π* to the resulting pullback square.

A theorem of Moore
Another application is a new proof of a theorem first stated by Moore. It basically predicates the following:
 * Theorem. A path-connected, commutative and associative H-space X with a strict identity element has the weak homotopy type of a generalised Eilenberg-MacLane space.

Note that SP(Y) has this property for every connected CW complex Y and that it therefore has the weak homotopy type of a generalised Eilenberg-MacLane space. The theorem amounts to saying that all k-invariants of a path-connected, commutative and associative H-space with strict unit vanish.

Proof
Let Gn = πn(X). Then there exist maps M(Gn, n) → X inducing an isomorphism on πn if n ≥ 2 and an isomorphism on H1 if n = 1 for a Moore space M(Gn, n). These give a map


 * $$\bigvee_n M(G_n,n)\to X$$

if one takes the maps to be basepoint-preserving. Then the special H-space structure of X yields a map


 * $$f\colon \operatorname{SP}\left( \bigvee_n M(G_n,n) \right)\to X$$

given by summing up the images of the coordinates. But as there are natural homeomorphisms


 * $$\operatorname{SP} \left( \bigvee_\alpha X_\alpha \right)\cong \prod_\alpha \operatorname{SP}(X_\alpha),$$

with ∏ denoting the weak product, f induces isomorphisms on πn for n ≥ 2. But as π1(X) → π1SP(X) = H1(X) induced by the inclusion X → SP(X) is the Hurewicz homomorphism and as H-spaces have abelian fundamental groups, f also induces isomorphisms on π1. Thanks to the Dold-Thom theorem, each SP(M(Gn, n)) is now an Eilenberg-MacLane space K(Gn, n). This also implies that the natural inclusion of the weak product ∏n SP(M(Gn, n)) into the cartesian product is a weak homotopy equivalence. Therefore, X has the weak homotopy type of a generalised Eilenberg-MacLane space.

Algebraic geometry
What distinguishes the Dold-Thom theorem from other alternative foundations of homology like Cech or Alexander-Spanier cohomology is that it is of particular interest for algebraic geometry since it allows one to reformulate homology only using homotopy. Since applying methods from algebraic topology can be quite insightful in this field, one tries to transfer these to algebraic geometry. This could be achieved for homotopy theory, but for homology theory only in a rather limited way using a formulation via sheaves. So the Dold-Thom theorem yields a foundation of homology having an algebraic analogue.

=Notes=

=References=

=External Links=
 * Why the Dold-Thom theorem? on MathOverflow
 * The Dold-Thom theorem for infinity categories? on MathOverflow
 * Quasifibrations and homotopy pullbacks on MathOverflow
 * Symmetric product in arbitrary categories? on MathOverflow
 * Group structure on Eilenberg-MacLane spaces on StackExchange
 * Quasifibrations from the Lehigh University

=Symmetrische Produkte= Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie besteht das n-te symmetrische Produkt eines topologischen Raumes aus den ungeordneten n-Tupeln seiner Elemente. Wenn man einen Basispunkt fixiert, gibt es eine kanonische Einbettung der niedrigdimensionalen symmetrischen Produkt in die höherdimensionalen. Auf diese Art kann man den Kolimes der symmetrischen Produkte betrachten, das unendliche symmetrische Produkt. Diese Konstruktion kann leicht zu einem Homotopiefunktor erweitert werden.

Aus algebraischer Sicht ist das unendliche symmetrische Produkt dasselbe wie der freie kommutative Monoid, der vom Raum ohne den Basisipunkt erzeugt wird, wobei der Basispunkt das neutrale Element liefert. Daher kann man es auch als abelsche Version des James-reduzierten Produktes auffassen.

Eine der wichtigsten Anwendungen ist der Satz von Dold-Thom, welcher aussagt, dass die Homotopie-Gruppen des unendlichen symmetrischen Produktes eines zusammenhängenden Zellkomplexes mit den reduzierten Homologiegruppen übereinstimmen. Dadurch kann man eine Definition der Homologie geben, die nur auf Homotopie basiert.

Definition
Sei X ein topologischer Raum und n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Definiere das n-te symmetrische Produkt von X bzw. das n-fache symmetrische Produkt von X als den Raum


 * $$\operatorname{SP}^n(X)= X^n/S_n.$$

Hierbei operiert die symmetrische Gruppe Sn auf Xn durch Permutation der Koordinaten. Daher sind die Elemente von SPn(X) die ungeordneten n-Tupel von Elementen aus X. Schreibe [x1, ..., xn] für den Punkt in SPn(X), der durch (x1, ..., xn) ∈ Xn definiert wird.

Beachte, dass das n-te symmetrische Produkt in beliebigen Kategorien, in denen Produkte und  Kolimiten existieren, definiert werden kann. In diesem Fall hat man nämlich kanonische Isomorphismen φ : X × Y → Y × X für alle Objekte X und Y und kann eine  Operation der Transposition $$(k\ k+1)\in S_n$$ auf Xn mittels $$\operatorname{Id}^{k-1} \times \phi \times \operatorname{Id}^{n-k-1}$$ und dadurch eine Operation der ganzen Sn auf Xn definieren. Das bedeutet, dass man auch symmetrische Produkte von Objekten wie simplizialen Mengen betrachten kann. Ferner gilt das Distributivgesetz X × (Y ∐ Z) ≅ X × Y ∐ X × Z, falls die Kategorie kartesisch geschlossen ist und dadurch erhält man in diesem Fall


 * $$\operatorname{SP}^n(X\amalg Y) = \coprod_{k=0}^n \operatorname{SP}^k(X)\times \operatorname{SP}^{n-k}(Y).$$

Falls (X, e) ein punktierter Raum ist, setzt man für gewöhnlich SP0(X) = {e}. Außerdem kann Xn dann in Xn+1 eingebettet werden, indem man (x1, ..., xn) auf (x1, ..., xn, e) abbildet. Dies induziert eine Einbettung von SPn(X) in SPn+1(X). Deshalb kann das unendliche symmetrische Produkt als


 * $$\operatorname{SP}(X)=\operatorname{colim}\operatorname{SP}^n(X)$$

definiert werden. Eine Definition, die kategorientheoretische Begriffe vermeidet, wird dadurch gegeben, dass man SP(X) als die Vereinigung der aufsteigenden Folge von Räumen SPn(X) mit der induktiven Limes-Topologie definiert. Das bedeutet, dass eine Teilmenge von SP(X) genau dann offen ist, wenn alle Schnitte mit den SPn(X) offen sind. Definiere den Basispunkt von SP(X) als [e]. Damit ist SP(X) dann wieder ein punktierter Raum.

Auch diese Definition kann verallgemeinert werden. Liegt nämlich eine Kategorie mit Nullobjekt, Produkten und Kolimiten vor, so hat man eine kanonische Abbildung Xn → Xn+1, welche von der Identität Xn → Xn und dem Nullmorphismus Xn → X induziert wird. Demnach erhält man auch hier ein direktes System von symmetrischen Produkten und kann das unendliche symmetrische Produkt wieder als den entsprechenden Kolimes definieren.

Beispiele
\qquad \operatorname{SP}^n(S^1)&\to S^1, \\ {\color{white} .} [w_1,\dots,w_n]&\mapsto w_1\cdots w_n \end{align}$$ ein Faserbündel mit Faser, die homöomorph zum (n − 1)-dimensionalen Standardsimplex ∆n−1 ist. Das Faserbündel ist genau dann orientierbar, wenn n ungerade ist. \qquad f\colon (S^2)^n&\to \mathbf{CP}^n, \\ (a_1,\dots,a_n)&\mapsto (z+a_1)\cdots(z+a_n), \end{align}$$ wobei die möglichen Faktoren z + ∞ ausgelassen werden. Diese Abbildung ist tatsächlich stetig. Da f(a1, ..., an) sich unter Permutation der ai's nicht ändert, induziert f eine stetige Bijektion SPn(S2) → CPn. Aber da beide kompakte Hausdorff-Räume sind, ist diese Abbildung auch schon ein Homöomorphismus. Lässt man n gegen unendlich gehen, erhält man die Aussage.
 * SPn(I) ist Δn, der n-dimensionale Standardsimplex, wobei I das Einheitsintervall bezeichnet.
 * SPn(S1) kann mit dem Raum der Konjugationsklassen unitärer n × n-Matrizen identifiziert werden, wobei S1 der Kreis ist. Denn eine solche Klasse wird eindeutig durch die Eigenwerte eines Elements der Klasse festgelegt, welche alle in S1 liegen. Zunächst kann man sehen, dass dieser Raum homotopieäquivalent zur S1 ist: Da SPn ein Homotopiefunktor ist (sie Abschnitt Eigenschaften), ist dieser Raum homotopieäquivalent zu SPn(C − {0}). Betrachte die Abbildung SPn(C − {0}) → Pn in den Raum Pn der Polynome über C von Grad höchstens n, welche [w1, ..., wn] auf (z - w1) ⋅⋅⋅ (z - wn) abbildet. Hiermit kann man SPn(C − {0}) mit dem Raum der normierten Polynome vom Grad n, deren konstanter Term ungleich Null ist, d.h. Cn − 1 × (C − {0}), identifizieren. Dieser Raum ist allerdings homotopieäquivalent zu S1. Das bedeutet, dass auch das unendliche symmetrische Produkt SP(S1) homotopieäquivalent zu S1 ist. Es ist jedoch mehr über den Raum SPn(S1) bekannt. Nämlich ist die Abbildung  $$\begin{align}
 * SP(S2) ist homöomorph zum unendlich-dimensionalen komplexen projektiven Raum CP∞: Der Raum CPn kann mit dem Raum der Polynome ungleich Null mit Koeffizienten über C vom Grad höchstens n bis auf Skalarmultiplikation identifiziert werden, indem man a0 + ... + anzn auf die Gerade durch (a0, ..., an) abbildet. Interpretiert man S2 als die Riemannsche Zahlenkugel C ∪ {∞}, so erhält man eine Abbildung  $$\begin{align}

Obwohl SP(Sn) für n ≥ 3 schwierig zu berechnen ist, kann man SP2(Sn) trotzdem sehr gut beschreiben als den Abbildungskegel einer Abbildung ΣnRPn-1 → Sn, wobei Σn für n-faches Anweden der reduzierten Einhängung und RPn−1 für den (n − 1)-dimensionalen reellen projektiven Raum steht: Man kann SP2(Sn) als einen bestimmten Quotienten von Dn × Dn auffassen, indem man Sn mit Dn/∂Dn identifiziert. Interpretiert man Dn × Dn als den Kegel über seinem Rand Dn × ∂Dn ∪ ∂Dn × Dn, so respektieren die Identifikationen für SP2 die konzentrischen Kopien des Randes. Daher reicht es, diese zu untersuchen. Die Identifikationen auf dem Rand ∂Dn × Dn ∪ Dn × ∂Dn von Dn × Dn selbst ergeben Sn. Denn dies ist ein Quotient von Dn × ∂Dn und ∂Dn wird in Sn zu einem Punkt kollabiert. Die Identifikationen auf den anderen konzentrischen Kopien des Randes ergeben einen Quotientenraum Z von Dn × ∂Dn, den man erhält, indem man (x, y) mit (y, x) identifiziert, wann immer beide Koordinaten in ∂Dn liegen. Definiere nun eine Abbildung f: Dn × RPn−1 → Z, die ein Paar (x, L) auf (w, z) sendet. Hierbei werden z ∈ ∂Dn und w ∈ Dn auf der Geraden durch x, die parallel zu L ist, so gewählt, dass x ihr Mittelpunkt ist. Falls x der Mittelpunkt des Segmentes zz′ ist, kann man nicht zwischen z und w unterscheiden, aber das stellt kein Problem dar, da f Werte im Quotientenraum Z annimmmt. Also ist f wohldefiniert. Da f(x, L) = f(x, L′) für alle x ∈ ∂Dn gilt, faktorisiert f durch ΣnRPn−1 und man überzeugt sich leicht, dass es auf diesem Definitionsbereich ein Homöomorphismus ist.

H-Raum-Struktur
Da SP(X) der freie kommutative Monoid mit neutralem Element e ist, der von X − {e} erzeugt wird, kann man es als kommutatives Analogon des James-reduzierten Produktes J(X) verstehen. Das bedeutet, dass SP(X) derjenige Quotient von J(X) ist, den man erhält, wenn man Punkte miteinander identifiziert, die sich bloß um eine Permutation der Koordinaten unterscheiden. Deshalb induziert die H-Raum-Struktur auf J(X) auch eine auf SP(X), falls X ein Zellkomplex ist. In diesem Fall wird SP(X) zu einem kommutativen H-Raum mit strikter Identität. Der Satz von Dold-Thom impliziert nun, dass alle k-Invarianten eines solchen verschwinden, was bedeutet, dass es den schwachen Homotopietyp eines verallgemeinerten Eilenberg-MacLane-Raumes besitzt, falls X zusammenhängend ist. Falls X jedoch ein beliebiger Raum ist, muss die Multiplikation nicht auf ganz SP(X) stetig sein.

Funktorialität
SPn ist ein Homotopiefunktor: Eine Abbildung f: X → Y liefert eine Abbildung zwischen den symmetrischen Produkten SPn(f) : SPn(X) → SPn(Y), definiert durch SPn(f)[x1, ..., xn] = [f(x1), ..., f(xn)]. Ferner lässt sich auch eine Homotopie zwischen zwei Abbildungen f, g: X → Y zu einer Homotopie zwischen SPn(f) und SPn(g) erweitern. Außerdem sieht man, dass das Diagramm



kommutiert, was bedeutet, dass auch SP ein Funktor ist. Ähnlich wie oben ist SP dann sogar ein Homotopiefunktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume mit Homotopieklassen basispunkterhaltender Abbildungen. Insbesondere impliziert X ≃ Y, dass ebenso SPn(X) ≃ SPn(Y) gilt, allerdings im Allgemeinen nicht SP(X) ≃ SP(Y), da Homotopieäquivalenz dadurch beeinflusst werden kann, dass man Abbildungen und Homotopien als basispunkterhaltend voraussetzt. Dies ist jedoch nicht der Fall, wenn man verlangt, dass X und Y zusammenhängende Zellkomplexe sind.

Simpliziale und CW-Struktur
SP(X) erbt bestimmte Strukturen von X: Für einen simplizialen Komplex X kann man auch eine simpliziale Struktur auf Xn installieren, sodass jede n-Permutation entweder die Identität auf einem Simplex oder ein Homöomorphismus von einem Simplex auf einen anderen ist. Das bedeutet, dass man eine simpliziale Struktur auf SPn(X) erhält. Zudem ist SPn(X) eine Seite von SPn+1(X), falls man e ∈ X als eine Ecke wählt, was bedeutet, dass in diesem Fall auch SP(X) eine simpliziale Struktur erbt. Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass Xn und SPn(X) nicht mit der schwachen Topologie ausgestattet sein müssen, falls X überabzählbar viele Simplizes besitzt. Eine analoge Aussage gilt, falls X ein Zellkomplex ist. Nichtsdestotrotz ist es immer noch möglich SP(X) mit der Struktur eines Zellkomplexes auszustatten, sodass beide Topologien dieselben kompakten Mengen haben, falls X ein beliebiger simplizialer Komplex ist. In diesem Fall führt der Unterschied zwischen den beiden Topologien also zu keinem Unterschieden bei Betrachtungen der Homotopie bspw.

Homotopie
Eine der wichtigsten Anwendungen unendlicher symmetrischer Produkte besteht im Satz von Dold-Thom. Dieser sagt aus, dass die reduzierte Homologie eines zusammenhängenden Zellkomplexes X mit den Homotopiegruppen des unendlichen symmetrischen Produktes SP(X) übereinstimmen. Hiermit kann man eine Definition von Homologie geben, die nur Homotopie verwendet, was z.B. in der algebraischen Geometrie sehr hilfreich sein kann. Ferner bildet der Funktor SP also Moore-Räume M(G, n) auf Eilenberg-MacLane-Räume K(G, n) ab. Damit erhält man eine Möglichkeit, letztere aus Moore-Räumen zu konstruieren.

Es wurde auch untersucht, inwiefern andere Konstruktionen mit dem unendlichen symmetrischen Produkt kombiniert die Homotopiegruppen beeinflussen. Zum Beispiel wurde gezeigt, dass die Abbildung


 * $$\rho\colon \operatorname{SP}(X)\to \Omega\operatorname{SP}(\Sigma X), \quad \rho[x_1,\dots,x_n](t) = [(x_1,t),\dots,(x_n,t)]$$

eine schwache Homotopieäquivalenz ist, wobei ΣX = X ∧ S1 für die reduzierte Suspension und Ω für den Schleifenraum steht.

Homologie
Die Homologiegruppen des symmetrischen Produktes können wenig überraschend nicht so einfach beschrieben werden wie seine Homotopiegruppen. Nichtsdestotrotz sind sie bei Zellkomplexen schon durch die Homologiegruppen des Komplexes selbst festgelegt. Genauer gesagt gilt für Zellkomplexe X und Y und einen Hauptidealring R mit Hi(X, R) ≅ Hi(Y, R) für alle i ≤ k auch Hi(SPn(X), R) ≅ Hi(SPn(Y), R) für alle i ≤ k. Dieses Resultat kann auch auf Γ-Produkte verallgemeinert werden, welche im nächsten Abschnitt definiert werden.

Für eine simpliziale Menge K gilt außerdem


 * $$H_*(\operatorname{SP}^{n+1}(K))\cong H_*(\operatorname{SP}^{n+1}(K),\operatorname{SP}^n(K)) \oplus H_*(\operatorname{SP}^n(K)).$$

Geht man nun zu geometrischen Realisierungen über, so sieht man, dass die Formel auch für zusammenhängende Zellkomplexe gilt. Induktion liefert ferner


 * $$H_*(\operatorname{SP}(X))\cong \bigoplus_{n=1}^\infty H_*(\operatorname{SP}^n(X),\operatorname{SP}^{n-1}(X)).$$

Verwandte Konstruktionen und Verallgemeinerungen
S. Liao führte eine leicht allgemeinere Version der symmetrischen Proddukte ein, sogenannte Γ-Produkte für Untergruppen Γ der symmetrischen Gruppe Sn. . Die Operation bleibt dieselbe, was heißt, dass XΓ = Xn/Γ das Γ-Produkt von X definiert. Dies erlaubt einem auch, zyklische Produkte zu untersuchen, den Spezialfall, in dem Γ die zyklische Gruppe ist.

Bei der Einführung des Satzes von Dold-Thom wurde auch die "Quotientengruppe" Z[X] von SP(X) untersucht. Diese ist die freie abelsche Gruppe über X mit dem Basispunkt als Nullelement. Falls X ein Zellkomplex ist, ist sie sogar eine topologische Gruppe. Um diese Gruppe mit einer Topologie zu versehen, führten Dold und  Thom sie ursprünglich als folgenden Quotienten des unendlichen symmetrischen Produktes des  Wedge-Produktes von X mit einer Kopie von sich selbst ein: Sei τ : X ∨ X → X ∨ X die Abbildung, die die beiden Summanden vertauscht. Ferner sei ~ die Äquivalenzrelation auf SP(X ∨ X), die durch


 * $$x\sim x+y+\operatorname{SP}(\tau)(y)$$

für x, y ∈ SP(X ∨ X) erzeugt wird. Dann kann man Z[X] als


 * $$\mathbb{Z}[X] = \operatorname{SP}(X\vee X)/\sim.$$

definieren. Da ~ mit der Addition in SP(X ∨ X) verträglich ist, erhält man eine assoziative und kommutative Addition auf Z[X]. Außerdem hat man die topologischen Inklusionen X ⊂ SP(X) ⊂ Z[X] und es ist einfach zu sehen, dass diese Konstruktion ähnliche Eigenschaften hat wie SP, bspw. ist sie auch ein Funktor.

McCord führte eine Konstruktion ein, die sowohl SP(X) als auch Z[X] verallgemeinert: Sei G ein Monoid mit Einselement 1 und sei (X, e) eine Menge mit Basispunkt. Definiere


 * $$B(G,X) = \{ u\colon X\to G: u(e)=1 \text{ und } u(x)=1 \text{ für alle bis auf endlich viele } x\in X \}.$$

Dann ist B(G, X) mit punktweiser Multiplikation, welche als ⋅ geschrieben wird, wieder ein Monoid. gx bezeichne das Element aus B(G, X), welches an der Stelle x den Wert g annimmt und ansonsten 1 ist für g ∈ G, x ∈ X − {e}. Zudem soll ge die Funktion, welche überall 1 ist, die Einheit in B(G, X), bezeichnen.

Um eine Topologie auf B(G, X) installieren zu können, muss verlangt werden, dass X kompakt erzeugt und dass G ein abelscher topologischer Monoid ist. Definiere Bn(G, X) als diejenige Teilmenge von B(G, X), welche aus allen Abbildungen besteht, die sich von der konstanten Funktion 1 an nicht mehr als n Punkten unterscheiden. Bn(G, X) wird mit der Finaltopologie der Abbildung


 * $$\begin{align}

\mu_n\colon (G\times X)^n&\to B_n(G,X), \\ ((g_1,x_1),\dots,(g_n,x_n))&\mapsto g_1x_1\cdots g_nx_n \end{align}$$

ausgestattet. Nun ist Bn(G, X) eine abgeschlossene Teilmenge von Bn+1(G, X). Das heißt, dass B(G, X) mit der direkten Limes-Topologie ausgestattet werden kann, wodurch es selbst wieder zu einem kompakt erzeugten Raum wird. Man kann SP(X) bzw. Z[X] mit B(N, X) bzw. B(Z, X) identifizieren.

Ferner ist B(⋅,⋅) insofern funktoriell, als B: C × D → C ein Bifunktor ist, wobei C die Kategorie der abelschen topologischen Monoide und D die der punktierten Zellkomplexe bezeichnet. Hierbei wird die Abbildung B(φ, f) : B(G, X) → B(H, Y) für einen Morphismus abelscher topologischer Monoide φ : G → H und ein stetiges f: X → Y als


 * $$B(\varphi, f)(g_1x_1\cdots g_nx_n) = (\varphi g_1)(fx_1)\cdots (\varphi g_n)(fx_n)$$

für alle gi ∈ G und xi ∈ X definiert. Wie bei den vorherigen Konstruktionen kann eine Homotopie ft : X → Y für einen abelschen topologischen Monoid G zu einer Homotopie B(Id, ft) : B(G, X) → B(G, Y) erweitert werden.

Mit dieser Konstruktion kann auch der Satz von Dold-Thom verallgemeinert werden. Nämlich erhält man für ein diskretes Modul M über einem kommutativen Ring mit Eins


 * $$[X,B(M,Y)]\cong \prod_{n=0}^\infty \tilde{H}^n(X,\tilde{H}_n(Y,M))$$

für punktierte Räume X und Y, die den Homotopietyp eines Zellkomplexes besitzen. Hierbei steht H̃n für die reduzierte Homologie und [X, Z] für die Menge aller punktierten Homotopieklassen basispunkterhaltender Abbildungen X → Z. Da M ein Modul ist, hat [X, B(M, Y)] eine offensichtliche Gruppenstruktur. Setzt man X = Sn und M = Z ein, so erhält man den Satz von Dold-Thom für Z[X].

Es ist außerdem bemerkenswert, dass B(G, S1) ein klassifizierender Raum für G ist, falls G eine topologische Gruppe ist, sodass die Inklusion {1} → G eine Kofaserung ist.

=Quasifaserungen= Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie stellen Quasifaserungen eine Verallgemeinerung von Faserbündeln und Faserungen dar, welche von Albrecht Dold und René Thom eingeführt wurde. Grob gesagt handelt es sich bei solchen um stetige Abbildungen p: E → B, die dasselbe Verhalten wie eine Faserung bezüglich der (relativen) Homotopiegruppen von E, B und p−1(x) haben. Sie können auch äquivalent dazu als stetige Abbildungen definert werden, für die die Inklusion jeder Faser in die Homotopiefaser eine schwache Homotopieäquivalenz ist. Einer der wichtigsten Anwendungen von Quasifaserungen ist der Beweis des Satzes von Dold-Thom.

Definition
Eine stetige surjektive Abbildung zwischen topologischen Räumen p: E → B heißt Quasifaserung, falls sie Isomorphismen


 * $$p_*\colon \pi_i(E,p^{-1}(x),y) \to \pi_i(B,x)$$

für alle x ∈ B, y ∈ p−1(x) und i ≥ 0 induziert. Für i = 0,1 kann man jedoch bloß von Bijektionen zwischen den beiden Mengen sprechen.

Gemäß Definition weist eine Quasifaserung p: E → B eine der wichtigsten Eigenschaften einer Faserung auf, nämich, dass sie eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen


 * $$\begin{align}

\dots\to \pi_{i+1}(B,x)\to \pi_i(p^{-1}(x),y)\to \pi_i(E,y)&\to \pi_i(B,x)\to \dots \\ &\to \pi_0(B,x)\to 0 \end{align}$$

induziert, wie direkt aus der langen exakten Sequenz für das Paar (E, p−1(x)) folgt.

Diese lange exakte Sequenz ist auch im folgenden Sinne funktoriell: Jede fasernweise Abbildung f: E → E′ induziert einen Morphismus zwischen den langen exakten Sequenzen der Paare (E, p−1(x)) und (E′, p′−1(x)) und damit auch einen Morphismus zwischen den exakten Sequenzen einer Quasifaserung. Deshalb kommutiert das Diagramm



wobei f0 die Einschränkung von f auf p−1(x) und x′ ein Element der Form p′(f(e)) für ein e ∈ p−1(x) bezeichnet.

Eine äquivalente Definition lautet, dass eine surjektive Abbildung p: E → B eine Quasifaserung ist, falls die Inklusion der Faser p−1(b) in die Homotopiefaser Fb von p über b für alle b ∈ B eine schwache Homotopieäquivalenz ist. Um dies zu sehen, beachte, dass Fb die Faser von q unter b ist, wobei q: Ep → B die gewöhnliche zu p assoziierte Faserung ist. Das heißt, dass


 * $$E_p=\{(e,\gamma)\in E\times B^I:\gamma(0)=p(e)\}$$

und dass q durch q(e, γ) = γ(1) definiert ist. Nun betrachte man die natürliche Homotopieäquivalenz φ : E → Ep, welche durch φ(e) = (e, p(e)) definiert wird, wobei p(e) den entsprechenden konstanten Weg bezeichnet. Nach Definition faktorisiert p durch Ep, sodass man ein kommutatives Diagramm



erhält. Wendet man nun πn an, so erhält man die alternative Definition.

Beispiele

 * Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung. Dies folgt aus der Homotopie-Hochhebungseigenschaft.
 * Die Projektion des Buchstaben L auf sein Basisintervall ist eine Quasifaserung, aber keine Faserung. Allgemeiner ist die Projektion Mf → I des Abbildungszylinders einer Abbildung f: X → Y zwischen zusammenhängenden Zellkomplexen genau dann eine Quasifaserung wenn πi(Mf, p−1(b)) = 0 = πi(I, b) für alle i ∈ I und b ∈ B gilt. Aber wegen der langen exakten Sequenz des Paares (Mf, p−1(b)) und des  Satzes von Whitehead ist dies genau dann der Fall, wenn f eine Homotopieäquivalenz ist. Für beliebige topologische Räume X und Y ist dies äquivalent dazu, dass f eine schwache Homotopieäquivalenz ist. Des Weiteren können nicht-konstante Wege in I, die in 0 starten, nicht zu Wegen in Mf geliftet werden, deren Startpunkt in Y außerhalb des Bildes von f liegt, falls f nicht surjektiv ist. Das bedeutet, dass die Projektion in diesem Fall keine Faserung ist.
 * Die Abbildung SP(p) : SP(X) → SP(X/A), die durch die Projektion p: X → X/A induziert wird, ist eine Quasifaserung für ein CW-Paar (X, A), das aus zwei zusammenhängenden Räumen besteht. Diese Aussage zu zeigen ist einer der zentralen Schritte im Beweis des Satzes von Dold-Thom. Im Allgemeinen ist diese Abbildung jedoch auch keine Faserung.

Eigenschaften
Das Folgende ist eine direkte Konsequenz aus der alternativen Definition einer Quasifaserung, die Homotopiefasern verwendet:


 * Satz. Jede Quasifaserung p: E → B faktorisiert durch eine Faserung, deren Fasern schwach homotopieäquivalent zu denen von p sind.

Hieraus ergibt sich dann auch unmittelbar, dass alle Fasern einer Quasifaserung schwach homotopieäquivalent sind, falls der Basisraum wegzusammenhängend ist, da dies bei einer Faserung der Fall ist.

Zu überprüfen, ob es sich bei einer gegebenen Abbildung um eine Quasifaserung handelt, kann recht aufwendig sein. Die beiden folgenden Sätze dienen dazu, dieses Problem zu vereinfachen. Sie verwenden den folgenden Begriff: Sei p: E → B eine stetige Abbildung. Eine Teilmenge U ⊂ p(E) heißt ausgezeichnet (bezüglich p), falls p: p−1(U) → U eine Quasifaserung ist.


 * Satz. Falls die offenen Teilmengen U,V und U ∩ V ausgezeichnet bezüglich der stetigen Abbildung p: E → B sind, so ist dies auch U ∪ V.


 * Satz. Sei p: E → B eine stetige Abbildung, wobei B der direkte Limes einer Sequenz B1 ⊂ B2 ⊂ ... sei. Alle Bn erfüllen außerdem das erste Trennungsaxiom. Falls alle Bn ausgezeichnet sind, dann ist p eine Quasifaserung.

Um die letzte Aussage einzusehen, muss man nur beachten, dass stetige Bilder kompakter Mengen in B schon in einem Bn liegen. Dadurch kann man die Behauptung auf einen Fall reduzieren, wo sie schon gegeben ist.

Diese beiden Sätze sagen aus, dass es bei einer gegebenen Abbildung reicht, zu zeigen, dass sie eine Quasifaserung auf bestimmten Teilmengen ist. Dann kann man aus diesen Teilmengen größere erhalten, für die die Aussage immer noch gilt und schließlich über ein Limes-Argument sehen, dass die Abbildung auf dem gesamten Raum eine Quasifaserung ist. Diese Methode wurde bspw. im Beweis des Satzes von Dold-Thom verwendet. =Der Satz von Dold-Thom= Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie besagt der Satz von Dold-Thom, dass die Homotopiegruppen des unendlichen symmetrischen Produktes eines zusammenhängenden Zellkomplexes mit seinen reduzierten Homologiegruppen übereinstimmen. In der geläufigsten Version des Beweises zeigt man, dass die Verknüpfung des Homotopiegruppenfunktors mit dem unendlichen symmetrischen Produkt eine reduzierte Homologietheorie definiert. Einer der wichtigsten Mittel, die beim Beweis dessen verwendet werden, sind Quasifaserungen. Der Satz wurde auf verschiedene Arten verallgemeinert, beispielsweise durch Almgrens Isomorphiesatz.

Es gibt mehrere Sätze, die Verbindungen zwischen Homotopie und Homologie herstellen, zum Beispiel den Satz von Hurewicz. Ein weiterer Zugang ist stabile Homotopietheorie. Dank des Freudenthal'schen Einhängungssatzes kann man nämlich sehen, dass diese eine Homologietheorie definiert. Nichtsdestotrotz erlaubt einem keiner dieser Sätze, Homologie direkt auf Homotopie zu reduzieren. Dies gelang erst mit dem Satz von Dold-Thom und macht ihn daher besonders relevant für die algebraische Geometrie.

Der Satz

 * Satz von Dold-Thom. Für einen zusammenhängenden Zellkomplex X gilt πnSP(X) ≅ H̃n(X), wobei H̃n für reduzierte Homologie und SP für das unendliche symmetrische Produkt steht.

Es ist ferner nützlich, dass es einen Isomorphismus φ : πnSP(X) → H̃n(X) gibt, der mit dem Hurewicz-Homomorphismus h: πn(X) → H̃n(X) verträglich ist, was bedeutet, dass man ein kommutatives Diagramm



erhält, wobei i* die von der Inklusion i: X = SP1(X) → SP(X) induzierte Abbildung bezeichnet.

Das folgende Beispiel zeigt, dass auf die Forderung an X ein Zellkomplex zu sein, nicht ohne Weiteres verzichtet werden kann: Sei X = CH ∨ CH das Wedge-Produkt zweier Kopien des Kegels über dem Hawaiianischen Ohrring. Der gemeinsame Punkt beider Kopien soll der Nullpunkt 0 ∈ H sein, welcher jeden Kreis trifft. Einerseits ist H1(X) eine unendliche Gruppe, während H1(CH) trivial ist. Andererseits gilt π1(SP(X)) ≅ π1(SP(CH)) × π1(SP(CH)), da φ : SP(X) × SP(Y) → SP(X ∨ Y), definiert durch φ([x1, ..., xn], [y1, ..., yn]) = ([x1, ..., xn, y1, ..., yn]), ein Homöomorphismus für kompakte X und Y ist.

Aber dies impliziert, dass entweder π1(SP(CH)) ≅ H1(CH) oder π1(SP(X)) ≅ H1(X) nicht gelten kann.

Beweisskizze
Es gilt zu zeigen, dass die Familie von Funktoren hn = πn ∘ SP eine reduzierte Homologietheorie definiert. Dold und Thom wählten im ursprünglichen Beweis eine leichte Abänderung Eilenberg-Steenrod-Axiome, nämlich, dass man eine Familie (h̃n)n∈N 0 von Funktoren von der Kategorie der punktierten zusammenhängenden Zellkomplexe in die Kateogorie der abelschen Gruppen eine reduzierte Homologietheorie nennt, falls sie folgende Eigenschaften erfüllt:
 * Falls f ≃ g: X → Y, so gilt f* = g*: h̃n(X) → h̃n(Y), wobei ≃ für punktierte Homotopieäquivalenz steht.
 * Es gibt natürliche Randhomomorphismen ∂ : h̃n(X/A) → h̃n−1(A) für jedes Paar (X, A), bestehend aus zwei zusammenhängenden Räumen X und A, welche eine lange exakte Sequenz $$\qquad \dots\xrightarrow{\partial} \tilde{h}_n(A)\xrightarrow{i_*}\tilde{h}_n(X) \xrightarrow{q_*} \tilde{h}_n(X/A)\xrightarrow{\partial} \tilde{h}_{n-1}(A)\xrightarrow{i_*} \dots$$  liefern, wobei i: A → X die Inklusion und q: X → X/A die Projektion ist.
 * h̃n(S1) = 0 für n ≠ 1, wobei S1 der Kreis ist.
 * Sei (Xλ) das System kompakter Teilmengen eines punktierten Raumes X, welche den Basispunkt enthalten. Dann ist (Xλ) ein direktes System zusammen mit den Inklsionen. Es sei $$i_\lambda\colon X_\lambda\to X$$ beziehungsweise $$i_\lambda^\mu\colon X_\lambda\to X_\mu$$ die Inklusion, falls Xλ ⊂ Xμ. h̃n(Xλ) ist ebenso ein direktes System mit den Morphismen $${i_\lambda^\mu}_*$$. Dann wird verlangt, dass der Homomorphismus $$\qquad i_*\colon \varinjlim \tilde{h}_n(X_\lambda)\to \tilde{h}_n(X),$$ welcher von den $$i_{\lambda*}$$ induziert wird, ein Isomorphismus ist.

Man kann zeigen, dass es für eine reduzierte Homologietheorie (h̃n)n∈N 0 natürliche Isomorphismen h̃n(X) ≅ H̃n(X; G) mit G = h̃1(S1) gibt.

Die Funktoren hn erfüllen offenbar Eigenschaft 1, da SP ein Homotopiefunktor ist. Überdies ist die dritte Eigenschaft klar, da SP(S1) ≃ S1 gilt. Deshalb reicht es, Axiome 2 und 4 zu verifizieren. Die Krux dieses Unterfangens besteht im ersten Punkt. Hierbei kommen Quasifaserungen ins Spiel:

Das Ziel ist es zu zeigen, dass die Abbildung p*: SP(X) → SP(X/A), welche von der Quotientenabbildung p: X → X/A induziert wird, für jedes CW-Paar (X, A), das aus zusammenhängenden Komplexen besteht, eine Quasifaserung ist. Zunächst kann man annehmen, dass X und A simpliziale Komplexe sind, da jeder Zellkomplex homotopieäquivalent zu einem Simplizialkomplex ist. Außerdem kann X durch den Abbildungszylinder der Inklusion A → X ersetzt werden. Dadurch ändert sich nichts, da SP ein Homotopiefunktor ist. Es reicht mittels Induktion zu zeigen, dass p*: En → Bn eine Quasifaserung ist. Hierbei ist Bn = SPn(X/A) und En = p*−1(Bn). Für n = 0 gilt dies trivialerweise. Im Induktionsschritt zerlegt man Bn in eine offene Umgebung von Bn−1 und Bn − Bn−1 und zeigt, dass diese beiden Mengen zusammen mit ihrem Schnitt ausgezeichnet sind, d.h. dass p eingeschränkt auf die Urbilder dieser jeweils eine Quasifaserung ist. Man kann zeigen, dass dann auch schon Bn ausgezeichnet ist. Deshalb ist p* tatsächlich eine Quasifaserung und die lange exakte Sequenz einer solchen impliziert, dass Axiom 2 erfüllt ist, da p*−1([e]) ≅ SP(A) gilt.

Es stellt sich die Frage, ob p* nicht sogar eine Faserung ist. Dem ist jedoch nicht so: Man nehme einen beliebigen Weg xt für t ∈ [0, 1) in X − A, der sich einem a ∈ A nähere und interpretiere ihn als Weg in X/A ⊂ SP(X/A). Dann ist jeder Lift dieses Weges von der Form xtαt mit αt ∈ A für alle t. Das bedeutet aber, dass dessen Endpunkt aα1 ein Vielfaches von a und daher nicht der Basispunkt ist. Deshalb gilt hier nicht die Homotopiehochhebungseigenschaft.

Dass das vierte Axiom auch erfüllt ist, kann im Gegensatz zum vorangegangenen vergleichsweise elementar gezeigt werden.

Man sollte berücksichtigen, dass es eine Vielfalt an weiteren Beweisen gibt, wenngleich dieser der bekannteste zu sein scheint. So wurde der Satz z.B. auch schon über Faktorisierungshomologie oder simpliziale Mengen gezeigt. Man kann ihn auch unter Verwendung anderer Homologietheorien (wie den Eilenberg-Steenrod-Axiomen) beweisen.

Verträglichkeit mit dem Hurewicz-Homomorphismus
Um die Verträglichkeit mit dem Hurewicz-Homomorphismus zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass die Behauptung für X = Sn gilt. Denn in diesem Fall erhält man für jedes Element [f] ∈ πn(X), das von f: Sn → X repräsentiert wird, einen Prisma



In diesem kommutieren alle Seiten, außer möglicherweise der unteren. Man sieht nun, dass das ganze Diagramm kommutiert, wenn man berücksichtigt, worauf 1 ∈ πn(Sn) ≅ Z jeweils abgebildet wird. Berücksichtigt man nun noch den Einhängungsisomorphismus für Homotopie- bzw. Homologiegruppen, so folgt die Aussage, wenn man die Behauptung für S1 gezeigt hat. Aber in diesem Fall ist die Inklusion SP1(S1) → SP(S1) eine Homotopieäquivalenz.

Mayer-Vietoris-Sequenz
Eine direkte Konsequenz aus dem Satz von Dold-Thom ist eine neue Herleitung der Mayer-Vietoris-Sequenz. Man erhält das Resultat, indem man zuerst das Homotopiepushoutquadrat der Inklusionen des Schnitts A ∩ B der beiden Teilräume A, B ⊂ X in A und B selbst bildet. Dann wende man SP und letztlich π* auf das resultierende Pullbackquadrat an.

Ein Satz von Moore
Eine weitere Anwendung ist ein neuer Beweis für einen Satz, der ursprünglich von Moore formuliert wurde. Es sagt im Wesentlichen das Folgende aus:
 * Satz. Ein wegzusammenhängender, kommutativer und assoziativer H-Raum X mit strikter Identität hat den schwachen Homotopietyp eines verallgemeinerten Eilenberg-MacLane-Raumes.

Man beachte, dass SP(Y) diese Eigenschaft für jeden zusammenhängenden Zellkomplex Y besitzt und daher den schwachen Homotopietyp eines verallgemeinerten Eilenberg-MacLane-Raumes hat. Eine äquivalente Formulierung des Satzes ist, dass alle k-Invarianten eines wegzusammenhängenden, kommutativen und assoziativen H-Raumes mit strikter Identität verschwinden.

Beweis
Sei Gn = πn(X). Dann gibt es Abbildungen M(Gn, n) → X, welche Isomorphismen auf πn falls n ≥ 2 und einen Isomorphismus auf H1 falls n = 1 induzieren für einen Moore-Raum M(Gn, n). Hierdurch erhält man eine Abbildung


 * $$\bigvee_n M(G_n,n)\to X,$$

wenn man alle Abbildungen oben als basispunkterhaltend voraussetzt. Die spezielle H-Raum-Struktur von X liefert nun eine Abbildung


 * $$f\colon \operatorname{SP}\left( \bigvee_n M(G_n,n) \right)\to X,$$

gegeben durch Aufsummieren der Bilder der einzelnen Koordinaten. Da es natürliche Homöomorphismen


 * $$\operatorname{SP} \left( \bigvee_\alpha X_\alpha \right)\cong \prod_\alpha \operatorname{SP}(X_\alpha)$$

gibt, wobei ∏ für das schwache Produkt steht, induziert f Isomorphismen auf πn für n ≥ 2. Da die von der Inklusion X → SP(X) induzierte Abbildung π1(X) → π1SP(X) = H1(X) aber der Hurewicz-Homomorphismus ist und da H-Räume abelsche Fundamentalgruppen besitzen, ist f auch ein Isomorphismus auf π1. Dank des Satzes von Dold-Thom ist nun jeder SP(M(Gn, n)) ein Eilenberg-MacLane-Raum K(Gn, n). Dies impliziert auch, dass die natürliche Inklusion des schwachen Produktes ∏n SP(M(Gn, n)) in das kartesische Produkt eine schwache Homotopieäquivalenz ist. Deshalb hat X den schwachen Homotopietyp eines verallgemeinerten Eilenberg-MacLane-Raumes.

Algebraische Geometrie
Was den Satz von Dold-Thom von alternativen Reformulierungen der Homologie wie Cech-Homologie oder Alexander-Spanier-Kohomologie unterscheidet, ist, dass er von besonderem Interesse für die algebraische Geometrie ist, da man hiermit Homologie nur unter Verwendung von Homotopie neu definieren kann. In diesem Gebiet kann es nämlich häufig zu neuen Erkenntnissen führen, Konzepte aus der algebraischen Topologie zu übertragen. Mit der Homotopietheorie gelang dies auch, allerdings mit der Homologietheorie erst auf eingeschränkte Weise, indem man eine Definition über Garben verwendete. Der Satz von Dold-Thom erlaubt also, eine Definition der Homologie zu geben, die ein stärkeres algebraisches Analogon besitzt.

=Einzelnachweise=

=Literatur=

=Weblinks=
 * Why the Dold-Thom theorem? auf MathOverflow
 * The Dold-Thom theorem for infinity categories? auf MathOverflow
 * Quasifibrations and Homotopy Pullbacks auf MathOverflow
 * Symmetric product in arbitrary categories? auf MathOverflow
 * Group structure on Eilenberg-MacLane spaces auf StackExchange
 * Quasifibrations von der Lehigh University