User:GX, May 1971/Math/Arithmetic

= $Basic Operations$ =
 * $${\scriptstyle\mathbf{Incrementation}}\ \xrightarrow\text{ Repeat }\ {\scriptstyle\mathbf{Addition}}\ \xrightarrow\text{ Repeat }\ {\scriptstyle\mathbf{Multiplication}}\ \xrightarrow\text{ Repeat }\ {\scriptstyle\mathbf{Exponentiation}}$$
 * $${\scriptstyle\mathbf{Exponentiation}}\ \xrightarrow\text{ Repeat }\ {\scriptstyle\mathbf{Tetration}}$$

—————————————————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————————————————— ——————————————————————————————————————————————————
 * $$a\ +\ b\ =\ b\ +\ a\ \qquad\quad\ => \qquad\qquad\quad\ {\scriptstyle\mathbf{Subtraction}}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$a\ \ {_{^\times}}\ \ b\ =\ b\ \ {_{^\times}}\ \ a\ \qquad\quad\ => \qquad\qquad\quad\ {\scriptstyle\mathbf{Division}}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$a\ \uparrow\ {\color{white}.} b\ \neq\ b\ \uparrow\ a\ \qquad\quad\ => \qquad\qquad\quad\ {\scriptstyle\mathbf{Radicals\ \neq\ Logarithms}}$$

——————————————————————————————————————————————————

——————————————————————————————————————————————————

= $Basic Sets$ =

$Basic Notations$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$\mathbb{X}^*\ = \mathbb{X}_*\ = \mathbb{X} \smallsetminus \Big\{0\Big\} \qquad\qquad\quad;\quad \mathbb{X}^{^+} = \mathbb{X}_{_+} = \Big\{\ x \in \mathbb{X}\ \Big|\ x \geqslant 0\ \Big\}$$
 * $$\mathbb{X}^{**} = \mathbb{X}_{**} = \mathbb{X} \smallsetminus \Big\{0, 1\Big\} \qquad\qquad;\quad \mathbb{X}^{^-} = \mathbb{X}_{_-} = \Big\{\ x \in \mathbb{X}\ \Big|\ x \leqslant 0\ \Big\}$$
 * $$\mathbb{X}_\mathbb{Y} = \mathbb{Y}_\mathbb{X} = \mathbb{X}\ \cap\ \mathbb{Y} = \mathbb{Y}\ \cap\ \mathbb{X}\ \quad;\quad \overline\mathbb{X}\ \ = \mathbb{X}\ \cup\ \Big\{ \pm \infty \Big\}$$
 * $$\mathbb{X}^\text{n} = \underbrace{{\color{white}.} \mathbb{X} \times \mathbb{X} \times ... \times \mathbb{X} {\color{white}.}}_{\text{n times}}\ =\ \Big\{\ (x_{_1}, x_{_2}, ..., x_n)\ \Big|\ x_{_\text{k}} \in \mathbb{X}\ ;\ k\ \in\ \overline{1...n}\ \Big\}$$

——————————————————————————————————————————————————

$Integers. Rationals. Radicals$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$\N + \N\ =\ \N \cdot \N\ =\ \N \quad;\qquad \N - \N\ =\ \Z \qquad\quad;\quad\qquad \frac{\Z}{\Z}\ =\ \overline{\Q}$$
 * $$\N\ =\ \Big(\ \N,\ +,\ \times\ \Big) \qquad;\qquad \overline{\Q}\ =\ \Big(\ \N,\ \pm,\ \times,\ \div\ \Big)$$
 * $$\Z\ =\ \Big(\ \N,\ \pm,\ \times\ \Big) \qquad;\qquad \widehat{\overline{\mathbb{V}}}\ =\ \Big(\ \N,\ \pm,\ \times,\ \div,\ \sqrt[^n]\ \ \Big|\ n \in \N^*\ \Big)$$

——————————————————————————————————————————————————

$Algebraics & Transcendentals$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$\widehat\mathbb{A}_n =\ \left\{\ z\ \left|\ \exist\ P_n(z) = \sum_{k\ =\ 0}^n {a_{_\text{k}} z^k} = 0\ ;\quad\ \begin{align} &a_n \neq\ 0 \\ &a_{_\text{k}} \in\ \Z \end{align} \quad,\ k\ \in\ \overline{0...n}\ \right.\right\}$$
 * $$\widehat\mathbb{A}_1 =\ \Q \quad;\qquad\ \widehat\mathbb{A}_\infty =\ \Complex \quad;\qquad\ \begin{align} &\widehat\mathbb{A}_n \subset\ \widehat\mathbb{A}_{n+1} \qquad\qquad,\quad n \in \N^* \\ &\mathbb{A}_n =\ \widehat\mathbb{A}_n\ \smallsetminus\ \widehat\mathbb{A}_{n-1} \quad,\quad n \in \N^{**} \end{align}$$
 * $$\mathbb{A}_1 =\ \Q \quad;\qquad\ \mathbb{A}_\infty =\ \mathbb{T} \quad;\qquad\ \mathbb{A}\ \ = \bigcup_{\text{n}\ \in\ \N^*} \mathbb{A}_n \quad \Bigg|\ \begin{align} \mathbb{V}\ =\ \widehat\mathbb{V} \smallsetminus \Q \\ \mathbb{B}\ =\ \mathbb{A} \smallsetminus \widehat\mathbb{V} \end{align}$$
 * $$\mathbb{V}_n =\ \mathbb{V}\ \ \cap\ \mathbb{A}_n \qquad\qquad\qquad\qquad \mathbb{V}\ \ = \bigcup_{\text{n}\ \in\ \N^*} \mathbb{V}_n$$
 * $$\mathbb{B}_n =\ \mathbb{B}\ \ \cap\ \mathbb{A}_n \qquad\qquad\qquad\qquad {\color{white}.} \mathbb{B}\ \ = \bigcup_{\text{n}\ \in\ \N^*} \mathbb{B}_n$$
 * $$\mathbb{A}_n =\ \mathbb{V}_n \cup\ \mathbb{B}_n \quad,\quad n \in \N^{**} \quad;\quad {\color{white}.} \mathbb{V}_1 =\ \mathbb{B}_1 =\ \mathbb{B}_2 =\ \mathbb{B}_3 =\ \mathbb{B}_4 = \varnothing$$

——————————————————————————————————————————————————

$Reals & Complex$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$\R \rightarrow \begin{cases} \mathbb{A}_1 = \Q \rightarrow \begin{cases} \Z \rightarrow \begin{cases} \Z_{_+} = \N \rightarrow \mathbb{P} \\ \Z_{_-} \end{cases} \\ \mathbb{F} \end{cases} \\ \\\ \qquad\ \mathbb{I} \rightarrow \begin{cases} \mathbb{I}_\mathbb{T}\ =\ \R_\mathbb{T}\ =\ \mathbb{T}_\R \\ \\ \mathbb{I}_\mathbb{A} \rightarrow \begin{cases} \mathbb{I}_\mathbb{V}\ =\ \R_\mathbb{V}\ =\ \mathbb{V}_\R \\ \mathbb{I}_\mathbb{B}\ =\ \R_\mathbb{B}\ =\ \mathbb{B}_\R \end{cases} \end{cases} \end{cases}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\Complex\ =\ \R^2\ =\ \R \times \R\ =\ \R + i\cdot\R\ =\ \mathbb{A}\ \cup\ \mathbb{T}\ =\ \Q\ \cup\ \mathbb{V}\ \cup\ \mathbb{B}\ \cup\ \mathbb{T}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\Complex \rightarrow \begin{cases} \mathbb{A} \rightarrow \begin{cases} \Q \qquad \mathbb{A}_1 \\ \mathbb{V} \qquad \sqrt{\ } \quad\ {\color{white}.} \text{radicals} \\ \mathbb{B} \qquad \text{Bring radicals} \end{cases} \\ \\ \mathbb{A}_\infty =\ \mathbb{T} \end{cases}$$

——————————————————————————————————————————————————

= $Basic Irrationals$ =

$The Basic Circle Constant$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$e\ =\ 2.\ 72^{^-}$$




 * [[Image:Euler's_formula.svg|300px]]




 * $$e^x\ = \sum_{n=0}^\infty\ \frac{x^n}{n!} \qquad,\qquad \frac1{n!} \in \Q \qquad,\qquad \deg(e^x) = \infty$$



——————————————————————————————————————————————————

$The Basic Factorial Constant$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$\pi\ =\ \Gamma^2\left(\tfrac12\right)\ =\ 4\cdot\Big(\tfrac12!\Big)^2$$



——————————————————————————————————————————————————

$Synoptic Table$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$\dot\mathbf{I} \quad\ \simeq \quad \mathbf{Q}_{_\tfrac1{10}} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \simeq\qquad\quad \mathbf{Q}_{_\tfrac17}\ \qquad\quad\simeq\quad\ \mathbf{Q}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$e^\pi\ \ = 23.\ 14^{^+} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\simeq\quad 23\tfrac17\ =\ \tfrac{162}7 \qquad\qquad\qquad\qquad \mathbb{T}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\pi^2\ \ =\ 9.\ 87^{^-}\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\simeq\quad\ 9\tfrac67\ =\ \ \tfrac{69}7 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \mathbb{T}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\pi\quad =\ 3.\ 14\ 16^{^-} \qquad\qquad\qquad\qquad\simeq\quad\ 3\tfrac17\ =\ \ \tfrac{22}7 \qquad\simeq\quad \tfrac{3{\color{white}.}55}{11{\color{white}.}3} \qquad\quad\ \mathbb{T}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$e\quad =\ 2.\ 7\ 1828\ 1828\ 45\ 90\ 45^{^+}\ \quad\simeq\quad\ 2\tfrac57\ =\ \ \tfrac{19}7 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \mathbb{T}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt3\ = 1.\ 73\ 20\ 50\ 80^{^+}\ {\color{white}.}\qquad\qquad\quad\simeq\quad \ 1\tfrac57\ =\ \ \tfrac{12}7 \qquad\simeq\quad \tfrac{97}{8\times7} \qquad\quad \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt2\ = 1.\ 41\ 42\ 135^{^+}\ \qquad\qquad\qquad\simeq\quad\ 1\tfrac37\ =\ \ \tfrac{10}7 \qquad\simeq\quad\ \tfrac{99}{70} \qquad\quad\ \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\frac{e}{\pi}\ \ =\ 0.\ 865^{^+} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\simeq\qquad\qquad\quad \tfrac67 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \mathbb{T}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\gamma\ \ =\ 0.\ 577^{^+} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\simeq\qquad\qquad\quad{\color{white}.} \tfrac47 \qquad\simeq\quad \tfrac{8\times7}{97} \qquad\quad\ \mathbb{T}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\Omega_1 =\ 0.\ 567^{^+} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\simeq\qquad\qquad\quad{\color{white}.} \tfrac47 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \mathbb{T}$$

——————————————————————————————————————————————————

$As Multiples of 1⁄7$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$e^\pi\ \ =\ 23\frac17^{^-} =\ \frac{162}7^{^-} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \pi^2\ =\ 9\frac67^{^+} =\ \frac{69}7^{^+}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\pi\quad =\ \ 3\frac17^{^-}\ =\ \ \frac{22}7^{^-} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad e\ =\ 2\frac57^{^+} =\ \frac{19}7^{^+}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt3\ =\ \ 1\frac57^{^+}\ =\ \ \frac{12}7^{^+} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \sqrt2\ =\ 1\frac37^{^-} =\ \frac{10}7^{^-}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\frac{e}\pi\quad = \quad\frac67^{^+} \qquad\qquad\qquad\ \gamma\ =\ \frac47^{^+} \qquad\qquad\qquad\ \Omega_1\ =\ \ \frac47^{^-}$$

——————————————————————————————————————————————————

$Clarifications$
——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt2\ =\ \sqrt{2\cdot\frac{49}{49}}\ =\ \ \sqrt\frac{98}{49}\ \ =\ \sqrt\frac{100^{^-}}{49\ }\ =\ \frac{10}7^{^-}\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt3\ =\ \sqrt{3\cdot\frac{49}{49}}\ =\ \sqrt\frac{147}{49}\ =\ \sqrt\frac{144^{^+}}{49\ }\ =\ \frac{12}7^{^+}\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt2\ =\ \sqrt{2\cdot\frac{25}{25}}\ =\ \ \sqrt\frac{50}{25}\ \ =\ \sqrt\frac{49^{^+}}{25\ \ }\ \ =\ \frac75^{^+}\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt3\ =\ \sqrt{3\cdot\frac{16}{16}}\ =\ \sqrt\frac{48}{16}\ \ =\ \ \sqrt\frac{49^{^-}}{16\ \ }\ \ =\ \frac74^{^-}\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt2\ \in\ \left(\frac75\ ,\ \frac{10}7\right) \qquad => \qquad \sqrt2\ \simeq\ \frac{\tfrac75 + \tfrac{10}7}2\ =\ \ \frac{99}{70} \qquad\qquad\qquad\quad \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt3\ \in\ \left(\frac{12}7\ ,\ \frac74\right) \qquad => \qquad \sqrt3\ \simeq\ \frac{\tfrac74 + \tfrac{12}7}2\ =\ \frac{97}{8\cdot7}\ \qquad\qquad\qquad\ \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt2\ =\ 1.41^{^+}\ =\ \frac{1.40 + 1.42^{^+}}2\ =\ \frac{1\tfrac25\ +\ 1\tfrac37^{^-}}2\ =\ \ \frac{99}{70}^{^-}\ \qquad\qquad\qquad\ \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\sqrt3\ =\ 1.73^{^+}\ =\ \frac{1.71^{^+} + 1.75}2\ =\ \frac{1\tfrac57^{^-} +\ 1\tfrac34}2\ \ =\ \frac{\ 97^{^-}}{8\cdot7}\ \qquad\qquad\qquad\ \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\frac1\sqrt2\ =\ 0.\ 707^{^+}\ =\ 0.\ (70)^{^+}\ =\ \frac{70}{99}^{^+}\ =>\ \sqrt2\ =\ \ \frac{99}{70}^{^-}\ \qquad\qquad\qquad\ \mathbb{A}_2$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $${\color{white}.}\ \gamma\ =\ \frac{\ \ 1^{^-}}\sqrt3\ =\ \frac{8\cdot7}{97}^{^-} \qquad\qquad\qquad \mathbb{T} = \mathbb{A}_\infty$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\pi^2\ \simeq\ \Bigg(3\frac17\Bigg)^2 =\ 3^2 + 2\cdot3\cdot\tfrac17 + \Big(\tfrac17\Big)^2 =\ 9\frac67^{^+}\ =\ \ \frac{69}7^{^+}\ \qquad\qquad\quad \mathbb{T} = \mathbb{A}_\infty$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\frac{e}\pi\ \simeq\ \frac{19}7 \Bigg/ \frac{22}7\ =\ \frac{19}{22}\ \simeq\ \frac{19 - 1}{22 - 1}\ =\ \frac{18}{21}\ =\ \frac{6\cdot3}{7\cdot3}\ =\ \frac67 \qquad\qquad\quad \mathbb{T} = \mathbb{A}_\infty$$

——————————————————————————————————————————————————

$Since incrementation, addition, and multiplication are symmetrical or commutative, they each have a single inverse operation. But since exponentiation is asymmetrical or non-commutative, it possesses two distinct inverse operations.$

 * $$\pi \quad\simeq\quad \sqrt{10}\ \quad\simeq\quad\ \sqrt[3]{31}\ \quad\simeq\quad\ \sqrt2\ +\ \sqrt{3}\ \quad\simeq\quad\ 3\ +\ \frac\sqrt2{10}\ +\ \frac\sqrt3{10^{^4}}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$e\ =\ \varphi\ +\ 1.1^{^+}\ \simeq\ \left(\frac1\sqrt2\ +\ \frac1\sqrt3\right)^4\ \simeq\ 1 + \sqrt3\ \qquad\quad;\quad\qquad\ \gamma\ \simeq\ \frac1\sqrt3$$

——————————————————————————————————————————————————

$Basic Constants$

 * $$e^\pi\ \simeq\ 20\ +\ \pi\ -\ \tfrac1{1111}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\pi\ \simeq\ \sqrt[9]{10 \cdot e^8}\ \simeq\ e^{^{^\displaystyle\sqrt[3]\tfrac32}}\ \simeq\ \frac{5\ +\ \sqrt[4]e}{2\quad}\ \simeq\ \frac{2\,e^{^\gamma}\ +\ 9}{\quad4}\ \simeq\ \frac{2\,e}\sqrt3\ \simeq\ 2\,e\,\gamma$$

——————————————————————————————————————————————————

$Describes a circle or a spiral, by transforming a translation alongside a vertical or inclined straight line from the complex plane into a rotation around the point of origin :$

 * $$\varphi\ = \frac{1 + \sqrt5}2 \qquad => \qquad \varphi^2 = \varphi\ + 1\ \qquad\ =>\ \quad\ {\color{white}.} \begin{align} \tfrac1\varphi\,\ +\,\ \tfrac1{\varphi\ +\ 1}\ =\ 1 \\ \\ \tfrac1\varphi\,\ +\,\ \tfrac1{\ \varphi^{{\color{white}.} 2^{\color{white}1}}}\ \ =\ 1 \end{align}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\begin{align} e = 2.\ 718^{^+} \\ \varphi = 1.\ 618^{^+} \end{align} \qquad => \qquad \begin{align} &e\ \simeq\ \varphi\ + 1.1 \\ \\ &e^\ \simeq\ \varphi^2 + \tfrac1{10} \end{align} \qquad => \qquad \begin{align} &\tfrac1\mathbf{e}\,\ +\,\ \tfrac1\varphi\,\ + \tfrac1{71}\ \simeq\ 1 \\ \\ &\tfrac1\mathbf{e}\,\ +\,\ \tfrac1\sqrt\mathbf{e} + \tfrac1{39}\ \simeq\ 1 \\ \\ &\tfrac1\sqrt\mathbf{e} + \tfrac1{\varphi^{{\color{white}.} 2^{\color{white}1}}} + \tfrac1{87}\ \simeq\ 1 \end{align}$$

——————————————————————————————————————————————————
 * $$\begin{align} \frac1\sqrt2\ =\ 0.\ 707^{^+}\ =\ \frac{700\ +\ 7^{^+}}{10^3} \\ \\ \ln2\ =\ 0.\ 693^{^+}\ =\ \frac{700\ -\ 7^{^-}}{10^3} \end{align} \qquad\qquad\qquad => \qquad\ \ln2\ +\ \frac1\sqrt2\ =\ \frac75^{^+}$$

——————————————————————————————————————————————————