User:Gastonphoebus8/sandbox

Följande resonemang visar hur stor chans man har att få k rätta i Keno, k = 0, 1, 2, ..., 11. Vi behandlar endast fallet Keno 11, resonemangen kan föras analogt för andra varianter av spelet.

Keno 11 är ett spel som går ut på att välja 11 tal bland 70 möjliga. Sedan lottar Svenska Spel en Kenorad bestående av 20 tal bland samma 70, man vinner frispel från och med 5 rätta och får sedan allt högre vinster ju fler rätta tal som valts rätt, vilka sammanfattas i tabell~1.

Vi betraktar först den totala antal möjliga utfall som spelet kan resultera i. Det är lika med antalet möjliga kenorader som kan tas fram, det vill säga antalet sätt att välja 20 element ur en mängd av 70 möjliga. Enligt definition av binomialkoefficienten ges detta av:

$$ {70 \choose 20} = \frac{70!}{20!(70 - 20)!} = \frac{70 \times 69 \times 68 \times ...\times 51}{20 \times 19 \times 18 \times ... \times 1 } = 161884603662657876.$$

Sedan observerar vi att för att få k rätta, har vi $${11\choose k}$$ sätt att dra k tal bland de 11 man har bockat. För varje sådan kombination finns det $${ 70-11 \choose 20-k}$$ sätt att fritt dra fram de resterande (20-k) kulor bland de $$ (70-11) = 59 $$ som man inte har spelat. Multiplikationsprincipen ger att antalet sätt att gissa k tal är :

$$ P(X = k) = {11\choose k} \times { 70-11 \choose 20-k} = \frac{11!}{k! \times (11-k)!} \times \frac{59!}{(20-k)! \times (39+k)!}. $$

Vi betecknar X, händelsen att X av dem valda talen blir lottade och sannolikhet P(X) fås genom att dividera antalet gynnsamma utfall med det totala antalet kenorader:

$$ P(X = k) = \frac{{11\choose k} \times { 59 \choose 20-k}} $$

Sannolikheten för alla 12 möjliga värden på k sammanfattats i tabell ~1.

Gastonphoebus8 (talk) 21:26, 3 February 2013 (UTC)