User:GevorgNikogosyan

Բազմաթիվ վերլուծություններով, Հերմայթ ինտերպոլացիան', որը կոչված է Չարլզ Հերմայթի անվամբ, ընդմիջարկման/ ընդմիջարկվող տվյալների մեթոդ է, որպես բազմիմաստ ֆունկցիա. Ստացված Հերմայթ բազիմաստը սերտորեն կապված է Նյուտոնի բազիմաստ ֆունկցիայի հետ, այդ երկու դեպքերն էլ ստացվել են  հաշվարկի  բաժանված տարբերություններից:

Հակառակ Նյուտոնի ընդմիջարկման, Հերմայթ ընդմիջարկումը մատնանշում է դտարկված արժեքի անհայտ ֆունկցիան, և դրա առաջին ածանցյալներից m -ի դիտարկված արժեքը: Սա նշանակում է, որ n(m + 1)արժեքները

\begin{matrix} (x_0, y_0), &(x_1, y_1), &\ldots, &(x_{n-1}, y_{n-1}), \\ (x_0, y_0'), &(x_1, y_1'), &\ldots, &(x_{n-1}, y_{n-1}'), \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ (x_0, y_0^{(m)}), &(x_1, y_1^{(m)}), &\ldots, &(x_{n-1}, y_{n-1}^{(m)}) \end{matrix} $$ ավելի հայտնի են, քան առաջին n- ի արժեքները, որոնք պահանջվում են Նյուտոնի ընդմիջարկման համար. Ստացված բազիմաստը կարող է ունենեալ n-ի ամենաբարձր աստիճանը (m + 1) &minus; 1,այն ժամանակ, երբ որ Նյուտոնի բազմիմաստը ունի մաքսիմում ստիճանn &minus; 1. (Ընդհանոր առմամաբ, m-ը ֆիքսված արժեքի կարիք չունի քանի որ  որոշ միավորներ ունեն ավելի շատ ածանցյալներ քան մյուսները:Այս դեպքում ստացված բազիմաստը կարող է ունենեալ  N աստիճանը  &minus; 1, with N-ը ստացված միավորների թիվն է.)

Պարզ դեպք
Երբ օգտագործում ենք հաշվարկի բաժանված տարբերությունները, f ֆունկցիայի Հերմայթ բազիմաստը,առաջին քայլը m'-ի ամեն մի միավորի կրկնօրինակումն է:(Այստեղ մենք նկատի ունենեք <մաթ>-ի սրզագույն դեպքը m = 1 բոլոր միավորների համար.) Այնուամենայնիվ տրված $$n + 1$$ միավորները $$x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$$,և արժեքները $$f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_n)$$ և $$f'(x_0), f'(x_1), \ldots, f'(x_n)$$ f'' ֆունկցիայի համար, որը մեք ցանկանում ենք ընդմիջարկել, մենք ստեղծում ենք նոր տվյալների բազա:
 * $$z_0, z_1, \ldots, z_{2n+1}$$

ինչպիսիք են
 * $$z_{2i}=z_{2i+1}=x_i.$$

Այժմ մենք կառուցում ենք Բաժանված տարբերություններ/ բաժանված տարբերությունների աղյուսակ $$z_0, z_1, \ldots, z_{2n+1}$$ միավորների համար. Այնուամենայնիվ, որոշ բաժանված տարբերությունների համար՝
 * $$z_i = z_{i + 1}\implies f[z_i, z_{i+1}] = \frac{f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}} = \frac{0}{0}$$

որը ընդգծված է! Այս դեպքում ՚ՙբաժանված տարբերությունը փոխարինում ենք $$f'(z_i)$$-ով.Մնացացը նորմալ ձևով են հաշվարկվում:

Ընդհանուր դեպք
Ընդհանուր դեպքը ենթադրում է,որ տվյալ միավորը $$x_i$$ ունի k ածանցյալներ.Այնուհետև տվյալների բազան <մաթ>z_0, z_1, \ldots, z_{N} պարունակում է k միօրինակ պատճեները $$x_i$$.Երբ կառուցում են ցուցակը բաժանված տարբերությունները $$j = 2, 3, \ldots, k$$-ի նման արժեքները կարող են հաշվարկվել որպես


 * $$\frac{f^{(j)}(x_i)}{j!}.$$

Օրինակ
 * $$f[x_i, x_i, x_i]=\frac{f''(x_i)}{2}$$
 * $$f[x_i, x_i, x_i, x_i]=\frac{f^{(3)}(x_i)}{6}$$

և այլն:

Օրինակ
Հաշվի առնելով $$f(x) = x^8 + 1$$ ֆունկցիան, գնահատելով ֆունկցիան և և դրա առաջին երկու ածանցյալները $$x \in \{-1, 0, 1\}$$, մենք ստանում են ք հետևյալ տվյալը:
 * {| class="wikitable" style="text-align: center; padding: 1em;"


 * x || &fnof;(x) || &fnof; ' (x)  || &fnof;  (x'')
 * &minus;1 || 2   ||  &minus;8     || 56
 * 0 ||  1   ||  0     || 0
 * 1 ||  2   ||  8    || 56
 * }
 * 0 ||  1   ||  0     || 0
 * 1 ||  2   ||  8    || 56
 * }
 * }

Քանի որ մենք ունենք երկու ածանցյալներ, որոնց հետ պիտի աշխատենք, մենք կառուցում ենք հետևյալ բանաձևը՝  $$\{z_i\} = \{-1, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 1\}$$. Մեր բաժանած տարբերությունների աղյուսակը հետևյալն է:

\begin{matrix} z_0 = -1 &  f[z_0] = 2  &                          &                         &                           &      &     &   &    & \\ &             &  \frac{f'(z_0)}{1} = -8  &                         &                           &      &     &   &    & \\ z_1 = -1 &  f[z_1] = 2  &                          & \frac{f''(z_1)}{2} = 28 &                           &      &     &   &    & \\ &             &  \frac{f'(z_1)}{1} = -8  &                         &  f[z_3,z_2,z_1,z_0] = -21 &      &     &   &    & \\ z_2 = -1 &  f[z_2] = 2  &                          & f[z_3,z_2,z_1] = 7      &                           &  15  &     &   &    & \\ &             &  f[z_3,z_2] = -1         &                         &  f[z_4,z_3,z_2,z_1] = -6  &      & -10 &   &    & \\ z_3 = 0  &  f[z_3] = 1  &                          & f[z_4,z_3,z_2] = 1      &                           &   5  &     & 4 &    & \\ &             &  \frac{f'(z_3)}{1} = 0   &                         &  f[z_5,z_4,z_3,z_2] = -1  &      &  -2 &   & -1 & \\ z_4 = 0  &  f[z_4] = 1  &                          & \frac{f''(z_4)}{2} = 0  &                           &   1  &     & 2 &    & 1 \\ &             &  \frac{f'(z_4)}{1} = 0   &                         &  f[z_6,z_5,z_4,z_3] =  1  &      &   2 &   &  1 & \\ z_5 = 0  &  f[z_5] = 1  &                          & f[z_6,z_5,z_4] = 1      &                           &   5  &     & 4 &    & \\ &             &  f[z_6,z_5] = 1          &                         &  f[z_7,z_6,z_5,z_4] =  6  &      &  10 &   &    & \\ z_6 = 1  &  f[z_6] = 2  &                          & f[z_7,z_6,z_5] = 7      &                           &  15  &     &   &    & \\ &             &  \frac{f'(z_7)}{1} = 8   &                         &  f[z_8,z_7,z_6,z_5] =  21 &      &     &   &    & \\ z_7 = 1  &  f[z_7] = 2  &                          & \frac{f''(z_7)}{2} = 28 &                           &      &     &   &    & \\ &             &  \frac{f'(z_8)}{1} = 8   &                         &                           &      &     &   &    & \\ z_8 = 1  &  f[z_8] = 2  &                          &                         &                           &      &     &   &    & \\ \end{matrix} $$ and the generated polynomial is

\begin{align} P(x) &= 2 - 8(x+1) + 28(x+1) ^2 - 21 (x+1)^3 + 15x(x+1)^3 - 10x^2(x+1)^3 \\ &\quad{} + 4x^3(x+1)^3 -1x^3(x+1)^3(x-1)+x^3(x+1)^3(x-1)^2 \\ &=2 - 8 + 28 - 21 - 8x + 56x - 63x + 15x + 28x^2 - 63x^2 + 45x^2 - 10x^2 - 21x^3 \\ &\quad {}+ 45x^3 - 30x^3 + 4x^3 + x^3 + x^3 + 15x^4 - 30x^4 + 12x^4 + 2x^4 + x^4 \\ &\quad {}- 10x^5 + 12x^5 - 2x^5 + 4x^5 - 2x^5 - 2x^5 - x^6 + x^6 - x^7 + x^7 + x^8 \\ &= x^8 + 1. \end{align} $$ Վերցնելով իր գործակիցները շեղակի բաժանաված տարբերությունների աղյուսակից,և բազմապատկելով k-ով $$\prod_{i=0}^{k-1} (x - z_i)$$ գործակցով,կստանանք Նյուտոնի գործակիցը առաջանալու դեպքում:

Սխալ
Հաշվարկված բազիմաստը անվանենք H-ով և օրիգինալ ֆունկցիան f-ով. Գնահատելով միավորը հետևյալ կերպ $$x \in [x_0, x_n]$$, սխալ ֆունկցիան հետևյալն է.
 * $$f(x) - H(x) = \frac{f^{(K)}(c)}{K!}\prod_{i}(x - x_i)^{k_i}$$

որտեղc-ն անհայտ է այդ շարքում $$[x_0, x_N]$$, K-ն միավորների տվյալի ամբողջական թիվն է գումարած մեկը, and $$k_i$$ ածանցյալների թիվն է, որը հայտնի է ամնեի մի $$x_i$$-ում գումարած մեկ:

Նայել նույնպես

 * Հերմայթի խորհանարդներ
 * Նյուտոնի օրենքներ, նաև հայտնի վերջավոր տարբերություններ
 * Նեվիլի սխեմա
 * Բազմիմաստ ընդմիջարկում
 * [[Ընդմիջարկման բազմիմաստի շարքյին բազիմաստ
 * Բրեստեյնից բազիմաստի ընդմիջարկում
 * Չինական թեորեմ/ ծրագրեր

Հղումներ

 * Hermites Interpolating Polynomial at Mathworld

Category:Interpolation Category:Finite differences Category:Factorial and binomial topics

Hermiteinterpolation Interpolación polinómica de Hermite 에르미트 보간법