User:GirayArat/Heaviside basamak fonksiyonu

Heaviside basamak fonksiyonu veya birim basamak fonksiyonu (birim adım fonksiyonu olarak da bilinir), genellikle $H$ veya $θ$ (ancak bazen $u$, $1$ veya $𝟙$) ile gösterilir, değeri negatif argümanlar için sıfır ve pozitif argümanlar için bir olan Oliver Heaviside'ın adını taşıyan bir basamak fonksiyonudur. Genel basamak fonksiyonu sınıfının bir örneğidir ve ötelemelerinin doğrusal birleşimiyle sınıftaki diğer fonksiyonlar elde edilebilir.

İlk başta operasyonel kalkülüs alanında diferansiyel denklemlerin çözümü için geliştirilmiştir ve bu çözümlerde belirli bir zamanda açılıp belirsiz bir süre açık kalan anahtarları temsil eder. Telegraf haberleşmelerinin analizinde kullanılmak üzere bir araç olarak operasyonel kalkülüsü geliştiren Oliver Heaviside, fonksiyonu $1$ gösterimiyle temsil etmiştir.

Heavside fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibidir:


 * parçalı fonksiyon olarak: $$H(x) := \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$
 * Iverson parantezi gösterimiyle: $$H(x) := [x \ge 0]$$
 * indikator fonksiyonu olarak: $$H(x) := \mathbf{1}_{x \geq 0}=\mathbf 1_{\mathbb R_+}(x)$$
 * rampa fonksiyonunun türevi olarak: $$H(x) := \frac{d}{dx} \max \{ x, 0 \}\quad \mbox{for } x \ne 0$$

Dirac delta fonksiyonu, Heaviside fonksiyonunun türevidir$$\delta(x)= \frac{d}{dx} H(x)$$Böylece Heaviside fonksiyonu, Dirac delta fonksiyonunun integrali olarak dünüşülebilir. Bu durum bazen$$H(x) := \int_{-\infty}^x \delta(s)\,ds$$şeklinde yazılır, her ne kadar $δ$ içeren integraller için kullanılan formalizme göre $x = 0$ için bu açılım geçersiz (hatta anlamsız) kılınsa da. Heaviside fonksiyonu bu bağlamda, bir rastgele değişkenin değeri neredeyse kesinlikle 0 olan birikimli dağılım fonksiyonu olmuş olur. (Bakınız sabit rastgele değişken.)

In operational calculus, useful answers seldom depend on which value is used for $H(0)$, since $H$ is mostly used as a distribution. However, the choice may have some important consequences in functional analysis and game theory, where more general forms of continuity are considered. Some common choices can be seen below.