User:GuntarsKeks/sandbox

Turbulences modelēšana ir šķidrumu un gāzes mehānikas skaitlisko aprēķinu (Computational Fluid Dynamics, CFD) apakšnozare kas ļauj aprakstīt turbulences parādības plūsmā. CFD nozares pamatā ir Navje-Stoksa (NS) vienādojums, kas raksturo plašu plūsmu klāstu ka arī, principā, arī satur informāciju par turbulenci. Lai izšķirtu smalkas turbulences paradības, skaitliska modeļa režģim jābūt pietiekami smalkam un tadu metodi sauc par Direct Numerical Simulation (DNS), līdz ar ko var pateikt ka DNS tipa aprēķiniem turbulences modelēšana nav nepieciešama. Līdz ar modeļa augstu izšķirtspēju palielinās dator resursi un uz simulāciju patērētais laiks, padarot šada tipa apreķinus nepraktiskus. Tas fakts mudina meklēt jaunas metodes turbulences parādību aprakstīšanai, netieši, izmantojot mazāk resursu.

Reinoldsa Videjotais Navje Stoksa vienādojums
Turbulences parādības var noverot mums visapkārt, piemēram ka virpuļi upes straumē un ceļošos dūmos. Atšķirīgas pazīmes- plūsma ir laika mainīga, neregulāra un haotiska. Analizējot tādu plūsmu laboratorijā var pamanīt ka kādā punktā ātrums ir vidēji regulārs, bet papildus pastāv šķietami patvaļīgas fluktuācijas.

Reinoldsa dekompozīcija
Šīs veids ātrumu (ātruma i-to komponenti) $$u_i$$ apskatīt ka kādu vidēju vērtību $$\bar{u}_i$$ un statistiska rakstura fluktuāciju $$u_i^\prime$$ sauc par Reinoldsa dekompozīciju (Reynolds decomposition)
 * $$u_i = \bar{u}_i + u_i^\prime

$$

un balstoties uz tā, var izvest Reinoldsa Videjoto Navje Stoksa (Reynolds Avereged Navier Stokes, RANS) vienādojumu. Primāri apskata tādas fluktuācijas lai to laika vidējas vertības būtu nulles, kas novēd pie sekojošas RANS vienādojuma formas, pierakstīto izmantojot Einšteina indeksus, Dekartā koordināšu sistēmā:
 * $$\rho\bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i }{\partial x_j}

= \rho \bar{f}_i + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ - \bar{p}\delta_{ij} + \mu \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) - \rho \overline{u_i^\prime u_j^\prime} \right ]. $$

Plūsmas apraksta pilnvertigums (noslegšanas problēma)
RANS ir vienādojums vidējām ātruma komponentēm un spiedienam. Papildus plūsmas aprakstam izmanto vai nu nepartrauktības vienādojumu, vai Pusasona vienādojumu spiedienam. Tas veido 4 (3+1) vienādojumus, bet RANS satūr ari papildus nelineāru termu (pēdējais sakaitamais) $$- \rho \overline{u_i^\prime u_j^\prime}$$, kas ir atkarīgs no nezināmam fluktuācijām. Šo saskaitāmo sauc par Reinodlsa stressu $$R_{ij}$$ un izvest no apakšprincipien to nav iespējams. Tā kā vienādojumu skaits ir mazaks par nezināmo skaitu, vienozīmīgo atrisinājumu atrast nav iespējams. Tāpēc pastāv vairāki modeļi (turbulences modeļi) kas mēģina Reinodlsa stressu saistīt to ar citiem nezināmiem (noslēgt sistēmu).

Virpuļu viskozitāte
Virpuļu viskozitātes modeļu klasse balstās uz Buseneska (Joseph Valentin Boussinesq) hipotēzi par Reinoldsa stresa terma saistību ar ātruma gradientiem.


 * $$-\rho \overline{u_i^\prime u_j^\prime} = \mu_t\left (\frac{\partial\overline{u}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial\overline{u}_j}{\partial x_i} -\frac{2}{3} \frac{\partial\overline{u}_k}{\partial x_k} \delta_{ij} \right ) -\rho \frac{2}{3} k \delta_{ij}$$

Kur
 * $$\mu_t$$ ir "turbulenta viskozitāte"
 * $$k = \frac{1}{2}\overline{u_i' u_i'}=\frac{1}{2} \left( \overline{u_1' u_1'} + \overline{u_2' u_2'} + \overline{u_3' u_3'}\right) $$ ir turbulenta kinetiska enerģija
 * and $$\delta_{ij}$$ ir Kronekera simbols.

Šo izteiksmi var pierakstīt īsāk sadalot izmantojot deviatorisko daļu $$S_{ij}^*$$ no bīdes ātruma tenzora $$S_{ij}$$
 * $$S_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right)$$
 * $$S_{ij}^* = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i}\right) -\frac{1}{3} \frac{\partial\overline{u}_k}{\partial x_k}$$

ka
 * $$-\rho \overline{u_i^\prime u_j^\prime} = 2\mu_t\left ( S_{ij} -\frac{1}{3} \frac{\partial\overline{u}_k}{\partial x_k} \delta_{ij} \right ) -\rho \frac{2}{3} k \delta_{ij} = 2\mu_t S_{ij}^* -\rho \frac{2}{3} k \delta_{ij}$$

Saskaņa ar šo pieņemumu, sakotnēji nelineāru stressa termu $$-\rho \overline{u_i^\prime u_j^\prime}$$ var aizvietot ar lineāru vienādojumu ar proporcionalitātes koeficientu $$\mu_t$$ un turbulēto kinētisko enerģiju (TKE) $$k$$. Pēc savas uzbūves jaunais saskaitamais atgādina NS vienādojuma difūzijas termu $$\mu \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right)$$ ar viskozitātes koeficientu $$\mu$$, līdz ar ko koeficientu $$\mu_t$$ tipiski sauc par “turbulentu viskozitāti” vai “virpuļu viskozitāti”. $$\mu_t$$ vērtība var mainīties telpā atkarībā no plūsmas parametriem, robežnosacījumiem un ģeometrijas. Lai to noteiktu tiek izstrādāti modeļi, kuros tipiski izmantojot empīriskas sakarības ar koeficientiem noteiktiem no eksperimentiem. Viskozitātes modeļu grupa sadalas 3 tipos, pēc nepieciešamu papildus vienadijumu skaita:
 * 1) Algebriski (nulles vienādojumu modeļi)- turbulentā viskozitāte tiek modificēta ņemot vērā tikai plūsmas parametrus. Plūsmas vesture nespele lomu. Piemeram The Baldwin-Lomax un Cebeci-Smith modeļi.
 * 2) Viena vienādojuma modeļi- tiek iekļauts kāda lauka transporta vienādojums, piemēram TKE. Popular piemērs ir Spalart-Allmaras turbulences modelis.
 * 3) Divu vienādojumu modeļi- papildus TKE transportam tiek risināts turbulentas dissipacijas (transporta) vienādojums. Piemeram $k - \omega$ turbulences modelis un $k - \epsilon$ turbulences modelis.

Common models
The following is a brief overview of commonly employed models in modern engineering applications.

The Spalart–Allmaras model is a one-equation model that solves a modelled transport equation for the kinematic eddy turbulent viscosity. The Spalart–Allmaras model was designed specifically for aerospace applications involving wall-bounded flows and has been shown to give good results for boundary layers subjected to adverse pressure gradients. It is also gaining popularity in turbomachinery applications.
 * Spalart–Allmaras (S–A)

K-epsilon (k-ε) turbulence model is the most common model used in computational fluid dynamics (CFD) to simulate mean flow characteristics for turbulent flow conditions. It is a two-equation model which gives a general description of turbulence by means of two transport equations (PDEs). The original impetus for the K-epsilon model was to improve the mixing-length model, as well as to find an alternative to algebraically prescribing turbulent length scales in moderate to high complexity flows.
 * k–ε (k–epsilon)

In computational fluid dynamics, the k–omega (k–ω) turbulence model is a common two-equation turbulence model that is used as a closure for the Reynolds-averaged Navier–Stokes equations (RANS equations). The model attempts to predict turbulence by two partial differential equations for two variables, k and ω, with the first variable being the turbulence kinetic energy (k) while the second (ω) is the specific rate of dissipation (of the turbulence kinetic energy k into internal thermal energy).
 * k–ω (k–omega)

SST (Menter's shear stress transport) turbulence model is a widely used and robust two-equation eddy-viscosity turbulence model used in computational fluid dynamics. The model combines the k-omega turbulence model and K-epsilon turbulence model such that the k-omega is used in the inner region of the boundary layer and switches to the k-epsilon in the free shear flow.
 * SST (Menter’s Shear Stress Transport)

The Reynolds stress equation model (RSM), also referred to as second moment closure model, is the most complete classical turbulence modelling approach. Popular eddy-viscosity based models like the k–ε (k–epsilon) model and the k–ω (k–omega) models have significant shortcomings in complex engineering flows. This arises due to the use of the eddy-viscosity hypothesis in their formulation. For instance, in flows with high degrees of anisotropy, significant streamline curvature, flow separation, zones of recirculating flow or flows influenced by rotational effects, the performance of such models is unsatisfactory. In such flows, Reynolds stress equation models offer much better accuracy.
 * Reynolds stress equation model

Eddy viscosity based closures cannot account for the return to isotropy of turbulence, observed in decaying turbulent flows. Eddy-viscosity based models cannot replicate the behaviour of turbulent flows in the Rapid Distortion limit, where the turbulent flow essentially behaves like an elastic medium.

Sienas funkcijas
Pielietojot plaši izmantotu “pielipšanas robežnosacījumu” (vides nulles ātrumu pie sienas, $$(u_i)_{siena} = 0$$), gadījumos ja vides ātrums ārpus sienas nav nulle, var sagaidīt lielus ātruma gradientus sienas normāles virzienā. Kas savukārt izraisa turbulences parādības. Lai izšķirtu parādības pie sienas skaitliskam modeļa režģim šeit jābūt pietiekami smalkam, kas palielina slodzi uz resursiem. Viens risinajums būtu, zinot ātruma sadalījumu attiecīgas plūsmas veidam, modificēt robežslāņa izteiksmes lai procesi tiktu nevis izšķirti telpisi, bet modelēti sienas tuvāka elementa ietvaros. Aktuāli pieminēt ka Launder un Spalding 1970jos gados piedāvāja izmantot daļēji logaritmisko ātruma sadalījumu (“Sienas likumu”) $$k - \epsilon$$ turbulences modeli. Implementācija ietver vairākas nezināmas konstantes, kuras piemeklētas labākai liela klāsta problēmu atbilstībai un joprojam tiek izmantotas programmas ka OpenFOAM un Ansys FLUENT. CFD ietvaros “Sienas likuma” sadalījums, izteikts bezdimensionālās vienībās $$U^+= U^+(y^+)$$, var būt aproksimēts ar funkciju/-am. $$y^+$$ vērtības nav zināmas apriori  un var mainīties sienas garumā un mainoties plūsmai. Tapēc ideāli ja aproksimācijas funkcija labi atbilstu visā $$y^+$$ garumā. Piemēram Spaldinga sienas funckija. Tomēr izplatītākais paņēmiens ir izmantot divas funkcijas kas labi apraksta sadalījumu viskoza slānī ($$y^+ < 5$$) un logaritmiska slānī ($$y^+ > 30$$). Elementārākais paņēmiens ir parslēgties starp abam funkcijam $$y^+ = 11.25$$ (vai citu vērtību pieņemtu par piemērotu parēju) apgabalā. Šeit neviena no funkcijām neapraksta sadalījumu pietiekami precīzi. Lai novērstu aproksimācijas neatbilstību bufera slāņi, divu funkciju gadījumā, šajā intervālā tiek pielietota abu funkciju “sajaukšana” (blending).

Prandtl's mixing-length concept
Later, Ludwig Prandtl introduced the additional concept of the mixing length, along with the idea of a boundary layer. For wall-bounded turbulent flows, the eddy viscosity must vary with distance from the wall, hence the addition of the concept of a 'mixing length'. In the simplest wall-bounded flow model, the eddy viscosity is given by the equation:


 * $$\nu_t = \left|\frac{\partial u}{\partial y}\right|l_m^2$$


 * where:


 * $$\frac{\partial u}{\partial y}$$ is the partial derivative of the streamwise velocity (u) with respect to the wall normal direction (y);


 * $$l_m$$ is the mixing length.

This simple model is the basis for the "law of the wall", which is a surprisingly accurate model for wall-bounded, attached (not separated) flow fields with small pressure gradients.

More general turbulence models have evolved over time, with most modern turbulence models given by field equations similar to the Navier–Stokes equations.

Smagorinsky model for the sub-grid scale eddy viscosity
Joseph Smagorinsky was the first who proposed a formula for the eddy viscosity in Large Eddy Simulation models, based on the local derivatives of the velocity field and the local grid size:


 * $$\nu_t = \Delta x \Delta y \sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right)^2}$$

In the context of Large Eddy Simulation, turbulence modeling refers to the need to parameterize the subgrid scale stress in terms of features of the filtered velocity field. This field is called subgrid-scale modeling.

Spalart–Allmaras, k–ε and k–ω models
The Boussinesq hypothesis is employed in the Spalart–Allmaras (S–A), k–ε (k–epsilon), and k–ω (k–omega) models and offers a relatively low cost computation for the turbulence viscosity $$\nu_t$$. The S–A model uses only one additional equation to model turbulence viscosity transport, while the k–ε and k–ω models use two.

Other

 * Absi, R. (2019) "Eddy Viscosity and Velocity Profiles in Fully-Developed Turbulent Channel Flows" Fluid Dyn (2019) 54: 137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014
 * Townsend, A.A. (1980) "The Structure of Turbulent Shear Flow" 2nd Edition (Cambridge Monographs on Mechanics), ISBN 0521298199
 * Bradshaw, P. (1971) "An introduction to turbulence and its measurement" (Pergamon Press), ISBN 0080166210
 * Wilcox C. D., (1998), "Turbulence Modeling for CFD" 2nd Ed., (DCW Industries, La Cañada), ISBN 0963605100

Category:Turbulence Category:Turbulence models