User:Hjilderda/test


 * $$h^{2}f^{(2)}(x_{2})=-\frac{1}{12}f_{0}+\frac{4}{3}f_{1}-\frac{5}{2}f_{2}+\frac{4}{3}f_{3}-\frac{1}{12}f_{4}+\frac{1}{90}h^{6}f^{(6)}(\xi)$$

\begin{align} h^{2}f^{(2)}(x_{2})=&-\frac{1}{12}f_{0}+\\ &+\frac{4}{3}f_{1}+\\ &-\frac{5}{2}f_{2}+\\ &+\frac{4}{3}f_{3}+\\ &-\frac{1}{12}f_{4}+\\ &+\frac{1}{90}h^{6}f^{(6)}(\xi) \end{align} $$
 * $$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}}$$

Definitions
For an arbitrary ring $$(R,+,\cdot)$$, let $$(R,+)$$ be the underlying additive group. A subset $$I$$ is called a two-sided ideal (or simply an ideal) of $$R$$ if it is an additive subgroup of R that "absorbs multiplication by elements of R". Formally we mean that $$I$$ is an ideal if it satisfies the following conditions:

Equivalently, an ideal of R is a sub-R-bimodule of R.
 * 1) $$(I,+)$$ is a subgroup of $$(R,+)$$
 * 2) $$\forall x \isin I, \forall r \isin R :\quad x \cdot r \isin I $$
 * 3) $$\forall x \isin I, \forall r \isin R : \quad r \cdot x \isin I.$$

A subset $$I$$ of $$R$$ is called a right ideal of $$R$$ if it is an additive subgroup of R and absorbs multiplication on the right, that is: Equivalently, a right ideal of $$R$$ is a right $$R$$-submodule of $$R$$.
 * 1) $$(I,+)$$ is a subgroup of $$(R,+)$$
 * 2) $$\forall x \isin I, \forall r \isin R: \quad x \cdot r \isin I.$$

Similarly a subset $$I$$ of $$R$$ is called a left ideal of $$R$$ if it is an additive subgroup of R absorbing multiplication on the left: Equivalently, a left ideal of $$R$$ is a left $$R$$-submodule of $$R$$.
 * 1) $$(I,+)$$ is a subgroup of $$(R, +)$$
 * 2) $$\forall x \isin I, \forall r \isin R: \quad r \cdot x \isin I.$$

In all cases, the first condition can be replaced by the following well-known criterion that ensures a nonempty subset of a group is a subgroup:


 * 1. $$I$$ is non-empty and $$\forall x,y \isin I: x - y \isin I$$.

The left ideals in R are exactly the right ideals in the opposite ring Ro and vice versa. A two-sided ideal is a left ideal that is also a right ideal, and is often called an ideal except to emphasize that there might exist single-sided ideals. When R is a commutative ring, the definitions of left, right, and two-sided ideal coincide, and the term ideal is used alone.

Definitie
Een ideaal is een deelverzameling van een ring die een deelgroep vormt voor de optelling, en die stabiel blijft onder linkse en rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring. Bij een commutatieve ring speelt het onderscheid tussen links en rechts uiteraard geen rol, anders onderscheidt men nog linksidealen en rechtsidealen, dat wil zeggen deelgroepen die stabiel zijn onder linkse resp. rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring. Men kan een niet-lege deelverzameling $$I$$ van een ring R karakteriseren als ideaal door de eigenschappen:
 * $$\forall i,j\in I: i-j\in I$$
 * $$\forall i\in I, \forall r\in R: i\cdot r\in I\land r\cdot i\in I$$

Geschiedenis
Het was Richard Dedekind, die in 1876 in de derde editie van zijn boek Vorlesungen über Zahlentheorie het begrip ideaal introduceerde. Idealen dienden als generalisatie van het door Ernst Kummer ontwikkelde begrip "ideaal getal". Later werd het begrip uitgebreid door David Hilbert en Emmy Noether.

Voorbeelden
Beschouw de commutatieve ring der gehele getallen met de gewone optelling en vermenigvuldiging. Voor elk natuurlijk getal n is de verzameling der gehele n-vouden een ideaal, want een n-voud maal een willekeurig getal is nog steeds een n-voud. Deze verzamelingen zijn ook meteen alle idealen van deze ring.

Een lichaam (in België: veld) heeft geen andere idealen dan zichzelf en {0}.

Algemener geldt dat in een ring (met eenheidselement), een ideaal dat verschillend is van de ring zelf, nooit een omkeerbaar element kan bevatten.

In de niet-commutatieve ring der reële n×n-matrices (algemener, de ring van n×n-matrices met coëfficiënten in gelijk welke commutatieve ring) vormen de matrices met determinant 0, een tweezijdig ideaal. Dit volgt uit het feit dat het product van de determinanten gelijk is aan de determinant van het matrixproduct.

Algemener is de kern van een homomorfisme van ringen steeds een ideaal.

In de ring der reële veeltermen in de veranderlijke X vormen de veeltermen die nul zijn in een gegeven verzameling $$N\subset\mathbb{R}$$, een ideaal. Dit ideaal is niet-triviaal als de verzameling N eindig en niet-leeg is.

Algemener, als V een verzameling is met een deelverzameling D, R een ring met een ideaal I, en F een ring die bestaat uit functies van V naar R met de gewone puntsgewijze optelling en vermenigvuldiging, dan vormen de elementen van F die de deelverzameling D volledig binnen I afbeelden, een ideaal in F:


 * $$\forall f,g\in F:f(D)\subset I\implies (f\cdot g)(D)\subset I$$

Factorials have many applications in number theory. In particular, n ! is necessarily divisible by all prime numbers up to and including n. As a consequence, n > 5 is a composite number if and only if
 * $$(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n.$$

A stronger result is Wilson's theorem, which states that
 * $$(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p$$

if and only if p is prime.

Adrien-Marie Legendre found that the multiplicity of the prime p occurring in the prime factorization of n ! can be expressed exactly as
 * $$\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor .$$

This fact is based on counting the number of factors p of the integers from 1 to n. The number of multiples of p in the numbers 1 to n are given by $$\textstyle \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$$; however, this formula counts those numbers with two factors of p only once. Hence another $$\textstyle \left \lfloor \frac{n}{p^2} \right \rfloor$$ factors of p must be counted too. Similarly for three, four, five factors, to infinity. The sum is finite since pi can only be less than or equal to n for finitely many values of i, and the floor function results in 0 when applied for pi > n.