User:I.hidekazu/アーベル圏

アーベル圏（アーベルけん、Abelian category）とは、ホモロジー代数を展開することができる圏である. 具体的には、正合（exact）かつ加法的（additive）な圏のことである. ソーンダース・マックレーンにより考案され 、Buchsbaum及びアレクサンドル・グロタンディークによってカルタン、アイレンバーグのホモロジー代数が展開可能な形に理論付けられた.

概要
アーベル圏（abelian category）はソーンダース・マックレーンのDuality for groups に始まる.

定義
圏 C が加法的（additive）かつ正合（exact）であるとき C をアーベル的（abelian）またはアーベル圏（abelian category）と呼ぶ.

なお、付加的に などの公理を追加することもある.
 * 任意の単射 u: A &rarr; B はある射 s: B &rarr; C の ker u となる.
 * 加法的（additive）


 * 正合（exact）


 * ゼロ対象（zero objects）
 * 始対象かつ終対象である圏の対象をゼロ対象（zero objects）と呼ぶ. 今後ゼロ対象をZで表すこととする.


 * ゼロ射（zero morphism）
 * 圏の任意の対象 A から B への射でゼロ対象 Z を経由する射（同値であるが、左ゼロ射 かつ右ゼロ射 である射）をゼロ射（zero morphism）と呼ぶ.
 * ゼロ系列（zero sequence）
 * 合成可能な射列 f : A → B 、g : B → C がゼロ系列（exact sequence）であるとは g・f = 0 が成り立つ射列を言う.


 * 正合系列（exact sequence）
 * 合成可能な射列 f : A → B 、g : B → C が正合系列（exact sequence）であるとは g・f = 0AC かつ
 * Im(f) $$\cong$$ Ker(g)
 * が成り立つことを言う.

加法圏の複積（biproduct in additive category）
圏の対象 A の部分対象からなる集団は半順序をなす が、A の任意の部分対象 ＜A1 ; α1＞, ＜A2 ; α2＞ について、その最小上界（または結び）＜A1;α1＞ &or; ＜A2;α2＞ が存在するとは限らない. しかしながら、圏が有限和（finite sum）を持てば、半順序を成す部分対象は結びを持つ. すなわち、結び半束をなす.
 * 半順序としての部分対象の最小上界（l.u.b.）または結び（join）

有限和（finite sum）と部分対象の結び（join）
A の部分対象として
 * ＜A1∐A2 ; α1∐α2＞ = ＜A1;α1＞ &or; ＜A2;α2＞

を満たす圏の対象 A1∐A2 と射 α1∐α2 が存在するとする. すなわち、圏の任意の対象についてその部分対象からなる半順序は結び半束になるものとする.

A の任意の部分対象 ＜A1 ; α1＞, ＜A2 ; α2＞ の結び（最小上界）である ＜A1∐A2 ; α1∐α2＞ はその定義から次の順序関係が常に成り立つ（すなわち、順序関係に対応するモニック射 li1 : A1 → A1∐A2 , li2 : A2 → A1∐A2 が存在し）以下を満たす
 * li1 : ＜A1 ; α1＞ ≦ ＜A1∐A2 ; α1∐α2＞ ,
 * li2 : ＜A2 ; α2＞ ≦ ＜A1∐A2 ; α1∐α2＞

なお、この A1∐A2 へのモニック射 li1, li2 を結び入射（join injection）と呼ぶこととする.

さらに、A の部分対象 ＜X ; ξ＞ 及びモニック射 γ1 : A1 → X 、γ2 : A2 → X が存在し、γ1 : ＜A1 ; α1＞ ≦ ＜X ; ξ＞ 及び γ2 : ＜A2 ; α2＞ ≦ ＜X ; ξ＞ を満たすならば、結び（最小上界）の定義からモニック射 ν : A1∐A2 → X が存在し
 * ν : ＜A1∐A2 ; α1∐α2＞ ≦ ＜X ; ξ＞

を満たす. ここで、上記の結び入射のもたらす順序関係との推移律から
 * ν・li1 : ＜A1 ; α1＞ ≦ ＜X ; ξ＞ ,
 * ν・li2 : ＜A2 ; α2＞ ≦ ＜X ; ξ＞

が成り立つが、順序関係に対して対応するモニック射は唯一つであることから
 * γ1 = ν・li1 ,
 * γ2 = ν・li2

が成り立つ. すなわち、A1∐A2 への結び入射 { liα }α &isin; {1,2} は A1, A2 からの任意のモニック射を一意的に分解する. この対象と射の組（A1∐A2, { liα }α &isin; {1,2} ）を束論的順序を持つ圏（lattice ordered categories; LC） の有限和（finite sum）または有限余積（finite coproduct）と呼ぶ.

圏が有限和または有限余積を持つならば、圏の部分対象からなる半順序は結び（最小上界）を持つ.

正合圏のエピ-モニック分解（epi-monic factorization in exact category）
圏がゼロ対象を持ち

を満たすとする.

定義：核、余核、像、余像

 * 核（kernel）:射 f : A → B の核（kernel）とは核対象 Ker(f) と核射 ker(f) : Ker(f) → A の組 ＜Ker(f) ; ker(f)＞ のことであり、以下の条件を満たすものである.
 * f・ker(f) = 0
 * f・u = 0 ならば、u = ker(f)・β を満たす射 β が唯一つ存在する


 * 余核（cokernel）:射 f : A → B の余核（cokernel）とは余核対象 Coker(f) と余核射 coker(f) : B → Coker(f) の組 ＜coker(f) | Coker(f)＞ のことであり、以下の条件を満たすものである.
 * coker(f)・f = 0
 * v・f = 0 ならば、v = α・coker(f) を満たす射 α が唯一つ存在する

任意の射について核と余核が存在する場合、核と余核から像と余像を定義することができる.
 * 像（image）:射 f : A → B の像（image）とは、f の余核射 coker(f) の核のことである. 像は組 ＜Im(f) ; im(f)＞ と表記し、像対象 Im(f) 、像射 im(f) : Im(f) → B は以下を満たす
 * Im(f) = Ker(coker(f))
 * im(f) = ker(coker(f))


 * 余像（coimage）:射 f : A → B の余像（coimage）とは、f の核射 ker(f) の余核のことである. 余像は組 ＜coim(f) | Coim(f)＞ と表記し、余像対象 Coim(f) 、余像射 coim(f) : A → Coim(f) は以下を満たす
 * Coim(f) = Coker(ker(f))
 * coim(f) = coker(ker(f))

射の像経由分解
核、余核、像、余像の定義から、
 * coker(f)・ker(coker(f)) = coker(f)・im(f) = 0
 * coker(f)・f = 0

以上から、
 * f = im(f)・γ を満たす射 γ が唯一つ存在する

このような、像を経由する射の一意的分解
 * f = im(f)・γ

を射 f の像経由分解（factors through the image of f）と呼ぶ.

射の余像経由分解
像経由分解同様に、核、余核、像、余像の定義から、
 * coker(ker(f))・ker(f) = coim(f)・ker(f) = 0
 * f・ker(f) = 0

以上から
 * f = δ・coim(f) を満たす射 δ が唯一つ存在する

このような、余像を経由する射の一意的分解
 * f = δ・coim(f)

を射 f の余像経由分解（factors through the coimage of f）と呼ぶ.

像経由分解と余像経由分解の同一視：エピ-モニック分解
ここで、

を仮定した場合、像経由分解と余像経由分解は同一視される.

エピ-モニック分解（epi-monic factorization）
 * 射 f : A → B に対して
 * f = im(f)・uf・coim(f)
 * という一意的分解 が常に可能である. このようなエピ射 coim(f)、モニック射 im(f) による射の一意的分解をエピ-モニック分解（epi-monic factorization）と呼ぶ.

射に対して一意的なエピ-モニック分解が可能であることから、射の列 f, g が正合（exact）であればそれは一意的であることが保証される.

アーベル圏の和・積と圏の普遍性のhom集合への反映
加法的かつ正合な圏、すなわちアーベル圏を A とする. アーベル圏は（アーベル圏の）有限和（余積）・積と呼ばれる性質を持つ.


 * 導出
 * アーベル圏は正合圏であるので、Y への有限射族 { fα : Dα → Y }α &isin; I の各射はエピ-モニック分解可能. すなわち、
 * fα = im(fα)・coim(fα) : Dα → Im(fα) → Y
 * と分解できる. ここで、Y の上方対象＜Im(fα) ; im(fα)＞ は im(fα) はモニックであることから部分対象.
 * さらにアーベル圏は加法圏であるので、束論的順序を持つ圏の有限和が存在する.
 * すなわち、Y への有限射族 { fα : Dα → Y }α &isin; I から導出される対象 Y の部分対象の集団 { ＜Im(fα) ; im(fα)＞ }α &isin; I に対してその束論的順序を持つ圏の有限和（ ∐αIm(fα), { liα : Im(fα) → ∐αIm(fα) } ）が存在する.
 * ここで、Y から ∐αIm(fα) への唯一つの射を f とし、各 α について
 * iα = liα・coim(fα)
 * と射 iα を定めれば、これは標準入射に他ならず、Y への有限射族 { fα : Dα → Y }α &isin; I の有限和（∐αIm(fα), { liα・coim(fα) : Dα → ∐αAα }α &isin; I）が存在する■

関連項目

 * ホモロジー代数
 * 図式スキーム
 * 束論


 * 圏論
 * 圏 (数学)
 * 関手
 * 導来圏

参考文献

 * 英訳：Some aspects of homological algebra
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 英訳：Some aspects of homological algebra
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 英訳：Some aspects of homological algebra
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 邦題：『圏論の基礎』
 * 邦題：『圏論の基礎』