User:JaakkoA

Ratkaisu Bayesin teoreemalla
Bayesin teoreema viittaa tapahtuman A ehdolliseen todennäköisyyteen, kun tapahtuma B on jo käynyt toteen. Se voidaan esittää Bayesin kaavalla muodossa $$P(A|B)$$, kun tapahtuman B todennäköisyys ei ole nolla:


 * $$P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)}.$$

Bayesin teoreemaa voidaan käyttää Monty Hallin ongelmaan. Määritellään ensin A, K ja J, ne voivat saada arvoja joukosta $$\{1,2,3\}$$.


 * A: oven numero, minkä takana on Auto,


 * K: oven numero, minkä Kilpailija valitsi, ja


 * J: oven numero, minkä Juontaja avasi.

Koska juontaja piilottaa auton sattumanvaraisesti, kaikki oven numerot $$\{1,2,3\}$$ ovat yhtä todennäköisiä autolle. Tapahtuman A todennäköisyys on siis


 * $$P(A=a)\, = \tfrac 13$$, kaikilla a:n arvoilla.

Koska kilpailijan oven valinta ei riipu auton sijainnista, tapahtumat A ja K ovat riippumattomia. Tästä seuraa, että
 * $$P(A=a|K=k)\,= P(A=a)$$, kaikilla a:n ja k:n arvoilla.

Juontajan toiminta riippuu siitä, mitkä arvot a ja k ovat saaneet:

 

Kilpailija voi käyttää Bayesin teoreemaa selvittääkseen todennäköisyyden löytää auto minkä oven takaa tahansa sen jälkeen, kun kilpailija on valinnut oven ja juontaja avannut toisen:


 * $$P(A=a|J=j, K=k)\,=\frac{P(J=j|A=a, K=k)P(A=a|K=k)}{P(J=j|K=k)}, $$

missä nimittäjä muodostetaan käyttämällä kokonaistodennäköisyyden kaavaa


 * $$P(J=j|K=k)\,= \sum_{c=1}^3 P(J=j,A=a|K=k) = \sum_{c=1}^3 P(J=j|A=a,K=k) P(A=a|K=k)$$.

Jos esimerkiksi kilpailija valitsee alunperin oven 1, ja juontaja avaa oven 3, todennäköisyys voittaa auto vaihtamalla oveen 2 on


 * $$P(A=2|J=3, K=1) = \frac{1\times\frac 13}{\frac 12 \times \frac 13 + 1\times\frac 13 + 0 \times \frac 13}=\tfrac 23.$$