User:Jacma/Sandbox

right|thumb|En ellips kan fås som skärningskurvan mellan ett [[plan (geometri)|plan och en kon]] En ellips är ett av de tre så kallade kägelsnitten. För ellipsen gäller att den minsta vinkeln mellan konens axel och planet ska vara trubbig, eller som minst rät. Som framgår ur bilden får man då en skärningskurva som är sluten och har formen av en tillplattad cirkel. Om vinkeln mellan plan och kon är rät får man en ellips som också är en cirkel.

Undersöker man vad definitionen har för geometriska konsekvenser finner man ett samband för kurvan i planet. Nämligen att om man har två fixa punkter F och F', kallade brännpunkter, gäller att för varje punkt på ellipsen kommer summan av avståndet till F, och avståndet till F' att vara konstant, för en viss ellips.

Man kan också Uttrycka ellipsen på algebraisk form i det Cartesiska talplanet och man finner då att den uppfyller relationen


 * $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Konstruktion
right|thumb En approximation till en ellips kan ritas med hjälp av två spikar, en tråd och en penna. Spikarna placeras där man vill ha ellipsens brännpunkter. Tråden binds fast i spikarna. Den fria trådens längd ska vara lika med den önskade summan av avståndet från ellipsen till brännpunkterna. Pennan placeras så att den sträcker tråden. Pennan förs åt sidan i de riktningar för vilka trådens sträckta tillstånd bibehålls. På detta sätt kan halva ellipsen ritas. För att rita den andra halvan flyttar man pennan till andra sidan av tråden, sträcker ut tråden åt andra hållet och upprepar ritandet enligt ovan.

Egenskaper
thumb|Ellips. F1 och F2 är brännpunkterna. Ellipsen definieras som orten av de punkter vars sammanlagda avstånd till brännpunkterna (F1 och F2 i diagrammet) är konstant, dvs. summan av sträckorna F1 - X och X - F2 = konstant. Denna konstant är detsamma som längden av ellipsens längre axel (AB) i diagrammet. Ofta används halva detta avstånd, den s.k. halva storaxeln, i matematiska och fysikaliska sammanhang. I astronomin betecknas halva storaxeln med bokstaven a, som i diagrammet. Lillaxeln ligger korsar vinkelrätt storaxelns mitt: halva lilla axeln betecknas b i diagrammet.

Ekvationer

 * $$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$$

där a och b > 0 (när a=b=1 är detta ekvationen för en cirkel). När ellipsen har medelpunkt i origo (h=k=0) så skär den x-axeln i punkterna (±a, 0)och y-axeln i (0, ±b).

På parameterform kan ellipsen beskrivas av
 * $$x=h+a\,\cos t;\,\!$$
 * $$y=k+b\,\sin t;\,\!$$

där $$t$$ varierar inom intervallet $$-\pi\leq t\leq\pi$$.

Area och omkrets
Arean av en ellips är &#960;ab där a och b är halva längden av ellipsens storaxel respektive lillaxel.

Omkretsen av en ellips kan inte uttyckas med elementära funktioner då a och b är olika utan ges av en s.k. eliptisk integral. Uttryckt som en oändlig potensserie kan omkretsen uttryckas som


 * $$C = 4 a E(\varepsilon) = 2\pi a \left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{\varepsilon^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{\varepsilon^4}{3}

- \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \cdots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{\varepsilon^{2n}}{2 n-1} - \cdots \right\}\!$$

En god approximation är Ramanujans:


 * $$C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,$$

Och en ännu bättre approximation:
 * $$C\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right)\!\,$$

Ellipsen i astronomin
Det var ett viktigt steg för människans föreställningar om universum när Johannes Kepler under det tidiga 1600-talet visade att planeternas banor kring solen är ellipser, med en av brännpunkten i solen. Keplers lagar var en stor förbättring jämfört med Ptolemaeus excentriska cirklar och epicyklar.

Se även

 * Superellips
 * Kägelsnitt
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Ellips قطع ناقص Elipse Эліпс Елипса Elipsa El·lipse Elipsa Ellipse (geometri) Ellipse Ellips (geomeetria) Έλλειψη Elipse Elipso (matematiko) fa:بیضی Ellipse (mathématiques) Elipse (lingua) 타원 दीर्घवृत्त Elipsa Elips Ellipse Sporbaugur Ellisse אליפסה ელიფსი Elipse Elipsė Ellipszis (görbe) लंबवर्तुळ Ellips (wiskunde) 楕円 Ellipse Ellipse អេលីប Elipsa Elipse Elipsă Lump'u Эллипс Ellissi Ellipse Elipsa Elipsa Елипса Elipsa Ellipsi நீள்வட்டம் Elips Еліпс بیضہ Elíp 橢圓 椭圆