User:JeffJohner/sandbox

Em análise numérica, o Método da Direção implícita alternada (DIA) é um Método de diferenças finitas para resolver equações diferenciais parciais parabólicas, hiperbólicas e elípticas. É mais notavelmente usado para resolver o problema da condução de calor ou para resolver a equação de difusão em duas ou mais dimensões.

O método tradicional para resolver a equação do calor numericamente é o Método de Crank–Nicolson. Esse método resulta em um conjunto de equações muito complicadas em múltiplas dimensões, difíceis de resolver. A vantagem do método DIA é que as equações que devem ser resolvidas em cada passo tem uma estrutura mais simples e podem ser resolvidas eficientemente com um algoritmo de matriz tridiagonal.

O método
Considere a equação da difusão linear em duas dimensões,


 * $${\partial u\over \partial t} =

\left({\partial^2 u\over \partial x^2 } + {\partial^2 u\over \partial y^2 } \right) = ( u_{xx} + u_{yy} ) = \Delta u $$

O método de Crank-Nicolson implícito produz a seguinte equação de diferenças finitas:


 * $${u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^n\over \Delta t} =

{1 \over 2}\left(\delta_x^2+\delta_y^2\right) \left(u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^n\right)$$

onde $$\delta_p$$ é o operador de diferenças central para a coordenada p. Depois de realizada uma análise de estabilidade, pode ser mostrado que esse método será estável para qualquer $$\Delta t$$.

Uma desvantagem do método de Crank-Nicolson é que a matriz na equação acima é uma matriz de banda com uma largura que é geralmente bem grande. Isso torna a solução direta do sistema de equações lineares bastante trabalhosa (embora soluções aproximadas eficientes existam).

A ideia do método ADI é dividir a equação de diferenças finitas em duas, uma com a derivada parcial em 'x' tomada implicitamente e a outra com a derivada parcial implícita em y tomada implicitamente.


 * $${u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^n\over \Delta t/2} =

\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n}\right)$$


 * $${u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2}\over \Delta t/2} =

\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n+1}\right).$$

O sistema de equações envolvido é simétrico e tridiagonal e é tipicamente resolvido usando um algoritmo de matriz tridiagonal.

Pode ser mostrado que esse método é incondicionalmente estável e de segunda ordem no tempo e espaço. Existem métodos ADI mais refinados assim como o método de Douglas, ou o método do fator f o qual pode ser usado para três ou mais dimensões.

Referências
Category:Partial differential equations Category:Numerical differential equations