User:Joakmi/sandbox


 * Några exempel på polynom:
 * $$\ f(x) = 2x^2 + 3x + 1 $$
 * $$\ g(x) = 3x^3 + 2 $$


 * För mängder gäller $$ A \subset B \Rightarrow A \subseteq B $$, men det är självklart sant att $$ A \subset B \not\Leftarrow A \subseteq B $$.


 * En annan sanning är att $$ 0\le\alpha<3$$ gör att $$ \alpha \in \{x \in \R : x \ge 0\}$$.


 * Man kan enkelt beräkna primitiven till f som
 * $$ \int f(x)dx = \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C $$


 * För vilka x är f(x)=0? Lös
 * $$ x^2 + \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$$
 * En såhär enkel andragrads andragradsekvation kan lösas med pq-formeln och vi får
 * $$x= - \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16} - \frac{1}{2}} = -\frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16}} = - \frac{3}{4} \pm \frac{1}{4}$$
 * eller
 * $$x_{1} = -1,\ \ \ x_{2} -\frac{1}{2}$$


 * Eulerserien $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{k^2}$$ kan summeras och man får
 * $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$


 * Gränsvärden kan skrivas som
 * $$ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$$


 * Ett medelvärde:
 * $$ a_{0}=\frac{2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(t-\pi)^2dt = \frac{1}{\pi}\left[\frac{(t-\pi)^3}{3}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{2\pi^2}{3}$$


 * Lite vektorer och matriser:
 * $$\hat x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$
 * och
 * $$A = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}$$
 * ger
 * $$ A \hat x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$.
 * Man kan se att As egenvärden och egenvektorer är
 * $$ \left\{ \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}\right\},\ rest.\ \left\{\begin{pmatrix}\frac{\frac{1\pm\sqrt(5)}{2}}{\pm1}\end{pmatrix}\right\}$$.
 * Ett av egenvärdena är det Gyllende Snittet.


 * En Fourierintegral:
 * $$ a_{n}=\frac{2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(t-\pi)^2\cos(nt)dt$$
 * $$=\frac{1}{\pi}\left[(t-\pi)^2\frac{\sin(nt)}{n}\right]_{0}^{2\pi} - \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}2(t-\pi)\frac{\sin(nt)}{n}dt $$
 * $$=-\frac{1}{\pi} \left[2(t-\pi)\frac{-\cos(nt)}{n^2}\right]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}2\frac{-\cos(nt)}{n^2}dt$$
 * $$=-\frac{1}{\pi} \left( 2(2\pi-\pi)\frac{-\cos(n2\pi)}{n^2} - 2(-\pi}\frac{-\cos(0)}{n^2} \right) $$