User:Kavanegasm/sandbox

En la Teoría de Grupos, se dice que dos grupos son isomórficos si existe un homomorfismo de grupos biyectivo. Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomórfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos.

Un isomorfismo entre dos grupos G1 y G2 significa (informalmente) que G1 y G2 están en el mismo grupo, escrito de dos maneras diferentes.

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Definición
Un Homorfismo de grupo Φ :$$G\longrightarrow \bar G $$se dice Isomorfo si y sólo si si Φ es una biyección

En tal situación diremos que los grupos $$G $$y  $$\bar G $$son isomorfos y lo denotamos por

$$G\cong\bar G $$

Teorema fundamental
{teorema|Sean $$f:G\longrightarrow H$$ un homomorfismo de grupos y $$N$$ un subgrupo normal de $$G$$ contenido en el núcleo de $$f$$, entonces existe un único homomorfismo $$\bar f$$ tal que $$\bar f\circ\varphi=f$$, en donde $$\varphi:G\longrightarrow G/N$$ es la proyección canónica y $$G/N$$ es un grupo cociente. }

Teoremas de isomorfismo
{teorema|Sea $$f:G\longrightarrow H$$ un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo $$\bar f:G/(\ker f)\longrightarrow\mathrm{im}\ f$$, y por tanto $$G/(\ker f)\cong\mathrm{im}\ f.$$}
 * El primera teorema es un caso particular del teorema fundamental:

{teorema|Si $$N$$ y $$H$$ son subgrupos de un grupo $$G$$, con $$N$$ normal en $$G$$, entonces $$NH$$ es un subgrupo de $$G$$, $$H \cap N$$ es normal en $$G$$ y $$H/(H \cap N)\cong (HN)/N.$$}
 * Segundo teorema:

{teorema|Si $$N$$ y $$H$$ son subgrupos normales de un grupo $$G$$, con $$N\subseteq H$$, entonces $$G/H\cong (G/N)/(H/N).$$}
 * Tercer teorema:

Enlaces externos

 * 1) Estructuras Algebraicas. Francisco Rivero. Universidad de Los Andes.