User:Kjs/Wikipedysta:Kjs/Teoria Nielsena

Teoria Nielsena jest działem topologicznej teorii punktów stałych. Jej podstawowe idee zostały opracowane przez duńskiego matematyka Jakoba Nielsena w latach dwudziestych XX wieku. Głównym jej zadaniem jest badanie minimalnej liczby punktów stałych odwzorowania $$f: X\rightarrow X$$ zwartej przestrzeni w siebie:
 * $$\mathit{MF}[f] = \min \{ \# \mathrm{Fix}(g) \, | \, g \sim f \}.$$

Symbol ~ oznacza homotopię odwzorowań, zaś $$\#\textrm{Fix}(g)$$ oznacza liczbę punktów stałych odwzorowania $$g$$. Liczba $$\mathit{MF}[f]$$ była bardzo trudna do obliczenia w czasach Nielsena i taką pozostała do dziś. Głównym pomysłem Nielsena jest pogrupowanie zbioru punktów stałych na klasy, które są nazwane ”istotne” lub nieistotne” w zależności od tego, czy można je ”usunąć” za pomocą homotopii.

Oryginalne sformułowanie Nielsena jest równoważne następującemu: Relację równoważności definiujemy na zbiorze punktów stałych odwzorowania f na przestrzeni X.

Mówimy że punkty x oraz y są w relacji Nielsena, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje droga $$\omega$$ je łącząca taka, że drogi $$\omega$$ i $$f\omega$$ są homotopijne. Klasy równoważności tej relacji nazywane są klasami Nielsena odwzorowania f, a liczba ''klas istotnych'', tzn. klas mających niezerowy indeks punktu stałego, nazywa się liczbą Nielsena i jest oznaczana $$\textit{N}(f)$$

Nielsen udowodnił że


 * $$N(f) \le \mathit{MF}[f],$$

czyniąc jego niezmiennik dobrym narzędziem do szacowania znacznie trudniejszego MF [ f ]. Prowadzi to natychmiast do tak zwanego twierdzenia Nielsena o punkcie stałym: każda mapa f ma co najmniej N(f) punktów stałych.

Liczba Nielsena, ze względu na jej definicję w kategoriach indeksu stałoprzecinkowego, jest ściśle powiązana z liczbą Lefschetza. Rzeczywiście, wkrótce po początkowej pracy Nielsena, Wecken i Reidemeister połączyli te dwa niezmienniki w jedną „uogólnioną liczbę Lefschetza” (ostatnio zwaną śladem Reidemeistera ).