User:Lorenallapashtica/sandbox

Teoria e Probabilitetit është dega e matematikes që merret me probabilite. Edhe pse ka disa interpretime të ndryshme të probabilitetit, teoria e probabilitetit trajton ne menyre matematikore dhe duke e shprehur ate permes aksiomave. Tipikisht keto aksioma formalizojne probabilitetin ne termat e nje hapsire probabiliteti, e cila cakton nje mase qe merr vlera midis o dhe 1, te quajtur probability measure, per nje grup rezultatesh te quajtura  hapsira e mostres. Cdo nenbashkesi e mostres quhet ngjarje.

Si nje bazë matematikore për statistikat, teoria e probabilitetit është esenciale për shumë aktivitete njerëzore që për fshinë analizën sasiore të të dhënave. Metodat e teorise se probabilitetit zbatohen gjithashtu per pershkrimet e sistemeve komplekse duke pasur njohuri të pjesshme te gjendjes se tyre si ne mekaniken statistikore ose vlersimin vijues. Një zbulim i shek. të njezet ne fizike ishte natyra e probabilitetit te fenomeneve fizike ne shkalle atomike, e pershkruar ne mekaniken kuantike.

Përkufizimi klasik
Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është herësi i numrit të ngjarjeve të favorshme dhe numrit të përgjithshëm të paraqitjeve të asaj ngjarje me supozim se të gjitha ngjarjet e mundshme kanë gjasë të njëjtë të paraqitjes në fushën elementare të ngjarjeve.

Për shembull ngjarja "Paraqitja e një numri çift pikash gjatë hedhjes së kubit", probabiliteti i kësaj ngjarje është dhënë me $$\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}$$, sepse vetëm tre nga gjashtë faqet e kubit kanë numër çift pikash.

Le të jetë dhënë bashkësia të cilën e quajmë Fushë elementare e ngjarjeve, e cila i përmban të gjitha ngjarjet e mundshëm gjatë realizimit të një eksperimenti, këtë bashkësi e shënojmë me $$\Omega=\left \{ x_1,x_2,\dots\right \}$$. Supozojmë se çdo element nga $$x \in \Omega\,$$, ka një ,,probabilitet,, të caktuar të paraqitjes $$f(x)\,$$ dhe i plotëson vetitë :


 * 1) $$f(x)\in[0,1]\mbox{ per të gjitha }x\in \Omega\,;$$
 * 2) $$\sum_{x\in \Omega} f(x) = 1\,.$$

funksioni i probabilitetit f(x) është një numër real i cili ndodhet ndërmjet 0 dhe 1 për vlera të x nga Ω, dhe shuma e të gjitha f(x) për të gjitha x nga Ω është e barabartë me 1. Ngjarje e rastësishme quhet çdo nën bashkësi $$E\,$$ nga $$\Omega\,$$.

Probabiliteti i ngjarjes $$E\,$$ është numri

$$P(E)=\sum_{x\in E} f(x)\,.$$

Probabiliteti i ngjarjes së sigurte është 1, dhe probabiliteti i ngjarjes se pamundshme është 0.

Zbatime të eksperimenteve të thjeshta të probabilitetit
Përbërësi themelor i teorisë së probabilitetit është një eksperiment që mund të përsëritet, të paktën hipotetikisht, në kushte thelbësisht identike dhe që mund të çojë në rezultate të ndryshme në prova të ndryshme. Një shembull është të vizatoni n topa nga një urnë që përmban topa me ngjyra të ndryshme. Një rezultat i përgjithshëm i këtij eksperimenti është një n-tuple, ku hyrja i-të specifikon ngjyrën e topit të marrë në barazimin e i-të (i = 1, 2,…, n). Pavarësisht nga thjeshtësia e këtij eksperimenti, një kuptim i plotë jep bazën teorike për [| sondazhet e opinionit] dhe sondazhet e mostrës. Për shembull, individët në një popullatë që favorizojnë një kandidat të caktuar në një zgjedhje mund të identifikohen me topa të një ngjyre të caktuar, ata që favorizojnë një kandidat të ndryshëm mund të identifikohen me një ngjyrë të ndryshme, e kështu me radhë. Teoria e probabilitetit ofron bazën për të mësuar rreth përmbajtjes së urnës nga mostra e topave të nxjerrë nga urna; një aplikim është për të mësuar rreth preferencave elektorale të një popullsie në bazë të një kampioni të nxjerrë nga ajo popullsi.

Llojet e probabilitetit
Probabiliteti është dega e matematikës në lidhje me ndodhjen e një ngjarjeje të rastësishme dhe ekzistojnë katër lloje kryesore të probabilitetit: klasike, empirike, subjektive dhe aksiomatike. Probabiliteti është sinonim i mundësisë, kështu që mund të thuash se është mundësia që një ngjarje e caktuar të ndodhë.

Pse është i rëndësishëm probabiliteti?
Ju përdorni ose shihni probabilitetin përreth jush çdo ditë. Edhe nëse nuk e kuptoni, përdorni probabilitetin çdo ditë për të marrë vendime për gjëra me një rezultat të panjohur. Ju mund të kryeni pa e ditur llogaritjet matematikore me probabilitet teorik ose eksperimental, ose mund të bëni thirrje gjykimi me probabilitet subjektiv. Këtu janë disa shembuj të jetës reale se si mund të përdorni ose shihni probabilitetin çdo ditë:

Sportive

Trajnerët dhe atletët përdorin shpesh probabilitetin për të gjetur strategjitë më të mira sportive për garat dhe lojërat. Për shembull, nëse një sulmues futbolli shënon 10 nga 15 gola në fushë gjatë gjithë sezonit, probabiliteti që ai të shënojë golin e ardhshëm në fushë është 10/15 ose 2/3. Një shembull tjetër është një trajner bejsbolli që llogarit mesataren e goditjes së një lojtari për të përcaktuar formacionin për një lojë. Nëse një lojtar ka një mesatare 300 betejash, kjo do të thotë se ai ka marrë tre goditje nga çdo 10 shkop, dhe probabiliteti që ai të marrë një goditje bazë është 3/10.

Sigurimi

Kur analizohen kontratat e sigurimit dhe merren parasysh shumat e zbritshme, probabiliteti luan një rol të rëndësishëm. Për shembull, nëse 20 nga çdo 100 shoferë në zonën tuaj kanë pësuar dëme nga breshri vitin e fundit, atëherë kur zgjidhni politikën tuaj të sigurimit të makinës, mund të përdorni probabilitetin për të kuptuar se ka një shans 1/5 që makina juaj të dëmtohet nga breshri. Ky probabilitet i rëndësishëm mund t'ju inkurajojë të merrni mbulim të plotë për dëmet nga breshri dhe ndoshta edhe një zbritje më të ulët.

Kushtet e probabilitetit
Këtu janë disa terma të rëndësishëm probabiliteti që mund t'ju ndihmojnë:

Hapësira e mostrës
Hapësira e mostrës është grupi i rezultateve të mundshme që mund të ndodhin në një provë. Për shembull, kur hedh një monedhë, grupi i rezultateve të mundshme është {koka, bishtat}. Ose gjatë rrotullimit të një koke të vetme, grupi i rezultateve të mundshme është {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Pika e mostrës
Një pikë e mostrës është një nga rezultatet e mundshme në një hapësirë ​​mostre. Për shembull, kur përdorni një kuvertë letrash, një pikë shembullore do të ishte asi i lopëve ose mbretëresha e zemrave.

Eksperiment ose provë
Një eksperiment ose provë është kur rezultatet janë gjithmonë të pasigurta në një seri veprimesh. Për shembull, zgjedhja e një karte nga një kuvertë, hedhja e një monedhe ose rrotullimi i një peshoreje.

Ngjarja
Një ngjarje është një rezultat i vetëm si rezultat i një gjurme ose eksperimenti. Për shembull, marrja e një treshe kur rrotullon një kuvertë, ose marrja e tetë klubeve kur zgjedh një kartë nga një kuvertë.

Rezultati
Një rezultat është rezultati i mundshëm që mund të merrni nga kryerja e një prove ose eksperimenti. Për shembull, mund të merrni koka kur hidhni një monedhë.

Ngjarje komplimentuese
Një ngjarje kompliment është një ngjarje që nuk ndodh. Ju e shkruani këtë si, "Komplimenti i një ngjarjeje X është ngjarja jo X." Ju nuk shkruani X si X'. Për shembull, me një kuvertë të rregullt letrash, nëse ngjarja X është duke tërhequr një diamant, atëherë ngjarja X' nuk është duke tërhequr një diamant.

Ngjarje e pamundur
Një ngjarje e pamundur është një ngjarje që nuk do të ndodhë dhe nuk mund të ndodhë. Për shembull, nuk mund të hedhësh një monedhë dhe të marrësh të dy bishtat dhe kokat në të njëjtën kohë. Kur rrotulloni një kapelë, nuk mund të merrni një numër më të madh se gjashtë.