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Em 1929, o físico Oskar Klein obteve um resultado surpreendente através da aplicação da equação de Dirac para o problema familiar de espalhamento de elétrons por uma barreira de potecial. Na mecânica quântica não-relativística, o tunelamento de elétrons em uma barreira é observado, com amortecimento exponencial. No entanto, o resultado de Klein mostrou que, se o potencial é da ordem da massa do elétron, $$V\sim mc^2$$, a barreira é quase transparente. Além disso, conforme o potencial se aproxima do infinito, a reflexão diminui e o elétron é sempre transmitido.

A aplicação imediata do paradoxo foi o modelo próton-elétron de Rutherford para partículas neutras dentro do núcleo, antes da descoberta do nêutron. O paradoxo apresentou uma objeção quântica com a noção de um elétron confinado dentro de um núcleo. Este paradoxo claro e preciso sugeriu que um elétron não pode ser confinado dentro de um núcleo por qualquer poço de potencial. O significado desse paradoxo foi intensamente debatida na ocasião.

Partículas sem massa
Considere uma partícula sem massa relativistica se aproximando de um potencial degrau de altura $$ V_0 $$ com energia $$ E_00 \end{cases}$$

E $$ \sigma_x $$ é a matriz de Pauli:
 * $$ \sigma_x = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) $$



Assumindo que a partícula está se propagando a partir da esquerda, obtemos duas soluções — um antes do degrau, na região (1) e um abaixo do potencial, na região (2):
 * $$\psi_1=Ae^{ipx}\left( \begin{matrix} 1 \\ 1\end{matrix} \right)+A'e^{-ipx}\left( \begin{matrix} -1 \\ 1\end{matrix} \right) ,\quad p=E_0 \,$$
 * $$\psi_2=Be^{ikx}\left( \begin{matrix} 1 \\ 1\end{matrix} \right) ,\quad \left|k\right|=V_0-E_0 \,$$

Onde os coeficientes $A$, $A′$ e $B$ são números complexos. Ambas as funções de onda incidente e transmitida estão associados com velocidade de grupo positiva (Linhas azuis na Fig.1), enquanto que a função de onda refletida é associado com velocidade de grupo negativa. (Linhas verdes na Fig.1)

Agora queremos calcular os coeficientes de transmissão e reflexão, $$ T, R. $$ Eles são derivados da correntes de amplitude de probabilidade.

A definição da corrente de probabilidade associada com a equação de Dirac é:
 * $$J_i=\psi_i^\dagger \sigma_x \psi_i,\ i=1,2 \,$$

Nesse caso:


 * $$J_1=2\left[\left| A \right|^2-\left| A' \right|^2\right], \quad J_2=2\left| B \right|^2 \,$$

Os coeficientes de transmissão e reflexão são:


 * $$R=\frac {\left|A'\right|^2} {\left|A\right|^2}, \quad T=\frac {\left|B\right|^2} {\left|A\right|^2} \,$$

A continuidade da função de onda em $$ x=0 $$, nos fornece:


 * $$\left|A\right|^2=\left|B\right|^2 \,$$
 * $$\left|A'\right|^2=0 \,$$

E assim, o coeficiente de transmissão é 1 e não há reflexão.

Uma interpretação do paradoxo é de que um potencial degrau não pode inverter a direção da velocidade de grupo de uma partícula relativística sem massa. Esta explicação se adéqua melhor a solução de partícula única citada acima. Interpretações mais complexas são sugeridas na literatura, no contexto da teoria quântica de campos onde é mostrado que o tunelamento desenfreado ocorre devido à existência de pares de partículas-antipartícula no potencial.

Caso massivo
Para o caso massivo, os cálculos são semelhantes ao descrito acima. Os resultados são tão surpreendente como no caso sem massa. O coeficiente de transmissão é sempre maior do que zero, e se aproxima de 1 conforme o potencial degrau tende a infinito.

A zona Klein
Se a energia da partícula está na faixa $$+m < E < V - m$$, então resultará em uma reflexo parcial ao invés de reflexão total.

Resoluções para o caso massivo
Enquanto a resolução tradicional utiliza produção de pares partícula / antipartícula no contexto da teoria quântica de campos (Hansen 1981), existe uma resolução mais simples que substitui a produção de pares físicos por um espalhamento de soluções de energia negativa sob a barreira (Alhaidari 2009). Esta estratégia foi também aplicada para obter soluções analíticas para a equação de Dirac para um poço quadrado infinito.

Outros casos
Estes resultados foram expandidos para dimensões maiores, e para outros tipos de potenciais, tais como um degrau linear, uma barreira quadrada, etc. Muitas experiências em transporte de elétrons no grafeno apoiam-se no paradoxo Klein para partículas sem massa.

Leituras adicionais


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