User:Mat*1001/sandbox

I filtri QFM (Quadrature Mirror Filter in inglese) furono introdotti da Croisier, Esteban e Galand nel 1976 e consentono di suddividere un segnale in due segnali sottocampionati che possono essere poi ricostruiti senza aliasing, anche qualora vengano utilizzati filtri non ideali.

Definizione
Consideriamo il seguente schema a blocchi

dove i due filtri $$H_0$$ e $$H_1$$ (rispettivamente un filtro passa basso ed un filtro passa alto) suddividono il segnale, mentre $$G_0$$ e $$G_1$$ operano la ricostruzione.

La condizione necessaria e sufficiente per la cancellazione dell'aliasing è:
 * $$G_0(z) H_0(-z) + G_1(z) H_1(-z) = 0.$$

Una soluzione a tale problema è data dalla configurazione di filtri in quadratura a specchio (QMF), che si ottiene imponendo i seguenti vincoli sui filtri d'analisi :


 * $$H_1(z) = H_0(-z).$$
 * $$G_0(z) = H_0(z).$$
 * $$G_1(z) = -H_1(z) = -H_0(-z).$$

Il primo vincolo stabilisce una simmetria tra $$H_0$$ e $$H_1$$, determinando la denominazione di filtri a specchio. Sostituendo i vincoli soprastanti nella precedente condizione si ottiene:
 * $$H_0(z) H_0(-z) - H_0(-z) H_0(z) = 0.$$

Ciò conferma che l'aliasing è annullato per filtri QMF. Per poter ottenere una ricostruzione perfetta, la seguente condizione dev'essere soddisfatta:
 * $$G_0(z) H_0(z) + G_1(z) H_1(z) = 2z^{-l}.$$

Visti i vincoli imposti, per i filtri QMF la condizione è:
 * $${H_0}^2(z) - {H_0}^2(-z) = 2z^{-l}.$$

A questo punto siamo in grado di ricavare tutti e quattro i filtri tramite $$H_0(z).$$ Se ci limitiamo a considerare filtri FIR (Finite Impulse Response) la precedente equazione può esser soddisfatta in modo esatto esclusivamente da filtri della forma:
 * $$H_0(z) = c_0 z^{-2n_0} + c_1 z^{-(2n_1+1)}$$
 * $$H_1(z) = c_0 z^{-2n_0} - c_1 z^{-(2n_1+1)}$$

dove $$c_0$$ e $$c_1$$ son costanti e $$n_0$$ e $$n_1$$ sono interi. Un esempio di filtri QMF sono i filtri Haar della forma:
 * $$H_0(z) = 1 + z^{-1}.$$
 * $$H_1(z) = 1 - z^{-1}.$$

In tal caso $$c_0 = c_1 = 1$$ e $$n_0 = n_1 = 0.$$ Maggiori informazioni sulla progettazione di filtri QMF sono reperibili in Simoncelli et al..

Voci correlate

 * Wavelet
 * ATRAC
 * Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

 * Julius O. Smith III - Spectral Audio Signal Processing - QMF. Data ultimo accesso: 28/04/2012

Riferimenti
Kvadraturně zrcadlový filtr Filtro espejo en cuadratura 直交ミラーフィルタ Quadrature mirror filter