User:Micael3331/sandbox

Este artigo é sobre a constante matemática. Para a letra grega, veja Pi (carta). Para outros usos, veja Pi (desambiguação). Parte de uma série de artigos sobre o constante matemática π Pi-desenrolado-720.gif 3,14159 26535 89793 23846 26433 ... Usos Área de um círculo Circunferência Use em outras fórmulas Propriedades Irracionalidade Transcendência Valor Menos do que 22/7 Aproximações Memorização Pessoas Arquimedes Liu Hui Zu Chongzhi Aryabhata Madhava Ludolph van Ceulen Seki Takakazu Takebe Kenko William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John Wrench Irmãos Chudnovsky Yasumasa Kanada História Cronologia Livro Na cultura Legislação Dia do pi tópicos relacionados Quadrando o círculo Problema de Basileia Seis noves em π Outros tópicos relacionados com π vte O número π ( / p aɪ / ) é uma constante matemática. Originalmente definida como a proporção de um círculo de circunferência ao seu diâmetro, que agora tem várias definições equivalentes e aparece em muitas fórmulas em todas as áreas da matemática e física. É aproximadamente igual a 3,14159. Ele foi representado pela letra grega " π " desde meados do século XVIII, embora também seja algumas vezes escrito como " pi ". É também chamado de constante de Arquimedes.

Sendo um número irracional, π não pode ser expresso como uma fração comum (equivalentemente, sua representação decimal nunca termina e nunca se estabelece em um padrão de repetição permanente ). Ainda assim, frações como 22/7 e outros números racionais são comumente usados ​​para aproximar π. Os dígitos parecem ser distribuídos aleatoriamente. Em particular, a seqüência de dígitos de π é conjecturada para satisfazer um tipo específico de aleatoriedade estatística, mas até o momento, nenhuma prova disso foi descoberta. Além disso, π é um número transcendental ; isto é, não é oraiz de qualquer polinômio com coeficientes racionais. Essa transcendência de π implica que é impossível resolver o antigo desafio de enquadrar o círculo com uma bússola e uma régua.

Civilizações antigas exigiam valores computacionais razoavelmente precisos para aproximar π por razões práticas, incluindo os egípcios e babilônios. Por volta de 250 aC, o matemático grego Archimedes criou um algoritmo para calculá-lo. No século 5 dC, a matemática chinesa aproximava π a sete dígitos, enquanto a matemática indiana fazia uma aproximação de cinco dígitos, ambos usando técnicas geométricas. A fórmula historicamente exata para π, baseada em séries infinitas , não estava disponível até um milênio depois, quando no século 14 a série Madhava-Leibnizfoi descoberto na matemática indiana. [1] [2] Nos séculos XX e XXI, matemáticos e cientistas da computação descobriram novas abordagens que, quando combinadas com o aumento do poder computacional, estenderam a representação decimal de π para muitos trilhões de dígitos após o ponto decimal. [3] Praticamente todas as aplicações científicas requerem não mais do que algumas centenas de dígitos de π, e muitas substancialmente menos, então a principal motivação para esses cálculos é a busca por algoritmos mais eficientes para calcular longas séries numéricas, bem como o desejo de quebrar registros. [4] [5] Os extensos cálculos envolvidos também foram usados ​​para testarsupercomputadores e algoritmos de multiplicação de alta precisão.

Como sua definição mais elementar se refere ao círculo, π é encontrado em muitas fórmulas em trigonometria e geometria, especialmente aquelas referentes a círculos, elipses e esferas. Em uma análise matemática mais moderna, o número é definido usando as propriedades espectrais do sistema numérico real , como um autovalor ou um período , sem qualquer referência à geometria. Parece, portanto, em áreas da matemática e das ciências ter pouco a ver com a geometria dos círculos, como a teoria dos números e a estatística, bem como em quase todas as áreas da física. A onipresença deπ faz dela uma das constantes matemáticas mais conhecidas dentro e fora da comunidade científica. Vários livros dedicados a π foram publicados, e cálculos recordes dos dígitos de π freqüentemente resultam em manchetes de notícias. Tentativas de memorizar o valor de π com precisão crescente levaram a registros de mais de 70.000 dígitos.

Conteúdo 1	fundamentos 1.1	Nome 1.2	Definição 1.3	Irracionalidade e normalidade 1.4	Transcendência 1.5	Frações Continuadas 1.6	Valor aproximado e dígitos 1.7	Números complexos e identidade de Euler 2	História 2.1	Antiguidade 2.2	era da aproximação do polígono 2.3	séries infinitas 2.4	Irracionalidade e transcendência 2.5	Adoção do símbolo π 3	Busca moderna por mais dígitos 3.1	Era computacional e algoritmos iterativos 3.2	Motivos para o cálculo de π 3.3	Série Rapidamente Convergente 3.4	Métodos de Monte Carlo 3.5	Algoritmos de Spigot 4	Papel e caracterizações em matemática 4.1	Geometria e trigonometria 4.2	Autovalores 4.3	Desigualdades 4.4	Transformada de Fourier e princípio da incerteza de Heisenberg 4,5	integrais gaussianas 4.6	Geometria projetiva 4.7	Topologia 4,8	Cálculo vetorial 4,9	fórmula integral de Cauchy 4.10	A função gama e a aproximação de Stirling 4.11	Teoria dos números e função zeta de Riemann 4.12	Série de Fourier 4.13	Formas modulares e funções theta 4.14	Teoria da distribuição e potencial de Cauchy 4.15	Dinâmica complexa 5	Matemática exterior 5.1	Descrevendo Fenômenos Físicos 5.2	Memorizando dígitos 5.3	Na cultura popular 5.4	Na cultura de computadores 6	notas 7	Leitura adicional 8	ligações externas Fundamentos Nome O símbolo usado pelos matemáticos para representar a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é a letra grega minúscula π, às vezes explicitada como pi, e derivada da primeira letra da palavra grega perimetros, que significa circunferência. [6] Em inglês, π é pronunciado como "pie" ( / p aɪ /, py ). [7] No uso matemático, a letra minúscula π (ou π na fonte sans-serif ) é distinta de sua contraparte maiúscula e aumentada ∏, que denotaproduto de uma sequência , análogo a como ∑ denota soma.

A escolha do símbolo π é discutida na seção Adoção do símbolo π.

Definição Um diagrama de um círculo, com a largura rotulada como diâmetro e o perímetro rotulado como circunferência A circunferência de um círculo é um pouco mais de três vezes maior que seu diâmetro. A razão exata é chamada π. π é geralmente definida como a proporção de um círculo s' circunferência C ao seu diâmetro d : [8]

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {C} {d}}} \ pi = {\ frac {C} {d}} A relação C / d é constante, independentemente do tamanho do círculo. Por exemplo, se um círculo tiver o dobro do diâmetro de outro círculo, ele também terá o dobro da circunferência, preservando a relação C / d. Esta definição de π implicitamente faz uso da geometria plana (euclidiana) ; embora a noção de um círculo possa ser estendida a qualquer geometria curva (não-euclidiana), esses novos círculos não mais satisfarão a fórmula π = C / d. [8]

Aqui, a circunferência de um círculo é o comprimento do arco em torno do perímetro do círculo, uma quantidade que pode ser formalmente definida independentemente da geometria usando limites, um conceito em cálculo. [9] Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior do círculo unitário, dado em coordenadas cartesianas pela equação x 2 + y 2 = 1, como integral : [10]

{\ displaystyle \ pi = \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.} \ pi = \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}. Uma integral como esta foi adotada como a definição de π por Karl Weierstrass, que a definiu diretamente como uma integral em 1841. [11]

Definições de π como essas que se baseiam em uma noção de circunferência e, portanto, implicitamente em conceitos do cálculo integral, não são mais comuns na literatura. Remmert (1991) explica que isso ocorre porque, em muitos tratamentos modernos de cálculo, o cálculo diferencial normalmente precede o cálculo integral no currículo universitário; portanto, é desejável ter uma definição de π que não dependa do segundo. Uma tal definição, devido a Richard Baltzer, [12] e popularizada por Edmund Landau , [13] é a seguinte: π é duas vezes o menor número positivo em que ofunção cosseno é igual a 0. [8] [10] [14] O cosseno pode ser definido independentemente da geometria como uma série de potência, [15] ou como a solução de uma equação diferencial. [14]

Em um espírito similar, π pode ser definido usando propriedades do exponencial complexo, exp ( z ) , de uma variável complexa z. Como o cosseno, o complexo exponencial pode ser definido de várias maneiras. O conjunto de números complexos em que exp ( z ) é igual a um é então uma progressão aritmética (imaginária) da forma:

{\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}} {\ displaystyle \ {\ dots, -2 \ pi i, 0,2 \ pi i, 4 \ pi i, \ pontos \} = \ {2 \ pi ki \ meados k \ in \ mathbb {Z} \}} e existe um número real positivo único π com essa propriedade. [10] [16] Uma variação mais abstrata da mesma ideia, usando conceitos matemáticos sofisticados de topologia e álgebra, é o seguinte teorema: [17] existe um isomorfismo contínuo único ( até automorfismo ) do grupo R / Z de números reais sob adição de módulos inteiros (o grupo circular ) sobre o grupo multiplicativo de números complexos de valor absoluto um. O número π é então definido como metade da magnitude da derivada desse homomorfismo. [18]

Um círculo envolve a maior área que pode ser alcançada dentro de um determinado perímetro. Assim, o número π também é caracterizado como a melhor constante na desigualdade isoperimétrica (vezes um quarto). Existem muitas outras maneiras, estreitamente relacionadas, em que π aparece como um autovalor de algum processo geométrico ou físico; veja abaixo.

Irracionalidade e normalidade π é um número irracional, o que significa que não pode ser escrita como a razão de dois inteiros (fracções tais como 22 de / 7 são comumente usados para aproximar π , mas nenhuma fracção comum (relação de números inteiros) pode ser o seu valor exacto). [19] Como π é irracional, ele possui um número infinito de dígitos em sua representação decimal e não se ajusta a um padrão de dígitos infinitamente repetitivo. Existem várias provas de que π é irracional ; eles geralmente exigem cálculo e contam com a reductio ad absurdumtécnica. O grau em que π pode ser aproximado por números racionais (chamado de medida de irracionalidade ) não é precisamente conhecido; estimativas estabeleceram que a medida de irracionalidade é maior que a medida de e ou ln (2), mas menor que a medida dos números de Liouville. [20]

Os dígitos de π não têm padrão aparente e passaram nos testes de aleatoriedade estatística, incluindo testes de normalidade ; um número de comprimento infinito é chamado normal quando todas as sequências possíveis de dígitos (de qualquer comprimento determinado) aparecem com igual frequência. [21] A conjectura de que π é normal não foi provada ou refutada. [21]

Desde o advento dos computadores, um grande número de dígitos de π está disponível para realizar análises estatísticas. Yasumasa Kanada realizou análises estatísticas detalhadas nos dígitos decimais de π e os considerou consistentes com a normalidade; por exemplo, as freqüências dos dez dígitos de 0 a 9 foram submetidas a testes de significância estatística, e nenhuma evidência de um padrão foi encontrada. [22] Qualquer seqüência aleatória de dígitos contém subsequências arbitrariamente longas que parecem não aleatórias, pelo teorema do macaco infinito. Assim, porque a sequência de πDígitos passa por testes estatísticos de aleatoriedade, contém algumas seqüências de dígitos que podem aparecer não aleatórios, como uma seqüência de seis 9s consecutivos que começa na 762 º decimal da representação decimal de π. [23] Isso também é chamado de "ponto Feynman" no folclore matemático, depois de Richard Feynman , embora nenhuma conexão com Feynman seja conhecida.

Transcendência Um diagrama de um quadrado e um círculo, ambos com área idêntica; o comprimento do lado da praça é a raiz quadrada do pi Como π é um número transcendental, a quadratura do círculo não é possível em um número finito de etapas usando as ferramentas clássicas de compasso e régua. Além de ser irracional, mais fortemente pi é um número transcendental, o que significa que não é a solução de qualquer não constante equação polinomial com racionais coeficientes, como x 5 / 120 - x 3 / 6 + x = 0. [24] [25]

A transcendência de π tem duas conseqüências importantes: primeiro, π não pode ser expresso usando qualquer combinação finita de números racionais e raízes quadradas ou n -és raízes como 3 √ 31 ou √ 10. Em segundo lugar, uma vez que nenhum número transcendental pode ser construído com bússola e régua, não é possível " enquadrar o círculo ". Em outras palavras, é impossível construir, usando apenas bússola e régua, um quadrado cuja área seja exatamente igual à área de um dado círculo. [26] Esquadrar um círculo foi um dos problemas importantes da geometria doantiguidade clássica. [27] matemáticos amadores nos tempos modernos, por vezes, tentaram enquadrar o círculo e, por vezes, reivindicam o sucesso, apesar do fato de que é matematicamente impossível. [28]

Frações contínuas Uma fotografia da letra grega pi, criada como um grande mosaico de pedra incrustado no solo. A constante π é representada neste mosaico fora do Edifício de Matemática da Universidade Técnica de Berlim. Como todos os números irracionais, π não pode ser representado como uma fração comum (também conhecida como uma fração simples ou vulgar ), pela própria definição de "número irracional" (isto é, "não um número racional"). Mas todo número irracional, incluindo π, pode ser representado por uma série infinita de frações aninhadas, chamada fração continuada :

{\ displaystyle \ pi = 3 + \ textstyle {\ cfrac {1} {7+ \ textstyle {\ cfrac {1} {15+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} { 292+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}} }} {\ displaystyle \ pi = 3 + \ textstyle {\ cfrac {1} {7+ \ textstyle {\ cfrac {1} {15+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} { 292+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}} }} Truncar a fração continuada em qualquer ponto produz uma aproximação racional para π ; os quatro primeiros são 3, 22/7, 333/106 e 355/113. Esses números estão entre as aproximações históricas mais conhecidas e amplamente utilizadas da constante. Cada aproximação gerada dessa maneira é uma melhor aproximação racional; isto é, cada um está mais próximo de π do que qualquer outra fração com o mesmo ou um denominador menor. [29] Como π é conhecido como sendo transcendental, ele é, por definição, não algébrico e, portanto, não pode ser um irracional quadrático. Portanto, π não pode ter uma fração contínua periódica. Embora a fração continuada simples paraπ (mostrado acima) também não exibe nenhum outro padrão óbvio, [30] os matemáticos descobriram várias frações contínuas generalizadas que fazem, como: [31]

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pi & = \ textstyle {\ cfrac {4} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2} } {2+ \ textstyle {\ cfrac {5 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {7 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {9 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}} = 3+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {5 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {7 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {9 ^ {2}} {6+ \ ddots}}}}}} }}} \\ [8pt] & = \ textstyle {\ cfrac {4} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {3+ \ textstyle {\ cfrac {2 ^ {2}} {5 + \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {7+ \ textstyle {\ cfrac {4 ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}} \ end {alinhado}}} {\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pi & = \ textstyle {\ cfrac {4} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2} } {2+ \ textstyle {\ cfrac {5 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {7 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {9 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}} = 3+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {5 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {7 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {9 ^ {2}} {6+ \ ddots}}}}}} }}} \\ [8pt] & = \ textstyle {\ cfrac {4} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {3+ \ textstyle {\ cfrac {2 ^ {2}} {5 + \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {7+ \ textstyle {\ cfrac {4 ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}} \ end {alinhado}}} Valor aproximado e dígitos Algumas aproximações do pi incluem:

Inteiros : 3 As fracções : fracções aproximados incluem (em ordem crescente de rigor) 22 de / 7, 333 / 106 , 355 / 113 , 52163 / 16604 , 103.993 / 33102 , e 245,850922 millions / 78.256.779 . [29] (Lista é termos selecionados de OEIS : A063674 e OEIS :  A063673 .) Dígitos : Os primeiros 50 dígitos decimais são 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 ... [32] (ver OEIS : A000796 ) Dígitos em outros sistemas numéricos

Os primeiros 48 dígitos binários ( base 2) (chamados bits ) são 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 ... (consulte OEIS : A004601 ) Os primeiros 20 dígitos em hexadecimal (base 16) são 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319 ... [33] (consulte OEIS : A062964 ) Os primeiros cinco dígitos sexagesimais (base 60) são 3; 8,29,44,0,47 [34] (ver OEIS : A060707 ). Números complexos e identidade de Euler Um diagrama de um círculo unitário centrado na origem no plano complexo, incluindo um raio do centro do círculo até sua borda, com as pernas triangulares marcadas com funções seno e cosseno. A associação entre poderes imaginários do número e e pontos no círculo unitário centrou-se na origem no plano complexo dada pela fórmula de Euler. Qualquer número complexo, digamos z , pode ser expresso usando um par de números reais. No sistema de coordenadas polares, um número ( raio ou r ) é usado para representar a distância de z da origem do plano complexo e o outro (ângulo ou φ ) para representar uma rotação no sentido anti-horário da linha real positiva como segue. : [35]

{\ displaystyle z = r \ cdot (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi),} z = r \ cdot (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi), onde i é a unidade imaginária satisfazendo i 2 = −1. O aparecimento freqüente de π na análise complexa pode estar relacionado ao comportamento da função exponencial de uma variável complexa, descrita pela fórmula de Euler : [36]

{\ displaystyle e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi,} e ^ {\ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi, onde a constante e é a base do logaritmo natural. Esta fórmula estabelece uma correspondência entre as potências imaginárias de e e os pontos no círculo unitário centrado na origem do plano complexo. A definição de φ = π na fórmula de Euler resulta na identidade de Euler, celebrada pelos matemáticos porque contém as cinco constantes matemáticas mais importantes: [36] [37]

{\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0.} e ^ {i \ pi} + 1 = 0. Existem n diferente números complexos z satisfazendo z n = 1, e estes são chamados de " n -simo raízes da unidade ". [38] Eles são dados por esta fórmula:

{\ displaystyle e ^ {2 \ pi ik / n} \ qquad (k = 0,1,2, \ dots, n-1).} e ^ {2 \ pi ik / n} \ qquad (k = 0,1,2, \ pontos, n-1). História Artigo principal: Aproximações de π Veja também: Cronologia da computação de π Antiguidade As aproximações mais conhecidos para pi namoro antes da Era Comum eram precisas para duas casas decimais; isso foi melhorado na matemática chinesa, em particular, no meio do primeiro milênio, com uma precisão de sete casas decimais. Depois disso, nenhum progresso adicional foi feito até o final do período medieval.

Alguns egiptólogos [39] afirmam que os antigos egípcios usaram uma aproximação de π como 22 de / 7 a partir tão cedo quanto o Império Antigo. [40] Esta afirmação encontrou ceticismo. [41] [42] [43] [44]

As primeiras aproximações escritas de π são encontradas no Egito e na Babilônia, ambas dentro de um por cento do valor verdadeiro. Em Babylon, um comprimido argila datada 1900-1600 BC tem uma indicação geométrica que, por consequência, trata π como 25 / 8 = 3,125. [45] No Egipto, a Rhind papiro, datada volta de 1650 aC, mas copiados a partir de um documento datado de 1850 AC, tem uma fórmula para a área de um círculo que trata π como ( 16 / 9 ) 2  ≈ 3,1605. [45]

Cálculos astronômicos no Shatapatha Brahmana (ca. século 4 aC) usar uma aproximação fracional de 339 / 108 ≈ 3.139 (uma precisão de 9 × 10 -4 ). [46] Outras fontes indianas por volta de 150 aC tratam π como √ 10 ≈ 3,1622. [47]

Era de aproximação do polígono diagrama de um hexágono e pentágono circunscrito fora de um círculo π pode ser estimado calculando-se os perímetros de polígonos circunscritos e inscritos. O primeiro algoritmo registrado para o cálculo rigoroso do valor de π foi uma abordagem geométrica usando polígonos, concebida por volta de 250 aC pelo matemático grego Archimedes. [48] Este algoritmo poligonal dominou por mais de 1.000 anos e, como resultado, π é por vezes referido como "constante de Arquimedes". [49] Arquimedes calculou os limites superior e inferior de π desenhando um hexágono regular dentro e fora de um círculo, e duplicando sucessivamente o número de lados até alcançar um polígono regular de 96 lados. Ao calcular os perímetros destes polígonos, ele provou que 223 / 71 < π < 22 / 7 (isto é,3,1408 < π <3,1429). [50] Arquimedes limite superior de 22 de / 7 pode ter levado a uma crença popular generalizada queπé igual a 22 de / 7 . [51] Por volta de 150 dC, o cientista grego-romanoPtolomeu, em seu Almagesto, deu um valor paraπde 3,1416, que ele pode ter obtido de Arquimedes ou deApolônio de Perga. [52] Matemáticos usando algoritmos poligonais alcançaram 39 dígitos deπem 1630, um recorde só quebrado em 1699, quando séries infinitas foram usadas para atingir 71 dígitos. [53]

Uma pintura de um homem estudando Arquimedes desenvolveu a abordagem poligonal para aproximar π. Na China antiga, os valores para π incluído 3,1547 (cerca de 1 AD), √ 10 (100 dC, aproximadamente 3,1623), e 142 / 45 (século 3, aproximadamente 3,1556). [54] Por volta de 265 dC, o matemático do Wei Kingdom, Liu Hui, criou um algoritmo iterativo baseado em polígonos e o usou com um polígono de 3.072 lados para obter um valor de π de 3,1416. [55] [56] Liu inventou mais tarde um método mais rápido de calcular πe obteve um valor de 3,14 com um polígono de 96 lados, aproveitando o fato de que as diferenças na área de polígonos sucessivos formam uma série geométrica com um fator de 4. [55] O matemático chinês Zu Chongzhi, por volta de 480 dC, calculado que ¸ ≈ 355 / 113 (uma fracção que passa pelo nome MILU em chinês), utilizando o algoritmo de Liu Hui aplicado a um polígono 12,288 lados. Com um valor correto para seus sete primeiros dígitos decimais, esse valor de 3,141592920 permaneceu a aproximação mais precisa de π disponível para os próximos 800 anos. [57]

O astrônomo indiano Aryabhata usou um valor de 3,1416 em sua Āryabhaṭīya (499 dC). [58] Fibonacci em c. 1220 computou 3,1418 usando um método poligonal, independente de Arquimedes. [59] autor italiano Dante aparentemente empregado o valor 3+ √ 2 / 10 ≈ 3,14142 . [59]

O astrônomo persa Jamshīd al-Kāshī produziu 9 dígitos sexagesimais, aproximadamente o equivalente a 16 dígitos decimais, em 1424 usando um polígono com 3 × 2 28 lados, [60] [61] que ficou como o recorde mundial por cerca de 180 anos. [62] O matemático francês François Viète, em 1579, alcançou 9 dígitos com um polígono de 3 × 2 17 lados. [62] O matemático flamengo Adriaan van Roomen chegou a 15 casas decimais em 1593. [62] Em 1596, o matemático holandês Ludolph van Ceulen chegou a 20 dígitos, um registro que posteriormente aumentou para 35 dígitos (como resultado, πfoi chamado de "número Ludolphian" na Alemanha até o início do século 20). [63] O cientista holandês Willebrord Snellius alcançou 34 dígitos em 1621, [64] e o astrônomo austríaco Christoph Grienberger chegou a 38 dígitos em 1630 usando 10 40 lados, [65] que continua sendo a aproximação mais precisa manualmente usando algoritmos poligonais. [64]

Série infinita

Comparação da convergência de várias séries históricas infinitas para π. S n é a aproximação depois de tomar n termos. Cada subtrama subsequente amplia a área sombreada horizontalmente por 10 vezes. (clique para detalhes) O cálculo de π foi revolucionado pelo desenvolvimento de técnicas de séries infinitas nos séculos XVI e XVII. Uma série infinita é a soma dos termos de uma sequência infinita. [66] Séries infinitas permitiram aos matemáticos computar π com muito maior precisão do que Arquimedes e outros que usaram técnicas geométricas. [66] Embora infinitas séries foram exploradas para π mais notavelmente por matemáticos europeus, como James Gregory e Gottfried Wilhelm Leibniz, a abordagem foi descoberta pela primeira vez na Índia em algum momento entre 1400 e 1500 dC.[67] A primeira descrição escrita de uma série infinita que poderia ser usada para computar π foi apresentada em verso em sânscrito pelo astrônomo indiano Nilakantha Somayaji em seu Tantrasamgraha , por volta de 1500 dC. [68] As séries são apresentadas sem provas, mas as provas são apresentadas em uma obra indiana posterior, Yuktibhāṣā, por volta de 1530 dC Nilakantha atribui a série a um matemático indiano anterior, Madhava de Sangamagrama , que viveu c. 1350 - c. 1425. [68] Várias séries infinitas são descritas, incluindo séries para seno, tangente e cosseno, que são agora referidas como séries Madhava ou Gregory-Leibniz.. [68] Madhava usou séries infinitas para estimar π a 11 dígitos por volta de 1400, mas esse valor foi melhorado por volta de 1430 pelo matemático persa Jamshīd al-Kāshī, usando um algoritmo poligonal. [69]

Um retrato formal de um homem, com cabelos longos Isaac Newton usou séries infinitas para computar π a 15 dígitos, depois escreveu "Tenho vergonha de dizer a você quantos números eu carreguei com esses cálculos". [70] A primeira seqüência infinita descoberta na Europa foi um produto infinito (ao invés de uma soma infinita, que é mais tipicamente usada em cálculos π ) encontrada pelo matemático francês François Viète em 1593: [71] [72] [73]

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} { 2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots} {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots A segunda sequência infinita encontrada na Europa, por John Wallis em 1655, também foi um produto infinito: [71]

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot { \ frac {8} {9}} \ cdots} {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot { \ frac {8} {9}} \ cdots} A descoberta do cálculo, pelo cientista inglês Isaac Newton e pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz na década de 1660, levou ao desenvolvimento de muitas séries infinitas para aproximar π. O próprio Newton usou uma série arcsin para calcular uma aproximação de 15 dígitos de π em 1665 ou 1666, escrevendo mais tarde: "Tenho vergonha de dizer a você quantos números eu carreguei com esses cálculos, não tendo nenhum outro negócio na época." [70]

Na Europa, a fórmula de Madhava foi redescoberta pelo matemático escocês James Gregory em 1671, e por Leibniz em 1674: [74] [75]

{\ displaystyle \ arctan z = z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {5}} - {\ frac {z ^ {7}} { 7}} + \ cdots} \ arctan z = z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {5}} - {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ cdots Esta fórmula, a série de Gregory-Leibniz, é igual a π / 4 quando avaliada com z = 1. [75] Em 1699, o matemático inglês Abraham Sharp usou a série de Gregory-Leibniz para {\ displaystyle z = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}} {\ displaystyle z = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}para calcular π para 71 dígitos, quebrando o recorde anterior de 39 dígitos, que foi definido com um algoritmo poligonal. [76] O Gregory-Leibniz para {\ displaystyle z = 1} z = 1A série é simples, mas converge muito lentamente (isto é, aproxima-se gradualmente da resposta), por isso não é usada em cálculos modernos de π. [77]

Em 1706, John Machin usou a série Gregory-Leibniz para produzir um algoritmo que convergiu muito mais rápido: [78]

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \, \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}} {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \, \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}} Machin alcançou 100 dígitos de π com esta fórmula. [79] Outros matemáticos criaram variantes, agora conhecidas como fórmulas semelhantes a Machin, que foram usadas para definir vários registros sucessivos para calcular dígitos de π. [79] As fórmulas semelhantes a Machin permaneceram como o método mais conhecido para calcular π até a era dos computadores, e foram usadas para estabelecer registros por 250 anos, culminando em uma aproximação de 620 dígitos em 1946 por Daniel Ferguson - a melhor aproximação alcançada sem o auxílio de um dispositivo de cálculo. [80]

Um recorde foi estabelecido pelo calculista prodígio Zacharias Dase, que em 1844 empregou uma fórmula semelhante a Machin para calcular 200 decimais de π em sua cabeça a mando do matemático alemão Carl Friedrich Gauss. [81] O famoso matemático britânico William Shanks levou 15 anos para calcular π para 707 dígitos, mas cometeu um erro no 528º dígito, tornando todos os dígitos subseqüentes incorretos. [81]

Taxa de convergência Algumas séries infinitas para π convergem mais rápido que outras. Dada a escolha de duas séries infinitas para π, os matemáticos geralmente usarão aquela que converge mais rapidamente porque a convergência mais rápida reduz a quantidade de computação necessária para calcular π a qualquer precisão dada. [82] Uma série infinita simples para π é a série de Gregory-Leibniz : [83]

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} + {\ frac {4} {13}} - \ cdots} \ pi = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} + {\ frac {4} {13}} - \ cdots Como os termos individuais desta série infinita são adicionados à soma, o total gradualmente se aproxima de π, e - com um número suficiente de termos - pode chegar o mais próximo de π, conforme desejado. Converge bastante lentamente, porém - depois de 500.000 termos, produz apenas cinco dígitos decimais corretos de π. [84]

Uma série infinita para π (publicada por Nilakantha no século 15) que converge mais rapidamente que a série de Gregory-Leibniz é: [85]

{\ displaystyle \ pi = 3 + {\ frac {4} {2 \ times 3 \ times 4}} - {\ frac {4} {4 \ times 5 \ times 6}} {\ frac {4} {6 \ times 7 \ times 8}} - {\ frac {4} {8 \ times 9 \ times 10}} + \ cdots} \ pi = 3 + {\ frac {4} {2 \ times 3 \ times 4}} - {\ frac {4} {4 \ times 5 \ times 6}} {\ frac {4} {6 \ times 7 \ times 8}} - {\ frac {4} {8 \ times 9 \ times 10}} + \ cdots A tabela a seguir compara as taxas de convergência dessas duas séries:

Série infinita para π	Após o primeiro mandato	Depois do 2º mandato	Depois do 3º mandato	Depois do 4º mandato	Depois do 5º termo	Converge para: {\ displaystyle \ pi = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} + {\ frac {4} {13}} \ cdots.} \ pi = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} + {\ frac {4} {13}} \ cdots. 4,0000	2,6666 ...	3,4666 ...	2,8952 ...	3,3396 ...	π = 3,1415 ... {\ displaystyle \ pi = {3} + {\ frac {4} {2 \ times 3 \ times 4}} - {\ frac {4} {4 \ times 5 \ times 6}} {\ frac {4} {6 \ times 7 \ times 8}} \ cdots.} \ pi = {3} + {\ frac {4} {2 \ times 3 \ times 4}} - {\ frac {4} {4 \ times 5 \ times 6}} {\ frac {4} {6 \ vezes 7 \ times 8}} \ cdots. 3,0000	3,1666 ...	3,1333 ...	3,1452 ...	3,1396 ... Depois de cinco termos, a soma da série de Gregory-Leibniz está dentro de 0,2 do valor correto de π, enquanto a soma da série de Nilakantha está dentro de 0,002 do valor correto de π. A série de Nilakantha converge mais rápido e é mais útil para calcular dígitos de π. Série que convergem ainda mais rápido incluem série de Machin e séries de Chudnovsky, este último produzir 14 dígitos decimais corretas por prazo. [82]

Irracionalidade e transcendência Veja também: Prova de que π é irracional e prova de que π é transcendental Nem todos os avanços matemáticos relativos a π visavam aumentar a precisão das aproximações. Quando Euler resolveu o problema de Basileia em 1735, encontrando o valor exato da soma dos quadrados recíprocos, estabeleceu uma conexão entre π e os números primos que mais tarde contribuíram para o desenvolvimento e estudo da função zeta de Riemann : [86]

{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + { \ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots} {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac { 1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots O cientista suíço Johann Heinrich Lambert, em 1761, provou que π é irracional, o que significa que não é igual ao quociente de quaisquer dois números inteiros. [19] A prova de Lambert explorou uma representação em frações contínuas da função tangente. [87] O matemático francês Adrien-Marie Legendre provou em 1794 que π 2 é também irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que π é transcendental, confirmando uma conjectura feita por Legendre e Euler. [88] [89]Hardy e Wright afirmam que "as provas foram depois modificadas e simplificadas por Hilbert, Hurwitz e outros escritores". [90]

Adoção do símbolo π

Leonhard Euler popularizou o uso da letra grega π em obras que publicou em 1736 e 1748. Nos primeiros usos, a letra grega π era uma abreviação da palavra grega para periferia (περιφέρεια), [91] e foi combinada em proporções com δ (para diâmetro ) ou ρ (para raio ) para formar constantes de círculo. [92] [93] [94] (Antes disso, matemáticos, por vezes, utilizado cartas, tais como C ou p em vez disso. [95] ) O primeiro uso é Oughtred de " {\ displaystyle \ delta. \ pi} {\ displaystyle \ delta. \ pi}", para expressar a relação de periferia e diâmetro nas edições de 1647 e posteriores de Clavis Mathematicae. [96] [95] Barrow da mesma forma usado" {\ textstyle {\ frac {\ pi} {\ delta}}} {\ textstyle {\ frac {\ pi} {\ delta}}}"para representar a constante 3.14 ..., [97] enquanto Gregory usava" {\ textstyle {\ frac {\ pi} {\ rho}}} {\ textstyle {\ frac {\ pi} {\ rho}}}"para representar 6,28 ... [98] [93]

O mais antigo uso conhecido da letra grega π para representar a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro foi o matemático galês William Jones em sua obra de 1706, Synopsis Palmariorum Matheseos; ou, uma nova introdução à matemática. [99] [100] A letra grega aparece primeiro na frase "1/2 Periferia ( π )" na discussão de um círculo com um raio. [101] No entanto, ele escreve que suas equações para π são da "caneta pronta do verdadeiramente engenhoso Sr. John Machin ", levando à especulação de que Machin pode ter empregado a carta grega antes de Jones. [95]A notação de Jones não foi imediatamente adotada por outros matemáticos, com a notação de fração ainda sendo usada até 1767. [92] [102]

Euler começou a usar a forma de uma única letra começando com a sua 1,727 ensaio explicando as propriedades do ar, embora ele usou π = 6,28 ... , a proporção de raio para a periferia, neste e em alguns escritos mais tarde. [103] [104] Euler usou pela primeira vez π = 3,14 ... em seu trabalho de 1736 Mechanica, [105] e continuou em seu amplamente lido trabalho 1748 Introductio in analysin infinitorum (ele escreveu: "por uma questão de brevidade nós escreveremos este número como π ; assim, π é igual a metade da circunferência de um círculo de raio de 1 "). [106]Como Euler correspondia fortemente a outros matemáticos na Europa, o uso da letra grega se espalhou rapidamente, e a prática foi universalmente adotada a partir de então no mundo ocidental, [95] embora a definição ainda variasse entre 3,14 ... e 6,28 ... como até 1761. [107]

Busca moderna por mais dígitos Era computacional e algoritmos iterativos Foto formal de um homem careca vestindo um terno John von Neumann fez parte da equipe que primeiro usou um computador digital, ENIAC, para calcular π. O algoritmo iterativo de Gauss-Legendre : inicializar {\ displaystyle \ scriptstyle a_ {0} = 1 \ quadruplo b_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ quad t_ {0} = {\ frac {1} {4}} \ quad p_ {0} = 1} \ scriptstyle a_ {0} = 1 \ quadruplo b_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ quad t_ {0} = {\ frac {1} {4}} \ quad p_ { 0} = 1 Iterar

{\ displaystyle \ scriptstyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} + b_ {n}} {2}} \ quad \ quad b_ {n + 1} = {\ sqrt {a_ {n} b_ {n}}}} \ scriptstyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} + b_ {n}} {2}} \ quad \ quad b_ {n + 1} = {\ sqrt {a_ {n} b_ {n} }} {\ displaystyle \ scriptstyle t_ {n + 1} = t_ {n} -p_ {n} (a_ {n} -a_ {n + 1}) ^ {2} \ quad \ quad p_ {n + 1} = 2p_ {n}} \ scriptstyle t_ {n + 1} = t_ {n} -p {n} (a_ {n} -a_ {n + 1}) ^ {2} \ quad \ quad p_ {n + 1} = 2p_ {n} Então uma estimativa para π é dada por

{\ displaystyle \ scriptstyle \ pi \ approx {\ frac {(a_ {n} + b_ {n}) ^ {2}} {4t_ {n}}}} \ scriptstyle \ pi \ approx {\ frac {(a_ {n} + b_ {n}) ^ {2}} {4t_ {n}}} O desenvolvimento de computadores em meados do século XX revolucionou novamente a busca por dígitos de π. Os matemáticos americanos John Wrench e Levi Smith alcançaram 1.120 dígitos em 1949 usando uma calculadora de mesa. [108] Usando uma série infinita de tangente inversa (arctan), uma equipe liderada por George Reitwiesner e John von Neumann nesse mesmo ano alcançou 2.037 dígitos com um cálculo que levou 70 horas de tempo de computador no computador ENIAC. [109] O registro, sempre contando com uma série de arctan, foi quebrado repetidamente (7.480 dígitos em 1957; 10.000 dígitos em 1958; 100.000 dígitos em 1961) até que 1 milhão de dígitos foram alcançados em 1973. [110]

Dois desenvolvimentos adicionais por volta de 1980 mais uma vez aceleraram a capacidade de calcular π. Primeiro, a descoberta de novos algoritmos iterativos para computação π, que eram muito mais rápidos que as séries infinitas; e segundo, a invenção de algoritmos de multiplicação rápida que poderiam multiplicar números muito rapidamente. [111] Tais algoritmos são particularmente importantes nos cálculos modernos de π porque a maior parte do tempo do computador é dedicada à multiplicação. [112] Eles incluem o algoritmo Karatsuba, multiplicação Toom – Cook e métodos baseados em transformada de Fourier. [113]

Os algoritmos iterativos foram publicados de forma independente em 1975-1976 pelo físico americano Eugene Salamin e pelo cientista australiano Richard Brent. [114] Eles evitam a dependência de séries infinitas. Um algoritmo iterativo repete um cálculo específico, cada iteração usando as saídas de etapas anteriores como suas entradas e produz um resultado em cada etapa que converge para o valor desejado. A abordagem foi realmente inventada há mais de 160 anos por Carl Friedrich Gauss, no que hoje é chamado de método de média aritmética-geométrica (método AGM) ou algoritmo de Gauss-Legendre. [114] Conforme modificado por Salamin e Brent, também é referido como o algoritmo de Brent-Salamin.

Os algoritmos iterativos foram amplamente utilizados depois de 1980 porque são mais rápidos do que algoritmos de séries infinitas: enquanto séries infinitas normalmente aumentam o número de dígitos corretos aditivamente em termos sucessivos, os algoritmos iterativos geralmente multiplicam o número de dígitos corretos em cada etapa. Por exemplo, o algoritmo de Brent-Salamin dobra o número de dígitos em cada iteração. Em 1984, os irmãos canadenses John e Peter Borwein produziram um algoritmo iterativo que quadruplica o número de dígitos em cada passo; e em 1987, uma que aumenta o número de dígitos cinco vezes em cada etapa. [115] Métodos iterativos foram usados ​​pelo matemático japonês Yasumasa Kanada para estabelecer vários registros para computação.π entre 1995 e 2002. [116] Esta convergência rápida tem um preço: os algoritmos iterativos requerem significativamente mais memória que as séries infinitas. [116]

Motivos para o cálculo de π

Quando os matemáticos descobriram novos algoritmos e os computadores se tornaram disponíveis, o número de dígitos decimais conhecidos de π aumentou dramaticamente. Observe que a escala vertical é logarítmica. Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo π, um punhado de dígitos fornece precisão suficiente. De acordo com Jörg Arndt e Christoph Haenel, trinta e nove dígitos são suficientes para realizar a maioria dos cálculos cosmológicos, porque essa é a precisão necessária para calcular a circunferência do universo observável com uma precisão de um átomo. [117] Contabilizando dígitos adicionais necessários para compensar erros computacionais de arredondamento, Arndt conclui que algumas centenas de dígitos seriam suficientes para qualquer aplicação científica. Apesar disso, as pessoas têm trabalhado arduamente para calcular π para milhares e milhões de dígitos. [118]Esse esforço pode ser em parte atribuído à compulsão humana de quebrar recordes, e tais conquistas com π muitas vezes são manchetes em todo o mundo. [119] [120] Eles também têm benefícios práticos, como testar supercomputadores, testar algoritmos de análise numérica (incluindo algoritmos de multiplicação de alta precisão ); e dentro da própria matemática pura, fornecendo dados para avaliar a aleatoriedade dos dígitos de π. [121]

Série Rapidamente Convergente Foto, retrato, homem Srinivasa Ramanujan, trabalhando em isolamento na Índia, produziu muitas séries inovadoras para computação π. Calculadoras π modernas não usam exclusivamente algoritmos iterativos. Novas séries infinitas foram descobertas nos anos 80 e 90, que são tão rápidas quanto os algoritmos iterativos, mas são mais simples e menos intensivas em memória. [116] Os algoritmos iterativos rápidos foram antecipados em 1914, quando o matemático indiano Srinivasa Ramanujan publicada dezenas de novas fórmulas inovadoras para π, notável pela sua elegância, profundidade matemático, e uma rápida convergência. [122] Uma de suas fórmulas, baseada em equações modulares, é

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k) (1103 + 26390k)} {k! ^ {4} (396 ^ {4k})}}.} {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {k! ^ {4} (396 ^ {4k})}}. Esta série converge muito mais rapidamente do que a maioria das séries de arctan, incluindo a fórmula de Machin. [123] Bill Gosper foi o primeiro a usá-lo para avanços no cálculo de π, estabelecendo um recorde de 17 milhões de dígitos em 1985. [124] As fórmulas de Ramanujan anteciparam os algoritmos modernos desenvolvidos pelos irmãos Borwein e os irmãos Chudnovsky. [125] A fórmula de Chudnovsky desenvolvida em 1987 é

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {12} {640320 ^ {3/2}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(6k )! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (K!) ^ {3} (- 640320) ^ {3k}}}.} {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {12} {640320 ^ {3/2}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(6k)! ( 13591409 + 545140134k)} {(3k)! (K!) ^ {3} (- 640320) ^ {3k}}}. Produz cerca de 14 dígitos de π por termo, [126] e tem sido usado para vários cálculos recorde de π, incluindo o primeiro a superar 1 bilhão (10 9 ) dígitos em 1989 pelos irmãos Chudnovsky, 2,7 trilhões (2,7 × 10 12 ) dígitos de Fabrice Bellard em 2009, [127] 10 trilhões (10 13 ) dígitos em 2011 por Alexander Yee e Shigeru Kondo, [128] e o atual recorde de mais de 22 trilhões de dígitos em 2016 por Peter Trueb. [129] [130] Para fórmulas similares, veja também a série Ramanujan-Sato.

Em 2006, o matemático canadense Simon Plouffe usou o algoritmo de relação de inteiros PSLQ [131] para gerar várias novas fórmulas para π, conforme o seguinte modelo:

{\ displaystyle \ pi ^ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {k}}} \ left ({\ frac {a} {q ^ { n} -1}} + {\ frac {b} {q ^ {2n} -1}} + {\ frac {c} {q ^ {4n} -1}} \ right),} \ pi ^ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {k}}} \ left ({\ frac {a} {q ^ {n} - 1}} + {\ frac {b} {q ^ {2n} -1}} + {\ frac {c} {q ^ {4n} -1}} \ right), onde q é e π (constante de Gelfond), k é um número ímpar e a, b , c são certos números racionais que Plouffe computou. [132]

Métodos de Monte Carlo Agulhas de comprimento ℓ espalhadas em listras com largura t Agulha de Buffon. Needles um e b são descartados aleatoriamente. Milhares de pontos cobrindo aleatoriamente um quadrado e um círculo inscrito no quadrado. Pontos aleatórios são colocados no quadrante de um quadrado com um círculo inscrito nele. Métodos de Monte Carlo, baseados em ensaios aleatórios, podem ser usados ​​para aproximar π. Os métodos de Monte Carlo, que avaliam os resultados de múltiplos ensaios aleatórios, podem ser usados ​​para criar aproximações de π. [133] A agulha de Buffon é uma dessas técnicas: Se uma agulha de comprimento ℓ é lançada n vezes em uma superfície na qual linhas paralelas são desenhadas t unidades separadas, e se x dessas vezes ela parar em uma linha ( x > 0 ), então pode-se aproximar π com base nas contagens: [134]

{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {2n \ ell} {xt}}} \ pi \ approx {\ frac {2n \ ell} {xt}} Outro método de Monte Carlo para calcular π é desenhar um círculo inscrito em um quadrado e colocar aleatoriamente pontos no quadrado. A proporção de pontos dentro do círculo para o número total de pontos será aproximadamente igual a π / 4. [135]

Cinco caminhadas aleatórias com 200 passos. A média da amostra de | W 200 | é μ = 56/5, e assim 2 (200) μ −2 ≈ 3.19 está dentro de 0.05 de π Outra maneira de calcular π usando probabilidade é começar com um passeio aleatório, gerado por uma sequência de lançamentos de moeda (justa): variáveis ​​aleatórias independentes X k tais que X k ∈ {−1,1} com probabilidades iguais. O passeio aleatório associado é

{\ displaystyle W_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k}} {\ displaystyle W_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k}} de modo que, para cada n, W n é extraído de uma distribuição binomial deslocada e escalonada. Como n varia, W n define um processo estocástico (discreto). Então, π pode ser calculado por [136]

{\ displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {2n} {E [| W_ {n} |] ^ {2}}}.} {\ displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {2n} {E [| W_ {n} |] ^ {2}}}.} Este método de Monte Carlo é independente de qualquer relação com os círculos e é uma conseqüência do teorema do limite central, discutido abaixo.

Esses métodos de Monte Carlo para aproximar π são muito lentos em comparação com outros métodos, e não fornecem nenhuma informação sobre o número exato de dígitos que são obtidos. Assim, eles nunca são usados ​​para aproximar π quando a velocidade ou precisão é desejada. [137]

Algoritmos Spigot Dois algoritmos foram descobertos em 1995 que abriram novos caminhos de pesquisa em π. Eles são chamados algoritmos de spigot porque, como a água pingando de uma torneira, eles produzem dígitos simples de π que não são reutilizados depois de serem calculados. [138] [139] Isso está em contraste com séries infinitas ou algoritmos iterativos, que retêm e usam todos os dígitos intermediários até que o resultado final seja produzido. [138]

Os matemáticos americanos Stan Wagon e Stanley Rabinowitz produziram um algoritmo de spigot simples em 1995. [139] [140] [141] Sua velocidade é comparável aos algoritmos de arctan, mas não tão rapidamente quanto os algoritmos iterativos. [140]

Outro algoritmo de spigot, o algoritmo de extração de dígitos BBP, foi descoberto em 1995 por Simon Plouffe: [142] [143]

{\ displaystyle \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ left ({\ frac {4} {8k + 1}} - { \ frac {2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ right)} \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ left ({\ frac {4} {8k + 1}} - {\ frac { 2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ right) Esta fórmula, ao contrário de outras anteriores, pode produzir qualquer dígito hexadecimal individual de π sem calcular todos os dígitos anteriores. [142] Os dígitos binários individuais podem ser extraídos de dígitos hexadecimais individuais e os dígitos octal podem ser extraídos de um ou dois dígitos hexadecimais. Variações do algoritmo foram descobertas, mas ainda não foi encontrado nenhum algoritmo de extração de dígitos que produza rapidamente dígitos decimais. [144] Uma aplicação importante de algoritmos de extração de dígitos é validar novas reivindicações de registro πcomputações: Após um novo registro ser reivindicado, o resultado decimal é convertido em hexadecimal e, em seguida, um algoritmo de extração de dígitos é usado para calcular vários dígitos hexadecimais aleatórios próximos ao final; se eles corresponderem, isso fornece uma medida de confiança de que todo o cálculo está correto. [128]

Entre 1998 e 2000, o projeto de computação distribuída PiHex usou a fórmula de Bellard (uma modificação do algoritmo BBP) para calcular o quadrilionésimo (10 15º ) bit de π, que acabou sendo 0. [145] Em setembro de 2010, um Yahoo ! O funcionário usou o aplicativo Hadoop da empresa em mil computadores em um período de 23 dias para calcular 256 bits de π no bit de dois quadrilionésimos (2 × 10 15 th), que também é zero. [146]

Papel e caracterizações em matemática Como π está intimamente relacionado ao círculo, ele é encontrado em muitas fórmulas dos campos de geometria e trigonometria, particularmente aquelas referentes a círculos, esferas ou elipses. Outros ramos da ciência, como estatística, física, análise de Fourier e teoria dos números, também incluem π em algumas de suas fórmulas importantes.

Geometria e trigonometria Um diagrama de um círculo com um quadrado que circunda o quadrante superior direito do círculo. A área do círculo é igual a π vezes a área sombreada. π aparece em fórmulas para áreas e volumes de formas geométricas baseadas em círculos, como elipses, esferas , cones e toros. Abaixo estão algumas das fórmulas mais comuns que envolvem π. [147]

A circunferência de um círculo com raio r é 2π r. A área de um círculo com raio r é π r 2. O volume de uma esfera com raio R é 4 / 3 π r 3. A área da superfície de uma esfera com raio r é 4π r 2. As fórmulas acima são casos especiais do volume da esfera n- dimensional e da área da sua fronteira, a esfera ( n- 1) -dimensional, dada abaixo.

Integrais definidas que descrevem circunferência, área ou volume de formas geradas por círculos normalmente têm valores que envolvem π. Por exemplo, uma integral que especifica metade da área de um círculo de raio um é dada por: [148]

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}.} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}. Nessa integral a função √ 1 - x 2 representa a metade superior de um círculo (a raiz quadrada é uma conseqüência do teorema de Pitágoras ), e a integral ∫ 1 −1 calcula a área entre essa metade de um círculo e o eixo x.

Diagrama mostrando gráficos de funções Funções seno e cosseno se repetem com o período 2 π. As funções trigonométricas dependem de ângulos e os matemáticos geralmente usam radianos como unidades de medida. π desempenha um papel importante em ângulos medidos em radianos, que são definidos de modo que um círculo completo abranja um ângulo de 2 π radianos. [149] A medida angular de 180 ° é igual a π radianos e 1 ° = π / 180 radianos. [149]

Funções trigonométricas comuns possuem períodos que são múltiplos de π ; por exemplo, seno e cosseno têm o período 2 π, [150] então para qualquer ângulo θ e qualquer inteiro k ,

{\ displaystyle \ sin \ theta = \ sin \ left (\ theta +2 \ pi \ \ right) {\ text {e}} cos \ theta = \ cos \ left (\ theta +2 \ pi \ \ right) .} {\ displaystyle \ sin \ theta = \ sin \ left (\ theta +2 \ pi \ \ right) {\ text {e}} cos \ theta = \ cos \ left (\ theta +2 \ pi \ \ right) .}[150] Autovalores

Os harmônicos de uma corda vibrante são autofunções da segunda derivada e formam uma progressão harmônica. Os autovalores associados formam a progressão aritmética de múltiplos inteiros de π. Muitas das aparências de π nas fórmulas da matemática e das ciências têm a ver com sua estreita relação com a geometria. No entanto, π também aparece em muitas situações naturais aparentemente sem nada a ver com a geometria.

Em muitas aplicações, desempenha um papel distinto como um autovalor. Por exemplo, uma corda vibratória idealizada pode ser modelada como o gráfico de uma função f no intervalo unitário [0,1], com extremidades fixas f (0) = f (1) = 0. Os modos de vibração da corda são soluções da equação diferencial f "( x ) + λ f ( x ) = 0. Aqui λ é um autovalor associado, que é restringido pela teoria de Sturm-Liouvillepara assumir apenas alguns valores específicos. Deve ser positivo, uma vez que a segunda derivada é negativa definida, então é conveniente escrever λ = ν 2, onde ν> 0 é chamado de número de onda . Então f ( x ) = sin (π x ) satisfaz as condições de contorno e a equação diferencial com ν = π . [151]

O valor π é, na verdade, o menor valor do número de onda e está associado ao modo fundamental de vibração da string. Uma maneira de obter isso é estimando a energia. A energia satisfaz uma desigualdade, a desigualdade da Wirtinger para funções, [152] que afirma que se uma função f : [0, 1] → ℂ é dada de modo a que f (0) = F (1) = 0 e F e F ' são ambos quadrados integráveis , então a desigualdade é válida:

{\ displaystyle \ pi ^ {2} \ int _ {0} ^ {1} | f (x) | ^ {2} \, dx \ leq \ int _ {0} ^ {1} | f '(x) | ^ {2} \, dx,} {\ displaystyle \ pi ^ {2} \ int _ {0} ^ {1} | f (x) | ^ {2} \, dx \ leq \ int _ {0} ^ {1} | f '(x) | ^ {2} \, dx,} e o caso da igualdade vale precisamente quando f é um múltiplo do pecado (π x ). Assim, π aparece como uma constante ideal na desigualdade de Wirtinger, e daí resulta que é o menor número de onda desse tipo, usando a caracterização variacional do autovalor. Como conseqüência, π é o menor valor singular da derivada no espaço de funções em [0,1] desaparecendo em ambas as extremidades (o espaço Sobolev {\ displaystyle H_ {0} ^ {1} [0,1]} {\ displaystyle H_ {0} ^ {1} [0,1]}).

Desigualdades

A antiga cidade de Cartago era a solução para um problema isoperimétrico, de acordo com uma lenda contada por Lorde Kelvin ( Thompson, 1894 ): as terras margeando o mar que a Rainha Dido poderia cercar em todos os outros lados dentro de um único oxide, cortado em tiras. O número serve π aparece em problemas de autovalores semelhantes em análise de maior dimensão. Como mencionado acima, pode ser caracterizado pelo seu papel como a melhor constante na desigualdade isoperimétrica : a área A delimitada por uma curva plana do perímetro P satisfaz a desigualdade

{\ displaystyle 4 \ pi A \ leq P ^ {2},} {\ displaystyle 4 \ pi A \ leq P ^ {2},} e a igualdade é claramente alcançada para o círculo, já que nesse caso A = π r 2 e P = 2π r. [153]

Em última análise, como conseqüência da desigualdade isoperimétrica, π aparece na constante ótima para a desigualdade crítica de Sobolev em n dimensões, que assim caracteriza o papel de π em muitos fenômenos físicos, por exemplo, aqueles da teoria do potencial clássico. [154] [155] [156] Em duas dimensões, a desigualdade crítica de Sobolev é

{\ displaystyle 2 \ pi \ | f \ | _ {2} \ leq \ | \ nabla f \ | _ {1}} {\ displaystyle 2 \ pi \ | f \ | _ {2} \ leq \ | \ nabla f \ | _ {1}} para f uma função suave com suporte compacto em R 2, {\ displaystyle \ nabla f} \ nabla fé o gradiente de f e {\ displaystyle \ | f \ | _ {2}} {\ displaystyle \ | f \ | _ {2}} e {\ displaystyle \ | \ nabla f \ | _ {1}} {\ displaystyle \ | \ nabla f \ | _ {1}}referem-se respectivamente à norma L 2 e L 1. A desigualdade de Sobolev é equivalente à desigualdade isoperimétrica (em qualquer dimensão), com as mesmas melhores constantes.

A desigualdade de Wirtinger também se generaliza a desigualdades de Poincaré de dimensão superior que fornecem as melhores constantes para a energia de Dirichlet de uma membrana n- dimensional. Especificamente, π é a maior constante tal que

{\ displaystyle \ pi \ leq {\ frac {\ left (\ int _ {G} | \ nabla u | ^ {2} \ right) ^ {1/2}} {\ left (\ int _ {G} | u | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}}} {\ displaystyle \ pi \ leq {\ frac {\ left (\ int _ {G} | \ nabla u | ^ {2} \ right) ^ {1/2}} {\ left (\ int _ {G} | u | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}}} para todos os subconjuntos convexos G de R n de diâmetro 1, e funções integráveis ​​quadradas u em G de zero médio. [157] Assim como a desigualdade de Wirtinger é a forma variacional do problema de autovalores de Dirichlet em uma dimensão, a desigualdade de Poincaré é a forma variacional do problema de autovalores de Neumann, em qualquer dimensão.

Transformada de Fourier e princípio da incerteza de Heisenberg

Uma animação de uma geodésica no grupo de Heisenberg, mostrando a estreita ligação entre o grupo de Heisenberg, a isoperimetria e a constante π. A altura cumulativa da geodésica é igual à área da porção sombreada do círculo unitário, enquanto o comprimento do arco (na métrica Carnot – Carathéodory ) é igual à circunferência. A constante π também aparece como um parâmetro espectral crítico na transformada de Fourier. Esta é a transformação integral, que usa uma função integrável de valor complexo f na linha real para a função definida como:

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} \, dx.} {\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} \, dx.} Existem várias convenções diferentes para a transformada de Fourier, todas envolvendo um fator de π que é colocado em algum lugar. A aparência de π é essencial nessas fórmulas, pois não há possibilidade de remover π completamente da transformada de Fourier e sua transformação inversa. A definição dada acima é a mais canônica, no entanto, porque descreve o único operador unitário em L 2 que também é um homomorfismo de álgebra de L 1 a L ∞. [158]

O princípio da incerteza de Heisenberg também contém o número π. O princípio da incerteza dá um limite inferior agudo na medida em que é possível localizar uma função tanto no espaço como na frequência: com nossas convenções para a transformada de Fourier,

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} | f (x) | ^ {2} \, dx \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ xi ^ {2} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi \ geq \ left ({\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {2}.} {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} | f (x) | ^ {2} \, dx \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ xi ^ {2} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi \ geq \ left ({\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {2}.} A conseqüência física, sobre a incerteza na posição simultânea e as observações de momento de um sistema de mecânica quântica, é discutida abaixo. O aparecimento de π nas fórmulas da análise de Fourier é, em última análise, uma consequência do teorema de Stone-von Neumann, afirmando a singularidade da representação de Schrödinger do grupo de Heisenberg. [159]

Integrais gaussianas

Um gráfico da função gaussiana ƒ ( x ) = e - x 2. A região colorida entre a função e o eixo x tem a área √ π. Os campos de probabilidade e estatística freqüentemente usam a distribuição normal como um modelo simples para fenômenos complexos; por exemplo, os cientistas geralmente assumem que o erro de observação na maioria das experiências segue uma distribuição normal. [160] A função gaussiana, que é a função de densidade de probabilidade da distribuição normal com média μ e desvio padrão σ , contém naturalmente π : [161]

{\ displaystyle f (x) = {1 \ over \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \, e ^ {- (x- \ mu) ^ {2} / (2 \ sigma ^ {2}) }} f (x) = {1 \ over \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \, e ^ {- (x- \ mu) ^ {2} / (2 \ sigma ^ {2})} Para que esta seja uma densidade de probabilidade, a área sob o gráfico de f precisa ser igual a um. Isso decorre de uma mudança de variáveis na integral gaussiana : [161]

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- u ^ {2}} \, du = {\ sqrt {\ pi}}} {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- u ^ {2}} \, du = {\ sqrt {\ pi}}} que diz que a área sob a curva básica da figura é igual à raiz quadrada de π.

π pode ser calculado a partir da distribuição de zeros de um processo Wiener unidimensional O teorema do limite central explica o papel central das distribuições normais e, portanto, de π, em probabilidade e estatística. Este teorema é finalmente conectado com a caracterização espectral de π como o autovalor associado ao princípio da incerteza de Heisenberg, e o fato de que a igualdade se mantém no princípio da incerteza apenas para a função gaussiana. [162] De maneira equivalente, π é a constante única tornando a distribuição normal Gaussiana e -π x 2 igual a transformar o seu próprio Fourier. [163] De fato, de acordo com Howe (1980), o "negócio completo" de estabelecer os teoremas fundamentais da análise de Fourier reduz-se à integral gaussiana.

Geometria projetiva Seja V o conjunto de todas as funções reais duas vezes diferenciáveis {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ para \ mathbb {R}} {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ para \ mathbb {R}}que satisfazem a equação diferencial ordinária {\ displaystyle f  (x) + f (x) = 0} {\ displaystyle f  (x) + f (x) = 0}. Então V é um espaço vetorial real bidimensional, com dois parâmetros correspondentes a um par de condições iniciais para a equação diferencial. Para qualquer {\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}} t \ in {\ mathbb R}, deixei {\ displaystyle e_ {t}: V \ to \ mathbb {R}} {\ displaystyle e_ {t}: V \ to \ mathbb {R}} ser a avaliação funcional, que se associa a cada {\ displaystyle f \ in V} {\ displaystyle f \ in V} O valor que {\ displaystyle e_ {t} (f) = f (t)} {\ displaystyle e_ {t} (f) = f (t)}da função f no ponto real t. Então, para cada t, o kernel do {\ displaystyle e_ {t}} e_té um subespaço linear unidimensional de V. Conseqüentemente {\ displaystyle t \ mapsto \ ker e_ {t}} {\ displaystyle t \ mapsto \ ker e_ {t}} define uma função de {\ displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {P} (V)} {\ displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {P} (V)}da linha real à linha projetiva real. Essa função é periódica e a quantidade π pode ser caracterizada como o período desse mapa. [164]

Topologia

Uniformização do quartzo de Klein, uma superfície do gênero três e característica de Euler −4, como um quociente do plano hiperbólico pelo grupo de simetria PSL (2,7) do plano de Fano. A área hiperbólica de um domínio fundamental é 8π, de Gauss-Bonnet. A constante π aparece na fórmula de Gauss – Bonnet que relaciona a geometria diferencial das superfícies com sua topologia. Especificamente, se uma superfície compacta Σ tiver uma curvatura de Gauss K ,

{\ displaystyle \ int _ {\ Sigma} K \, dA = 2 \ pi \ chi (\ Sigma)} {\ displaystyle \ int _ {\ Sigma} K \, dA = 2 \ pi \ chi (\ Sigma)} onde χ ( Σ ) é a característica de Euler, que é um inteiro. [165] Um exemplo é a área da superfície de uma esfera S de curvatura 1 (de modo que seu raio de curvatura, que coincide com seu raio, também é 1.) A característica de Euler de uma esfera pode ser calculada a partir de seus grupos de homologia e é encontrado para ser igual a dois. Assim nós temos

{\ displaystyle A (S) = \ int _ {S} 1 \, dA = 2 \ pi \ cdot 2 = 4 \ pi} {\ displaystyle A (S) = \ int _ {S} 1 \, dA = 2 \ pi \ cdot 2 = 4 \ pi} reproduzindo a fórmula para a área de superfície de uma esfera de raio 1.

A constante aparece em muitas outras fórmulas integrais na topologia, em particular aquelas que envolvem classes características através do homomorfismo de Chern-Weil. [166]

Cálculo vetorial

As técnicas de cálculo vetorial podem ser entendidas em termos de decomposições em harmônicas esféricas (mostradas) O cálculo vetorial é um ramo do cálculo que se preocupa com as propriedades dos campos de vetores e tem muitas aplicações físicas, como a eletricidade e o magnetismo. O potencial newtoniano para uma fonte pontual Q situada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional é [167]

{\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = - {\ frac {kQ} {| \ mathbf {x} |}} {\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = - {\ frac {kQ} {| \ mathbf {x} |}} que representa a energia potencial de uma unidade de massa (ou carga) colocado a distância | x | da fonte, ek é uma constante dimensional. O campo, aqui denotado por E, que pode ser o campo gravitacional (newtoniano) ou o campo elétrico (de Coulomb) , é o gradiente negativo do potencial:

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla V.} {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla V.} Casos especiais incluem a lei de Coulomb e a lei de gravitação universal de Newton. A lei de Gauss afirma que o fluxo externo do campo através de qualquer superfície lisa, simples, fechada e orientável S contendo a origem é igual a 4 π kQ :

{\ displaystyle 4 \ pi kQ =} {\ displaystyle 4 \ pi kQ =} \ oiint {\ displaystyle {\ scriptstyle S}} {\ scriptstyle S} {\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A}} {\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A}} É padrão absorver esse fator de 4π na constante k, mas esse argumento mostra por que ele deve aparecer em algum lugar. Além disso, 4π é a área da superfície da esfera unitária, mas não assumimos que S é a esfera. No entanto, como uma consequência do teorema da divergência, porque a região a partir da origem de vácuo é (livre-fonte) é apenas a classe de homologia da superfície S em R 3 \ {0} que importa computar o integral, assim pode ser substituído por qualquer superfície conveniente na mesma classe de homologia, em particular, uma esfera onde coordenadas esféricas podem ser usadas para calcular o integral.

Uma conseqüência da lei de Gauss é que o Laplaciano negativo do potencial V é igual a 4π kQ vezes a função delta de Dirac :

{\ displaystyle \ Delta V (\ mathbf {x}) = - 4 \ pi kQ \ delta (\ mathbf {x}).} {\ displaystyle \ Delta V (\ mathbf {x}) = - 4 \ pi kQ \ delta (\ mathbf {x}).} Distribuições mais gerais de matéria (ou carga) são obtidas por convolução, dando a equação de Poisson

{\ displaystyle \ Delta V (\ mathbf {x}) = - 4 \ pi k \ rho (\ mathbf {x})} {\ displaystyle \ Delta V (\ mathbf {x}) = - 4 \ pi k \ rho (\ mathbf {x})} onde ρ é a função de distribuição.

A equação de Einstein afirma que a curvatura do espaço-tempo é produzida pelo conteúdo de matéria-energia. A constante π também desempenha um papel análogo em potenciais quadridimensionais associados às equações de Einstein, uma fórmula fundamental que forma a base da teoria geral da relatividade e descreve a interação fundamental da gravitação como resultado do espaço-tempo ser curvado por matéria e energia : [168]

{\ displaystyle R _ {\ mi \ uu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ uu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu},} R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ uu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4 }}} T _ {\ mu \ nu}, onde R μν é o tensor de curvatura de Ricci, R é a curvatura escalar , g μν é o tensor métrico , Λ é a constante cosmológica , G é a constante gravitacional de Newton , c é a velocidade da luz no vácuo e T μν é a tensão tensor de energia. O lado esquerdo da equação de Einstein é um análogo não-linear do Laplaciano do tensor métrico e se reduz a isso no limite de campo fraco, com o {\ displaystyle \ Lambda g} {\ displaystyle \ Lambda g}termo desempenhando o papel de um multiplicador de Lagrange, e o lado direito é o análogo da função de distribuição, vezes 8π.

Fórmula Integral de Cauchy

Funções analíticas complexas podem ser visualizadas como uma coleção de linhas de corrente e equipotenciais, sistemas de curvas que se cruzam em ângulos retos. Aqui ilustrado é o complexo logaritmo da função Gamma. Uma das ferramentas fundamentais na análise complexa é integração de contorno de uma função ao longo de um orientadas positivamente ( retificável ) Jordan curva γ. Uma forma da fórmula integral de Cauchy afirma que se um ponto z 0 é interior para γ, então [169]

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} {\ frac {dz} {z-z} {0}}} = 2 \ pi i.} {\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} {\ frac {dz} {z-z} {0}}} = 2 \ pi i.} Embora a curva γ não seja um círculo e, portanto, não tenha nenhuma conexão óbvia com a constante π, uma prova padrão desse resultado usa o teorema de Morera , o que implica que a integral é invariante sob homotopia da curva, de modo que pode ser deformado para um círculo e depois integrado explicitamente em coordenadas polares. Mais geralmente, é verdade que, se uma curva fechada retificável γ não contém z 0, então a integral acima é 2π i vezes o número de enrolamento da curva.

A forma geral da fórmula integral de Cauchy estabelece a relação entre os valores de uma função analítica complexa f ( z ) na curva de Jordan γ e o valor de f ( z ) em qualquer ponto interior z 0 de γ : [170] [171]

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} {f (z) \ por z-z {0}}, dz = 2 \ pi if (z_ {0})} {\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} {f (z) \ por z-z {0}}, dz = 2 \ pi if (z_ {0})} desde que f ( z ) seja analítico na região delimitada por γ e se estenda continuamente para γ. A fórmula integral de Cauchy é um caso especial do teorema do resíduo, que se g ( z ) é uma função meromorfa da região delimitada por γ e é contínua em uma vizinhança de γ , então

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} g (z) \, dz = 2 \ pi \ sum \ operatorname {Res} (g, a_ {k})} {\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} g (z) \, dz = 2 \ pi \ sum \ operatorname {Res} (g, a_ {k})} onde a soma é dos resíduos nos pólos de g ( z ).

A função gama e a aproximação de Stirling

A fibração de Hopf da esfera 3, pelos círculos de Villarceau, sobre a complexa linha projetiva com sua métrica Fubini-Estudo (três paralelos são mostrados). A identidade S 3 (1) / S 2 (1) = π / 2 é uma consequência. A função fatorial n ! é o produto de todos os inteiros positivos através de n. A função gama estende o conceito de fatorial (normalmente definido apenas para inteiros não negativos) para todos os números complexos, exceto os inteiros reais negativos. Quando a função gama é avaliada em meio inteiros, o resultado contém π ; por exemplo {\ displaystyle \ Gamma (1/2) = {\ sqrt {\ pi}}} \ Gamma (1/2) = {\ sqrt {\ pi}} e {\ displaystyle \ Gamma (5/2) = {\ frac {3 {\ sqrt {\ pi}}} {4}}} \ Gamma (5/2) = {\ frac {3 {\ sqrt {\ pi}}} {4}}. [172]

A função gama é definida pelo seu desenvolvimento de produtos Weierstrass : [173]

{\ displaystyle \ Gamma (z) = e ^ {- \ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {z / n}} {1 + z / n}} } {\ displaystyle \ Gamma (z) = e ^ {- \ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {z / n}} {1 + z / n}} } onde γ é a constante de Euler-Mascheroni. Avaliada em z = 1/2 e ao quadrado, a equação Γ (1/2) 2 = π reduz à fórmula do produto Wallis. A função gama também está conectada à função zeta de Riemann e identidades para o determinante funcional, em que a constante π desempenha um papel importante.

A função gama é usada para calcular o volume V n ( r ) da esfera n- dimensional do raio r no espaço n- dimensional euclidiano, e a área da superfície S n- 1 ( r ) do seu limite, a ( n- 1 Esfera tridimensional : [174]

{\ displaystyle V_ {n} (r) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} r ^ {n}} V_ {n} (r) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gama ({\ frac {n} {2}} + 1)}} r ^ {n} {\ displaystyle S_ {n-1} (r) = {\ frac {n \ pi ^ {n / 2}} {\ Gama ({\ frac {n} {2}} + 1)}} r ^ {n -1}} {\ displaystyle S_ {n-1} (r) = {\ frac {n \ pi ^ {n / 2}} {\ Gama ({\ frac {n} {2}} + 1)}} r ^ {n -1}} Além disso, decorre da equação funcional que

{\ displaystyle 2 \ pi r = {\ frac {S_ {n + 1} (r)} {V_ {n} (r)}}.} {\ displaystyle 2 \ pi r = {\ frac {S_ {n + 1} (r)} {V_ {n} (r)}}.} A função gama pode ser usada para criar uma aproximação simples para a função fatorial n ! para grande n : {\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}} n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}que é conhecido como a aproximação de Stirling. [175] Equivalente,

{\ displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {e ^ {2n} n! ^ {2}} {2n ^ {2n + 1}}}.} {\ displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {e ^ {2n} n! ^ {2}} {2n ^ {2n + 1}}}.} Como uma aplicação geométrica de aproximação de Stirling, deixar Δ n denotam o simplex padrão em n espaço euclidiano -dimensional, e ( n + 1) Δ n denotam o simplex ter todos os seus lados ampliados por um factor de n  + 1. Então

{\ displaystyle \ operatorname {Vol} ((n +1) \ Delta _ {n}) = {\ frac {(n + 1) ^ {n}} {n}}} \ sim {\ frac {e ^ { n + 1}} {\ sqrt {2 \ pi n}}}.} {\ displaystyle \ operatorname {Vol} ((n +1) \ Delta _ {n}) = {\ frac {(n + 1) ^ {n}} {n}}} \ sim {\ frac {e ^ { n + 1}} {\ sqrt {2 \ pi n}}}.} A conjectura de volume de Ehrhart é que este é o limite superior (ótimo) no volume de um corpo convexo contendo apenas um ponto de rede. [176]

Teoria dos números e função zeta de Riemann

Cada primo tem um grupo Prüfer associado, que são localizações aritméticas do círculo. As funções L da teoria analítica dos números também estão localizadas em cada prime p.

Solução do problema de Basileia usando a conjectura de Weil : o valor de {\ displaystyle \ zeta (2)} \ zeta (2)é a área hiperbólica de um domínio fundamental do grupo modular, vezes {\ displaystyle 2 \ pi} 2 \ pi A função zeta Riemann ζ ( s ) é usada em muitas áreas da matemática. Quando avaliado em s = 2, pode ser escrito como

{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2 }}} + \ cdots} \ zeta (2) = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots Encontrar uma solução simples para essa série infinita foi um famoso problema da matemática chamado problema de Basileia. Leonhard Euler resolvido em 1735 quando ele mostrou que era igual a pi 2 /6. [86] resultado de Euler leva à teoria número resultar que a probabilidade de dois números aleatórios estar relativamente primos (isto é, não tendo factores partilhados) é igual a 6 / π 2. [177] [178] Esta probabilidade é baseada na observação de que a probabilidade de que qualquer número seja divisível por um primo p é 1 / p(por exemplo, todo 7º inteiro é divisível por 7.) Portanto, a probabilidade de que dois números sejam divisíveis por esse primo é 1 / p 2, e a probabilidade de que pelo menos um deles não seja é 1 - 1 / p 2. Para primos distintos, esses eventos de divisibilidade são mutuamente independentes; então a probabilidade de que dois números sejam relativamente primos é dada por um produto sobre todos os primos: [179]

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ prod _ {p} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} \ right) & = \ left (\ prod _ {p} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p ^ {- 2}}} \ right) ^ {- 1} \\ [4pt] & = {\ frac {1} {1+ { \ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots}} \\ [4pt] & = {\ frac {1} {\ zeta ( 2)}} = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} \ aproximadamente 61 \%. \ End {alinhado}}} {\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ prod _ {p} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} \ right) & = \ left (\ prod _ {p} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p ^ {- 2}}} \ right) ^ {- 1} \\ [4pt] & = {\ frac {1} {1+ { \ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots}} \\ [4pt] & = {\ frac {1} {\ zeta ( 2)}} = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} \ aproximadamente 61 \%. \ End {alinhado}}} Essa probabilidade pode ser usada em conjunto com um gerador de números aleatórios para aproximar π usando uma abordagem de Monte Carlo. [180]

A solução para o problema de Basileia implica que a quantidade geometricamente derivada π está conectada de maneira profunda à distribuição dos números primos. Este é um caso especial da conjectura de Weil sobre os números de Tamagawa, que afirma a igualdade de tais produtos infinitos de quantidades aritméticas , localizadas em cada primo p , e uma quantidade geométrica : o recíproco do volume de um determinado espaço localmente simétrico. No caso do problema de Basileia, é o hiperbólico de 3 variedades SL 2 ( R ) / SL 2 ( Z ). [181]

A função zeta também satisfaz a equação funcional de Riemann, que envolve tanto a função π quanto a função gama:

{\ displaystyle \ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} \ \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ \ Gamma (1-s ) \ \ zeta (1-s) \ !. {\ displaystyle \ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} \ \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ \ Gamma (1-s ) \ \ zeta (1-s) \ !. Além disso, a derivada da função zeta satisfaz

{\ displaystyle \ exp (- \ zeta '(0)) = {\ sqrt {2 \ pi}}.} {\ displaystyle \ exp (- \ zeta '(0)) = {\ sqrt {2 \ pi}}.} Uma consequência é que π pode ser obtido a partir do determinante funcional do oscilador harmônico. Esse determinante funcional pode ser calculado por meio de uma expansão de produto e é equivalente à fórmula do produto Wallis. [182] O cálculo pode ser reformulado na mecânica quântica, especificamente a abordagem variacional do espectro do átomo de hidrogênio. [183]

Séries de Fourier

π aparece em caracteres de números p-adic (mostrados), que são elementos de um grupo Prüfer. A tese de Tate faz uso pesado desse maquinário. [184] A constante π também aparece naturalmente nas séries periódicas de Fourier. Funções periódicas são funções no grupo T = R / Z de partes fracionárias de números reais. A decomposição de Fourier mostra que um valor complexo da função f em T pode ser escrito como uma superposição linear infinito de caracteres unitários de T. Ou seja, homomorfismos de grupo contínuos de T para o grupo circular U (1) de números de unidades de módulos de unidades. É um teorema que todo caráter de T é um dos exponenciais complexos {\ displaystyle e_ {n} (x) = e ^ {2 \ pi inx}} {\ displaystyle e_ {n} (x) = e ^ {2 \ pi inx}}.

Existe um caractere único em T, até a conjugação complexa, que é um isomorfismo de grupo. Usando a medida de Haar no grupo circular, a constante π é metade da magnitude da derivada Radon-Nikodym desse caractere. Os outros personagens têm derivados cujas magnitudes são múltiplos inteiros positivos de 2 π. [18] Como resultado, a constante π é o único número tal que o grupo T, equipado com sua medida de Haar, é Pontrjagin dual para a rede de múltiplos inteiros de 2 π. [185] Esta é uma versão da fórmula de soma de Poisson unidimensional.

Formas modulares e funções teta

As funções teta transformam-se sob a rede de períodos de uma curva elíptica. A constante π é conectada de maneira profunda com a teoria das formas modulares e funções teta. Por exemplo, o algoritmo de Chudnovsky envolve de maneira essencial a invariante-j de uma curva elíptica.

Formas modulares são funções holomórficas no plano da metade superior, caracterizadas por suas propriedades de transformação sob o grupo modular {\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})} {\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})} (ou seus vários subgrupos), uma rede no grupo {\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})} {\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}. Um exemplo é a função teta de Jacobi

{\ displaystyle \ theta (z, \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2 \ pi inz + i \ pi n ^ {2} \ tau}} {\ displaystyle \ theta (z, \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2 \ pi inz + i \ pi n ^ {2} \ tau}} que é uma forma modular chamada de forma de Jacobi. [186] Isso às vezes é escrito em termos do nome {\ displaystyle q = e ^ {\ pi i \ tau}} q = e ^ {\ pi i \ tau}.

A constante π é a constante única, fazendo com que a função de Jacobi theta seja uma forma automórfica, o que significa que ela se transforma de uma maneira específica. Certas identidades são válidas para todas as formas automórficas. Um exemplo é

{\ displaystyle \ theta (z + \ tau, \ tau) = e ^ {- \ pi \ tau -2 \ pi iz} \ theta (z, \ tau),} {\ displaystyle \ theta (z + \ tau, \ tau) = e ^ {- \ pi \ tau -2 \ pi iz} \ theta (z, \ tau),} o que implica que θ se transforma como uma representação sob o grupo discreto de Heisenberg. Formas modulares gerais e outras funções teta também envolvem π, mais uma vez por causa do teorema de Stone-von Neumann. [186]

Teoria de distribuição e potencial de Cauchy

A Bruxa de Agnesi, batizada com o nome de Maria Agnesi (1718–1799), é uma construção geométrica do gráfico da distribuição de Cauchy. A distribuição de Cauchy

{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ cdot {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}} {\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ cdot {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}} é uma função de densidade de probabilidade. A probabilidade total é igual a um, devido à integral:

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2} +1}} \, dx = \ pi.} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2} +1}} \, dx = \ pi. A entropia de Shannon da distribuição de Cauchy é igual a log (4π), que também envolve π.

A distribuição de Cauchy governa a passagem de partículas brownianas através de uma membrana. A distribuição de Cauchy desempenha um papel importante na teoria do potencial, porque é a mais simples medida de Furstenberg, o núcleo clássico de Poisson associado a um movimento Browniano em um meio plano. [187] Funções harmônicas conjugadas e assim também a transformada de Hilbert estão associadas com as assintóticas do núcleo de Poisson. A transformada de Hilbert H é a transformada integral dada pelo valor principal de Cauchy da integral singular

{\ displaystyle Hf (t) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (x) \, dx} {xt}}.} {\ displaystyle Hf (t) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (x) \, dx} {xt}}.} A constante π é o único fator de normalização (positivo), de tal forma que H define uma estrutura complexa linear no espaço de Hilbert de funções de valor real integráveis ​​em quadrado na linha real. [188] A transformada de Hilbert, como a transformada de Fourier, pode ser caracterizada puramente em termos de suas propriedades de transformação no espaço de Hilbert L 2 ( R ) : até um fator de normalização, é o único operador linear limitado que comuta com dilatações positivas e anti-comuta com todos os reflexos da linha real. [189] A constante π é o único fator de normalização que torna essa transformação unitária.

Dinâmica complexa Uma forma preta complexa em um fundo azul. π pode ser calculado a partir do conjunto Mandelbrot, contando o número de iterações necessárias antes do ponto (−0,75, ε ) divergir. Uma ocorrência de π no fractal de Mandelbrot foi descoberta por David Boll em 1991. [190] Ele examinou o comportamento do conjunto de Mandelbrot perto do "pescoço" em (-0.75, 0). Se pontos com coordenadas (−0,75, ε ) são considerados, como ε tende a zero, o número de iterações até divergência para o ponto multiplicado por ε converge para π. O ponto (0.25, ε ) na cúspide do grande "vale" no lado direito do conjunto Mandelbrot comporta-se de forma semelhante: o número de iterações até divergência multiplicada pela raiz quadrada de ε tende a π. [190] [191]

Fora da matemática Descrevendo fenômenos físicos Embora não seja uma constante física, π aparece rotineiramente em equações que descrevem princípios fundamentais do universo, muitas vezes por causa da relação de π com o círculo e sistemas de coordenadas esféricas. Uma fórmula simples do campo da mecânica clássica dá o período aproximado T de um pêndulo simples de comprimento L, balançando com uma pequena amplitude ( g é a aceleração gravitacional da Terra ): [192]

{\ displaystyle T \ aproximadamente 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}}.} T \ aproximadamente 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}}. Uma das fórmulas chave de mecânica quântica é o princípio da incerteza de Heisenberg, o que mostra que a incerteza na medida da posição de uma partícula (Δ x ) e impulso (Δ p ) não podem ambos ser arbitrariamente pequeno, ao mesmo tempo (em que h é a constante de Planck ): [193]

{\ displaystyle \ Delta x \, \ Delta p \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}.} \ Delta x \ \ Delta p \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}. O fato de π ser aproximadamente igual a 3 desempenha um papel na vida útil relativamente longa do ortopositrônio. O tempo de vida inverso para a ordem mais baixa na constante de estrutura fina α é [194]

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} = 2 {\ frac {\ pi ^ {2} -9} {9 \ pi}} m \ alfa ^ {6},} {\ frac {1} {\ tau}} = 2 {\ frac {\ pi ^ {2} -9} {9 \ pi}} m \ alfa ^ {6}, onde m é a massa do elétron.

π está presente em algumas fórmulas de engenharia estrutural, como a fórmula de flambagem derivada de Euler, que fornece a carga axial máxima F que uma coluna longa e delgada de comprimento L, módulo de elasticidade E e momento de inércia que posso transportar sem flambagem : [195]

{\ displaystyle F = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {L ^ {2}}}.} F = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {L ^ {2}}}. O campo da dinâmica de fluidos contém π na lei de Stokes, que se aproxima da força de atrito F exercida sobre pequenos objetos esféricos de raio R , movendo-se com velocidade v em um fluido com viscosidade dinâmica η : [196]

{\ displaystyle F = 6 \ pi \ eta Rv.} {\ displaystyle F = 6 \ pi \ eta Rv.} No eletromagnetismo, a constante de permeabilidade ao vácuo μ 0 aparece nas equações de Maxwell, que descrevem as propriedades dos campos elétrico e magnético e a radiação eletromagnética. É definido exatamente como

{\ displaystyle \ mu _ {0} = 4 \ pi \ vezes 10 ^ {- 7} {\ text {H / m}} \ aproximadamente 1.2566370614 \ ldots \ times 10 ^ {- 6} {\ text {N / A }} ^ {2}} {\ displaystyle \ mu _ {0} = 4 \ pi \ vezes 10 ^ {- 7} {\ text {H / m}} \ aproximadamente 1.2566370614 \ ldots \ times 10 ^ {- 6} {\ text {N / A }} ^ {2}} Uma relação para a velocidade da luz no vácuo, c pode ser derivada das equações de Maxwell no meio do vácuo clássico usando uma relação entre µ 0 e a constante elétrica (permissividade a vácuo), ε 0 em unidades SI:

{\ displaystyle c = {1 \ over {\ sqrt {\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0}}}}.} {\ displaystyle c = {1 \ over {\ sqrt {\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0}}}}.} Sob condições ideais (inclinação suave e uniforme em um substrato homogeneamente erodível), a sinuosidade de um rio sinuoso se aproxima de π. A sinuosidade é a relação entre o comprimento real e a distância em linha reta da fonte à boca. Correntes mais rápidas ao longo das bordas externas das curvas de um rio causam mais erosão do que ao longo das bordas internas, empurrando as curvas ainda mais para fora, e aumentando o loopiness geral do rio. No entanto, essa loopiness faz com que o rio se duplique em lugares e "cause curto-circuito", criando um lago de arco de boi no processo. O equilíbrio entre esses dois fatores opostos leva a uma razão média de πentre o comprimento real e a distância direta entre a fonte e a boca. [197] [198]

Memorizando dígitos Artigo principal: Pipilologia Pipilologia é a prática de memorizar um grande número de dígitos de π, [199] e registros mundiais são mantidos pelo Guinness World Records. O recorde para memorizar dígitos de π, certificado pelo Guinness World Records, é de 70.000 dígitos, recitados na Índia por Rajveer Meena em 9 horas e 27 minutos em 21 de março de 2015. [200] Em 2006, Akira Haraguchi, um engenheiro japonês aposentado, ter recitado 100.000 casas decimais, mas a reivindicação não foi verificada pelo Guinness World Records. [201]

Uma técnica comum é memorizar uma história ou poema em que os comprimentos das palavras representam os dígitos de π : A primeira palavra tem três letras, a segunda palavra tem uma, a terceira tem quatro, a quarta tem uma, a quinta tem cinco e em breve. Um dos primeiros exemplos de uma ajuda de memorização, originalmente desenvolvida pelo cientista inglês James Jeans, é "Como eu quero uma bebida alcoólica, é claro, depois das pesadas palestras envolvendo a mecânica quântica". [199] Quando um poema é usado, é por vezes referido como um piem. Poemas para memorizar π foram compostos em vários idiomas além do inglês. [199] Record-setting πmemorizadores tipicamente não dependem de poemas, mas usam métodos como lembrar padrões numéricos e o método de loci. [202]

Alguns autores usaram os dígitos de π para estabelecer uma nova forma de escrita restrita, em que os comprimentos das palavras são necessários para representar os dígitos de π. A Cadenza Cadaeic contém os primeiros 3835 dígitos de π dessa maneira, [203] e o livro completo Not a Wake contém 10.000 palavras, cada uma representando um dígito de π. [204]

Na cultura popular Torta de Pi na Universidade de Delft Uma torta de pi. A forma circular de torta faz com que seja um assunto frequente de pi trocadilhos. Talvez por causa da simplicidade de sua definição e de sua presença onipresente nas fórmulas, π tem sido representado na cultura popular mais do que outras construções matemáticas. [205]

Na coprodução de documentários Open University e BBC de 2008, The Story of Maths , exibida em outubro de 2008 na BBC Four , o matemático britânico Marcus du Sautoy mostra uma visualização da fórmula - historicamente exata - para calcular π ao visitar a Índia e explorar sua contribuições para trigonometria. [206]

No Palais de la Découverte (um museu de ciências em Paris) há uma sala circular conhecida como pi room. Na sua parede estão inscritos 707 dígitos de π. Os dígitos são grandes caracteres de madeira presos ao teto em forma de cúpula. Os dígitos foram baseados em um cálculo de 1853 pelo matemático inglês William Shanks, que incluiu um erro a partir do 528º dígito. O erro foi detectado em 1946 e corrigido em 1949. [207]

No romance de Carl Sagan, Contato , sugere-se que o criador do universo tenha enterrado uma mensagem no fundo dos dígitos de π. [208] Os dígitos de π também foram incorporados na letra da música "Pi" do álbum Aerial by Kate Bush. [209]

Nos Estados Unidos, o Pi Day cai em 14 de março (escrito em 3/14 no estilo americano) e é popular entre os estudantes. [210] π e sua representação digital são freqüentemente usadas por " geeks " de auto-descrição para piadas internas entre grupos matematicamente e tecnologicamente ocupados. Vários elogios da faculdade no Instituto de Tecnologia de Massachusetts incluem "3,14159". [211] O Dia do Pi em 2015 foi particularmente significativo porque a data e a hora 3/14/15 9:26:53 refletiram muitos mais dígitos do pi. [212] Em partes do mundo onde as datas são comumente observadas no formato dia / mês / ano, 22 de julho representa "Dia de Aproximação Pi", como 22/7 = 3.142857.[213]

Durante o leilão de 2011 do portfólio de valiosas patentes tecnológicas da Nortel, o Google fez uma série de ofertas incomuns específicas baseadas em constantes matemáticas e científicas, incluindo π. [214]

Em 1958 Albert Eagle propôs a substituição de π por τ ( tau ), onde τ = π / 2, para simplificar as fórmulas. [215] No entanto, nenhum outro autor é conhecido por usar τ desta maneira. Algumas pessoas usam um valor diferente, τ = 2 π = 6,28318 ..., [216] argumentando que τ , como o número de radianos em um turno , ou como a razão entre a circunferência de um círculo e seu raio ao invés de seu diâmetro, é mais natural que π e simplifica muitas fórmulas. [217] [218]Celebrações deste número, porque aproximadamente igual a 6,28, fazendo 28 de junho "Dia Tau" e comendo "o dobro do bolo", [219] foram relatados na mídia. No entanto, esse uso de τ não entrou na matemática convencional. [220]

Em 1897, um matemático americano amador tentou persuadir o Legislativo de Indiana a aprovar o Indiana Pi Bill, que descrevia um método para enquadrar o círculo e continha texto que implicava vários valores incorretos para π , incluindo 3,2. O projeto é notório como uma tentativa de estabelecer um valor de constante científica por decreto legislativo. A lei foi aprovada pela Câmara dos Representantes de Indiana, mas rejeitada pelo Senado, o que significa que não se tornou uma lei. [221]

Na cultura de computadores Na cultura da internet contemporânea, indivíduos e organizações frequentemente prestam homenagem ao número π. Por exemplo, o cientista da computação Donald Knuth deixou os números de versão de seu programa TeX se aproximarem de π. As versões são 3, 3.1, 3.14 e assim por diante. [222]

Notas Notas de rodapé

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[O número de Ludolph ou número de círculo agora também recebeu o símbolo debaixo do qual nós o conhecemos hoje: William Jones propôs em 1706 a letra grega π, baseada em perimetros [περίμετρος], grego para perímetro. Leonhard Euler estabeleceu firmemente π em seus escritos matemáticos.] "pi". Dictionary.reference.com. 2 de março de 1993. Arquivado a partir do original em 28 de julho de 2014. Retirado 18 de junho de 2012. Arndt & Haenel 2006, p. 8 Apostol, Tom (1967). Cálculo, volume 1 (2ª ed.). Wiley. p. 102: "De um ponto de vista lógico, isso é insatisfatório no estágio atual porque ainda não discutimos o conceito de comprimento de arco." O comprimento do arco é apresentado na p. 529 Remmert, Reinhold (1991), "O que é π ?", Numbers, Springer, p. 129 Remmert (1991). A integral precisa que Weierstrass usou foi {\ displaystyle \ pi = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}}.} \ pi = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}}. 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