User:Mominert/Momentofinertia

Für eine Rotation um die x-Achse ist das Trägheitsmoment: $$I_x=\int_V (y^2+z^2) \rho dV =\int_V y^2 \rho dV + \int_V z^2 \rho dV$$ Setze $$u=x/a,\, v=y/b,\, w=z/c,\,$$ und damit: $$\int_V z^2 \rho dV = \rho\cdot abc\cdot c^2\cdot K,\,$$ miz $$K=\int_{u=-1}^1\int_{v=-\sqrt{1-u^2}}^\sqrt{1-u^2}\int_{w=-\sqrt{1-u^2-v^2}}^\sqrt{1-u^2-v^2} w^2 du dv dw,\, $$ und entsprechend $$\int_V y^2 \rho dV = \rho\cdot abc\cdot b^2\cdot K,\,$$ also $$I_x=\rho\cdot abc\cdot (c^2+b^2)\cdot K = \frac{3m}{4\pi}(c^2+b^2)\cdot K,\,$$ wobei $$m=\rho\cdot V = \rho \cdot \frac{4\pi}{3}\cdot abc$$
 * Trägheitsmoment für ein massives, homogenes Ellipsoid

Eine massive Kugel mit a=b=c hat $$I_x=\frac{3m}{4\pi}\cdot 2a^2\cdot K$$. Vergleich man dies mit dem bekannten Resultat für das Trägheitsmoment (Rotoationsachse durch den Mittelpunkt) von $$I_x=\frac{2}{5}m a^2$$, ergibt sich damit: $$K=4\pi/15$$.

Also: $$I_x=\frac{m}{5}(b^2+c^2)\,$$ und entsprechend für die anderen beiden Hauptrotationsachsen.