User:Narenmanjunath/sandbox

ಈ ($$e$$) ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಗಣಿತದ ಅತಿ ಮಹತ್ತ್ವಪೂರ್ಣ ಸಂಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು. $$e$$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಘುಗಣಕದ (natural logarithm) ಆಧಾರವೆಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ೧೭ ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ $$e$$ ಇನ ಮೊದಲ ಉಪಯೋಗವು ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾಣಲಾಗಿದೆ. ತರುವಾಯ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ನ ಲಿಯೋನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ $$e$$ ನ ಬಹಳಷ್ಟು ಗುಣಗಳನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದರಿಂದ $$e$$ನ್ನು 'ಯೂಲರಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ' (Euler's constant) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಥಮ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ ಜ್ಯಾನ್ ನೇಪಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು 'ನೇಪಿಯರಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ' (Napier's constant) ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಸಮೂಹದಲ್ಲಿ ಈ ಹೆಸರು ಉಪಯೋಗದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. $$\pi, i, 0, 1$$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆ $$e$$ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಗಣಿತದ ಪ್ರತ್ಯೊಂದು ಕ್ಶೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತಿ ಮಹತ್ತ್ವೆಪೂರ್ಣವು ಹಾಗೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. $$e $$ ಸಂಖ್ಯೆ $$2.71828...$$ ಎಂದು ಶುರುವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ದಾಶಮಿಕ ನಿರೂಪಣೆ ಇಷ್ಟಕ್ಕೆ ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ $$\pi, \sqrt{2}$$ ಅಂತೆಯೇ $$e$$ ಒಂದು 'ಟ್ರಾನ್ಸೆನ್ಡೆನ್ಟಲ್' (transcendental) ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಗುಣದ ಕಾರಣ e ಪೂರ್ವಾನ್ಕದ ಮೂಲಕ ಬರೆದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪೊಲಿನೊಮಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣೆಯ (polynomial equation with integer coefficients) ಉತ್ತರವಾಗಲಾರದು. ೫೦ ದಾಶಮಿಕ ಸ್ಥಾನಗಳ ತನಕ,

$$e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...$$

ವಿವರಣೆ
$$e$$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಘುಗಣಕದ ಆಧಾರ. ಅದೆಂದರೆ

$$ \ln e = 1$$.

$$e$$ ನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು: $$(1+1/n)^n$$ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು $$n$$ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದರೆ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ $$e$$ ಎಂದು ಸಿದ್ಧ ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ,

$$\displaystyle lim_{n->\infty} (1+1/n)^n = e$$

ಈ ವಿವರಣೆ ನೀಡಿದ ಗಣಿತಜ್ನ ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲಾಂಡ್ ದೇಶದ ಜೇಕಬ್ ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ.

ಇತಿಹಾಸ
೧೬೧೮ ರಲ್ಲಿ ಸ್ಕಾಟ್ಲೆಂಡ್ ಇನ ಗಣಿತಜ್ನ ಹಾಗೂ ಭೌತವೈಜ್ನಾನಿ ಜಾನ್ ನೇಪಿಯರ್ ಲಘುಗಣಕ (logarithm) ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪುಸ್ತಕದ ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ $$e$$ ಆಧಾರದಲ್ಲಿರುವ ಲಘುಗಣಕದ ಪಟ್ಟಿಯೂ ನೀಡಿದರು ಆದರೆ ಆಧಾರ ಆಗಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದವನು ಜೇಕಬ್ ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ. ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ (compound interest) ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ವಿವೇಚಿಸುತ್ತಿದ್ದನು. ನಿಮ್ಮ ಹತ್ತಿರ ಒಂದು ರುಪಾಯುವಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ೧೦%, ೧%, ೦.೧% ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ೧೦, ೧೦೦, ೧೦೦೦ ತಿಂಗಳಿಗೆ ಹಾಕಿದರೆ ಈ ಸಮಯದ ನಂತರ ನಿಮಗೆ ೨.೫೯, ೨.೭೦೪, ೨.೭೧೬ ವಾಪಸ್ಸು ಬರುವುದು. ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ೧ ರುಪಾಯಿಗೆ $$\frac{1}{n}%$$ ಬಡ್ಡಿ $$n$$ ತಿಂಗಳಿಗಿಟ್ಟರೆ, $$n$$ ಅನಂತವಾದರೆ ನಮ್ಮ ಹತ್ತಿರ ಇರುವ ಹಣ ೨.೭೧೮೨೮... ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹತ್ತಿರ ಬರುವುದು. ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದನು. ಇದರ ನಂತರ ಯೂಲರ್ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ $$e$$ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವನ್ನು ನೀಡಿ ಲಘುಗಣಕಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದನು.

$$e$$ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಇತರ ಸಮಾನಾಂತರ ಫಾರ್ಮ್ಯುಲಾಗಳು
$$e^x$$ ಪದದ ಟೇಲರ್ ಸಾಲಿನ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು (Taylor series representation) ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಈ ವಾಕ್ಯವು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

$$e^x= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +. . . = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

ಆದ್ದರಿಂದ

$$e= 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} +. . . = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$$.

$$e$$ ಸಂಖೆಯ ಮೂಲಕ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತು ಟ್ರಿಗೊನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದಗಳ ಮಧ್ಯ ಆಳವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ ಸಿದ್ಧ ಪಡಿಸಿದನು. ಪ್ರತ್ಯೋಂದು ಸಂಖ್ಯೆ \theta ಗೆ

$$e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)$$

ಸಮೀಕರಣ ಸತ್ಯವು. ಇದರಲ್ಲಿ $$\theta = \pi$$ ಸಮೀಕರಣಗೊಂಡರೆ ವಿಶೇಷ ನಿದರ್ಶನವಾಗಿ

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

ಎಂದಾಗುವುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭೌತವೈಜ್ನಾನಿ ರಿಚರ್ಡ್ ಫೈನ್ಮನ್ (Richard Feynman) 'ಗಣಿತದ ಅತಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಸೂತ್ರ' ಎಂದು ಕೊಂಡಾಡಿದ್ದಾರೆ.