User:PaulKevinAnderson/sandbox

نواة (الجبر)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة في مختلف فروع الرياضيات التي تندرج تحت عنوان الجبر المجرد، ونواة لمفهوم التشاكل يقيس الدرجة التي فشل مفهوم التشاكل أن يكونواة (الجبر)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في مختلف فروع الرياضيات التي تندرج تحت عنوان الجبر المجرد، ونواة لمفهوم التشاكل يقيس الدرجة التي فشل مفهوم التشاكل أن يكون injective. [1] وحالة خاصة هامة هي نواة لخريطة الخطية. نواة مصفوفة، وتسمى أيضا مساحة فارغة، هي نواة الخريطة الخطية التي حددتها المصفوفة.

تعريف نواة تأخذ أشكالا مختلفة في سياقات مختلفة. ولكن في كل منها، ونواة لمفهوم التشاكل تافهة (بالمعنى ذات الصلة إلى أن السياق) إذا وفقط إذا كان مفهوم التشاكل هو injective. النظرية الأساسية على تشابهات شكلية (أو أول نظرية التماثل) هي نظرية، ومرة ​​أخرى تأخذ أشكالا مختلفة، أن ينطبق على الجبر القسمة التي تحددها النواة.

في هذه المقالة، علينا أولا مسح حبات لبعض الأنواع الهامة من بنية جبرية. ثم نعطي تعريفات عامة من جبر شامل للبنية جبرية عامة.

محتويات [إخفاء] مسح من الأمثلة [عدل]
 * == محتويات == أخف]
 * 1أمثلة شاملة
 * 1.1التطبيقات الخطية
 * 1.2تشاكلات الزمر
 * 1.3تشاكلات الحلقات
 * 1.4تشاكلات المونويدات
 * 2الجبر الشامل
 * 2.1الحالة العامة
 * 2.2جبور مالتسف
 * 3جبور ذات بنًى غير جبرية
 * 4الأنوية في نظرية الفئات
 * 5مصادر

تحويل خطي [عدل]

المقال الرئيسي: النواة (الجبر الخطي)

السماح V و W تكون المساحات ناقل (أو وحدات أكثر عموما) والسماح تي تكون خريطة خطية من الخامس إلى جورج إذا 0W هو متجه صفر W، ثم نواة تي هي preimage للفضاء جزئي الصفر {0W}؛ وهذا هو، فرعية من الخامس تتألف من جميع تلك العناصر من V التي تم تعيينها من قبل T إلى العنصر 0W. وعادة ما تشير نواة كما تي كير، أو بعض الأشكال الخاصة بها:

{\ displaystyle \ operatorname {كير} T = \ {\ mathbf {ضد} \ في الخامس: T (\ mathbf {ضد}) = \ mathbf {0} _ {W} \} {\ النص {}}} { \ displaystyle \ operatorname {كير} T = \ {\ mathbf {ضد} \ في الخامس: T (\ mathbf {ضد}) = \ mathbf {0} _ {W} \} {\ النص {}}}

منذ خريطة الخطية يحفظ الصفر ناقلات، و0V ناقلات الصفر من الخامس يجب أن تنتمي إلى النواة. التحول T هو injective إذا وفقط إذا تم تخفيض نواة لفضاء جزئي الصفر.

نواة كير تي دائما فضاء جزئي خطي من الخامس وهكذا، فمن المنطقي أن نتحدث عن الفضاء حاصل V / (كير T). نظرية التماثل الأولى للمساحات ناقلات على أن هذا الفضاء حاصل هو تشاكلي بطبيعة الحال إلى صورة T (وهي فضاء جزئي من W). ونتيجة لذلك، فإن البعد الخامس يساوي البعد من النواة بالإضافة إلى البعد من الصورة.

إذا V و W هي محدود الأبعاد، وقد تم اختيار القواعد، ثم تي يمكن وصف مصفوفة M، ونواة يمكن حسابها من خلال حل نظام متجانس من المعادلات الخطية MV = 0. وفي هذه الحالة، فإن نواة T ويمكن تحديد لنواة المصفوفة M، وتسمى أيضا "مساحة خالية" من M. البعد من الفضاء لاغية، ودعا بطلان M، والتي قدمها عدد من أعمدة M ناقص رتبة M، باعتباره نتيجة لنظرية رتبة البطلان.

حل المعادلات التفاضلية المتجانسة في كثير من الأحيان يصل إلى حساب نواة لبعض المشغلين التفاضلية. على سبيل المثال، من أجل العثور على جميع وظائف مرتين للاختلاف و من الخط الحقيقي لنفسها بحيث

س و "(خ) + 3F '(س) = و (خ)،

السماح الخامس أن تكون المساحة من جميع وظائف مرتين للاختلاف، والسماح W أن تكون المساحة من جميع وظائف، وتحديد الخطي المشغل T من الخامس إلى W من قبل

(TF) (س) = س و "(خ) + 3F '(خ) - و (خ)

لو في الخامس والعاشر من العدد الحقيقي التعسفي. ثم جميع الحلول للمعادلة التفاضلية هي في T. كير

يمكن للمرء أن تحدد حبات لتشابهات شكلية بين وحدات أكثر من حلقة بطريقة مماثلة. وهذا يشمل حبات لتشابهات شكلية بين المجموعات ابليان كحالة خاصة. يجسد هذا المثال جوهر حبات في فئات ابليان العامة. رؤية النواة (فئة نظرية).

تشاكل الزمر [عدل]

السماح G و H يكون الجماعات والسماح و أن تكون تشاكل الزمر من G إلى H. إذا إيه هو العنصر هوية H، ثم نواة و هي preimage من مجموعة المفرد {إيه}؛ وهذا هو، مجموعة فرعية من مجموعة تتألف من جميع تلك العناصر من G التي تم تعيينها من قبل و لعنصر إيه. نواة عادة ما تدل كير و (أو الاختلاف). في الرموز:

{\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ {ز \ في G: و (ز) = E_ {H} \} {\ mbox و{}}} {\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ {ز \ في G: و (ز) = E_ {H} \} {\ mbox و{}}}

منذ تشاكل الزمر يحافظ على عناصر الهوية، يجب على سبيل المثال عنصر هوية G تنتمي إلى النواة. ومفهوم التشاكل و هي injective إذا وفقط إذا نواة ليست سوى مجموعة المفرد {مثل}.

وتبين أن كير و ليست فقط مجموعة فرعية من G، ولكن في الواقع مجموعة فرعية العادية. وبالتالي، فمن المنطقي أن نتحدث عن مجموعة حاصل G / (كير و). تنص نظرية التماثل الأولى للمجموعة أن هذه المجموعة هي حاصل المتماثلة بطبيعة الحال إلى صورة و (والذي هو مجموعة فرعية من H).

في الحالة الخاصة للجماعات ابليان، وهذا يعمل تماما بنفس الطريقة كما في الجزء السابق.

تشابهات شكلية حلقة [عدل]

السماح R و S تكون حلقات (يفترض unital)، واسمحوا و تكون على مفهوم التشاكل حلقة من R لS. إذا 0S هو العنصر صفر S، ثم نواة و هي النواة باعتبارها خريطة الخطية على الأعداد الصحيحة، أو مكافئ، مجموعات على النحو المضافة. هو preimage المثالي الصفر {0S}، الذي هو، مجموعة فرعية من R تتألف من جميع تلك العناصر من R التي تم تعيينها من قبل و ل0S عنصر. نواة عادة ما تدل كير و (أو الاختلاف). في الرموز:

{\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ {ص \ في R: و (ص) = 0_ {S} \} {\ mbox و{}} \.!} {\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ { ص \ في R: و (ص) = 0_ {S} \} {\ mbox و{}} \}

منذ مفهوم التشاكل حلقة يحفظ عناصر الصفر، يجب على 0R عنصر صفر R تنتمي إلى النواة. ومفهوم التشاكل و هي injective إذا وفقط إذا نواة ليست سوى مجموعة المفرد {0R}.

اتضح أنه على الرغم كير و هي عموما ليست subring من R لأنه قد لا يحتوي على هوية المضاعف إذا S ليس حلقة فارغة (على الرغم من أن النواة هي subring لحلقات nonunital). على الرغم من ذلك، بل هو المثل الأعلى على الوجهين ر هكذا، فمن المنطقي أن نتحدث عن الحلبة حاصل R / (كير و). نظرية التماثل الأولى للحلقات على أن هذه العصابة القسمة هي المتماثلة بطبيعة الحال إلى صورة و (والذي هو subring من S). (لاحظ أن الحلقات لا يلزم أن يكون unital للتعريف النواة).

إلى حد ما، وهذا يمكن اعتبار حالة خاصة من الوضع لوحدات، لأن هذه كلها bimodules على عصابة R:

R نفسها.

أي مثالية ذات وجهين من R (مثل كير و)؛

أي حلقة القسمة R (مثل R / (كير و))؛ و

في مجال مقابل من أي مفهوم التشاكل حلقة الذي نطاق غير R (مثل S، ومجال مقابل لو).

ومع ذلك، فإن نظرية التماثل يعطي نتيجة أقوى، لأن حلقة التماثل الحفاظ على الضرب في حين التماثل وحدة نمطية (حتى بين الحلقات) في عام لا تفعل ذلك.

يجسد هذا المثال جوهر حبات في الجبر Mal'cev العامة.

تشابهات شكلية مونويد [عدل]

السماح M و N يكون monoids والسماح و أن تكون مفهوم التشاكل مونويد من M إلى N. ثم نواة و هي مجموعة فرعية من M نتاج مباشر × M تتألف من جميع تلك زوج مرتب من عناصر M الذي كلاهما معين من قبل و المكونات على نفس الركن في N. النواة عادة ما يرمز كير و (أو الاختلاف). في الرموز:

{\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ {(م، م ') \ في M \ الأوقات M: و (م) = و (م') \} {\ mbox و{}} \.!} {\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ {(م، م ') \ في M \ الأوقات M: و (م) = و (م') \} {\ mbox و{}} \}!

منذ و هي وظيفة، يجب على عناصر من النموذج (م، م) تنتمي إلى النواة. ومفهوم التشاكل و هي injective إذا وفقط إذا نواة ليست سوى مجموعة قطري {(م، م): م م}.

وتبين أن كير و هي علاقة التكافؤ على M، في واقع الأمر علاقة التطابق. وبالتالي، فمن المنطقي أن نتحدث عن حاصل مونويد M / (كير و). نظرية التماثل الأولى لmonoids على أن هذا مونويد حاصل هو تشاكلي بطبيعة الحال إلى صورة و (والذي هو submonoid ن)، (لعلاقة تطابق).

هذا يختلف جدا في نكهة من الأمثلة المذكورة أعلاه. على وجه الخصوص، preimage العنصر هوية N ليست كافية لتحديد نواة و. وذلك لأن monoids ليست جبر Malcev.

جبر شامل [عدل]

يمكن توحيدها جميع الحالات المذكورة أعلاه، وتعميمها في الجبر الشامل.

الحالة العامة [عدل]

دعونا A و B يكون بنية جبرية من نوع معين، والسماح و أن تكون مفهوم التشاكل من هذا النوع من ألف باء ثم نواة و هي مجموعة فرعية من المنتج والمباشر × وتتألف من جميع تلك زوج مرتب من عناصر المكونات التي كلاهما معين من قبل و لنفس العنصر في B. عادة ما تدل النواة كير و (أو الاختلاف). في الرموز:

{\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ {(أ، وهو ') \ في A \ الأوقات ج: و (أ) = و (أ') \} {\ mbox و{}} \.!} {\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ {(أ، وهو ') \ في A \ الأوقات ج: و (أ) = و (أ') \} {\ mbox و{}} \}!

منذ و هي وظيفة، وعناصر من النموذج (أ، أ) يجب أن تنتمي إلى النواة.

ومفهوم التشاكل و هي injective إذا وفقط إذا نواة لها هو بالضبط مجموعة قطري {(أ، أ): a∈A}.

فمن السهل أن نرى أن كير و هي علاقة التكافؤ على A، في واقع الأمر علاقة التطابق. وبالتالي، فمن المنطقي أن نتحدث عن حاصل الجبر A / (كير و). أول نظرية التماثل في الجبر الشامل العام على أن هذا الجبر حاصل هو تشاكلي بطبيعة الحال إلى صورة و (والذي هو subalgebra من B).

لاحظ أن تعريف نواة هنا (كما في المثال مونويد) لا تعتمد على هيكل جبري. وهي عبارة عن مجموعة-نظري محض مفهوم. لمعرفة المزيد عن هذا المفهوم العام، خارج الجبر المجرد، انظر نواة وظيفة.

جبر Mal'cev [عدل]

المقال الرئيسي: الجبر Malcev

في حالة جبر Mal'cev، هذا البناء يمكن تبسيط. كل الجبر Mal'cev لديه عنصر خاص محايد (ناقلات الصفر في حالة مساحات ناقلات، عنصر الهوية في حالة فئات تبادلي، وعنصر صفر في حالة من حلقات أو وحدات). وما يميز الجبر Mal'cev هو أن نتمكن من استرداد كامل التكافؤ بالنسبة كير و من الدرجة تكافؤ عنصر محايد.

أن تكون محددة، والسماح ألف وباء يكون بنية جبرية Mal'cev من نوع معين، والسماح و أن تكون مفهوم التشاكل من هذا النوع من ألف باء إذا EB هو العنصر المحايد من B، ثم نواة و هي preimage من مجموعة المفرد {إب}؛ وهذا هو، يتم تعيين فرعية من وتتألف من جميع تلك العناصر من وذلك من خلال f لعنصر EB. نواة عادة ما تدل كير و (أو الاختلاف). في الرموز:

{\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ {ل\ في A: و (أ) = E_ {ب} \} {\ mbox و{}} \.!} {\ displaystyle \ operatorname {كير} و = \ { و\ في ج:! و (أ) = E_ {ب} \} {\ mbox و{}} \}

منذ الجبر مفهوم التشاكل Mal'cev يحفظ عناصر محايدة، وعنصر هوية EA من ويجب أن تنتمي إلى النواة. ومفهوم التشاكل و هي injective إذا وفقط إذا نواة ليست سوى مجموعة المفرد {EA}.

فكرة مثالية يعمم على أي الجبر Mal'cev (كما فضاء جزئي خطي في حالة مساحات ناقلات، فرعية العادية في حالة الجماعات، والمثل على الوجهين في حالة من الحلقات، وحدة ثانويه في حالة وحدات). وتبين أن كير و ليست subalgebra من A، بل هو المثل الأعلى. ثم فمن المنطقي أن نتحدث عن حاصل الجبر G / (كير و). نظرية التماثل الأولى لجبر Mal'cev على أن هذا الجبر حاصل هو تشاكلي بطبيعة الحال إلى صورة و (والذي هو subalgebra من B).

العلاقة بين هذا وعلاقة تطابق هو أكثر أنواع العامة للجبر هو على النحو التالي. أولا، النواة كما هو وسيلة مثالية هي الطبقة التكافؤ العنصر المحايد EA تحت نواة كما هو وجود التطابق. للاتجاه العكس، نحن بحاجة إلى مفهوم القسمة في الجبر Mal'cev (وهو تقسيم على جانبي للمجموعات والطرح للمساحات ناقلات، وحدات، والخواتم). باستخدام هذا، عناصر أ و ب من ووتعادل تحت نواة كما هو وجود التطابق إذا وفقط إذا بهم حاصل أ / ب عنصرا من النواة كما هو وسيلة مثالية.

جبر مع هيكل nonalgebraic [عدل]

في بعض الأحيان مجهزة جبر مع هيكل nonalgebraic بالإضافة إلى عملياتها الجبرية. على سبيل المثال، يمكن للمرء النظر في مجموعة الطوبوغرافية أو مسافات ناقلات الطوبوغرافية، مع مجهزة طوبولوجيا. في هذه الحالة، فإننا نتوقع و مفهوم التشاكل للحفاظ على هذا الهيكل إضافية؛ في الأمثلة الطوبوغرافية، ونحن نريد و لتكون خريطة مستمرة. قد يعمل العملية في عقبة جبر مع القسمة، والتي قد لا تكون تصرفت بشكل جيد. في الأمثلة الطوبوغرافية، يمكننا تجنب المشاكل التي تتطلب أن بنية جبرية الطوبوغرافية تكون هاوسدورف (كما ويتم ذلك عادة)؛ ثم نواة (ولكن هي التي شيدت) ستكون هنالك مجموعة مغلقة والفضاء حاصل تعمل بشكل جيد (وأيضا أن يكون هاوسدورف).

حبات في نظرية الفئة [عدل]

مفهوم النواة في نظرية الفئة هو تعميم حبات من جبر ابليان. رؤية النواة (فئة نظرية). التعميم القاطع لنواة كعلاقة التطابق هو زوج النواة. (وهناك أيضا مفهوم الفرق نواة، أو التعادل ثنائي).

انظر أيضا [عدل]

نواة (الجبر الخطي)

الصفر مجموعة

ملاحظات [عدل]

تقفز ^ انظر Dummit وفوت 2004 وانج 2002.

المراجع [عدل]

Dummit، ديفيد S؛ فوت، ريتشارد M. (2004). الجبر المجرد (3rd الطبعه). وايلي. ISBN 0-471-43334-9.

لانج، سيرج (2002). الجبر. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. الوثاب. ISBN 0-387-95385-X.

فئات: AlgebraIsomorphism theoremsLinear الجبر