User:PegasusRoe/兩平面向量所夾面積

假設我們要計算由
 * $$\vec{u}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$$ 與 $$\vec{v}=\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}$$

所圍成的平行四邊形面積（有向面積），我們可以選擇將 $$\vec{v}$$ 分解成：
 * $$\vec{v}=\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}=x\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}$$

並計算出 $$y$$ 的大小，這樣我們就可以利用「底×高」算出平行四邊形的面積.

計算 y
如果我們將
 * $$\vec{v}$$ 與 $$\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}$$

作內積，則我們可以得到：
 * $$\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}=\left(x\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}\right)\cdot\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}$$
 * $$ad-bc=y\left(a^2+b^2\right)$$

如果我們假設：
 * $$r=\sqrt{a^2+b^2}$$

則：
 * $$y=\frac{\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}{r^2}$$

（注意：y 有正負號）

計算有向面積
利用「底×高」，我們可以得到：
 * $$r \cdot yr = y r^2 = \begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}$$