User:RJGray/Cantor1887G

4. Mitteilungen zur Lehre vom Tranfiniten.

In dem vorhergehenden Aufsätze habe ich, veranlaßt durch gewisse, gegen die Möglichkeit der unendlichen Zahlen geschriebene ältere und neuere Arbeiten, den Versuch gemacht, die sich an das aktuale Unendliche knüpfenden Fragen nach obersten Scheidungen, von dem allgemeinsten Gesichtspunkte aus abzgrenzen, um auf diese Weise eine Übersicht der hauptsächlichsten Positionen zu gewinnen, welsch in bezug auf diesen Gegenstand eingenommen werden können. Es wurde das A.-U. nach drei Beziehungen unterschieden: erstens sofern es in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen, ausserweltlichen Sein, in Deo realisiert ist, wo ich es Absolut-unendliches oder kur zeg Absolutes nenne; zweitens sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens sofern es als mathematische Größe, Zahl order Ordnungstypus vom Denken in abstracto aufgefaßt werden kann. In den beiden letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fahiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nenne ich es Transfinitum und setze es dem Absoluten strengsten entgegen.

In jeder von den drei Beziehungen kann die Möglichkeit des aktualen Unendlichen bejaht oder verneint werden; daraus folgen im ganzen acht verschiedene Standpunkte, die sämtlich in der Philosopie vertreten sind und von welchen ich denjenigen einnehme, der unbedingt affirmmativ ist, in bezug auf all drei Rücksichten.

Liegt es besonders der spekulativen Theologie ob, dem Absolutunendlichen nachzuforschen und dasjenige zu bestimmen, was menschlicherseits von ihm gesagt werden kann, so fallen andrerseits die auf das Transfinite hingerichteten Fragen hauptsächlich in die Gebiete der Metaphysik und der Mathematik; sie sind es vorzugsweise, mit denen ich mich seit Jahren beschäftige.

Da ich das Glück hatte, darüber mit mehreren Gelehrten, welche meinen Arbeiten ein freundliches Interesse gewidmet, zu korrespondieren und mir hierbei Gelegenheit geworden ist, das bisher Veröffentlichte in gemeinverständlicher Weise zu erläutern und aufzuklären, so meine ich in diesem, aus lebendigem Gedankenaustausch hervorgegangenen Material geeignete Anküpfungspunkte für weitere, ein größeres Publikum interessierende Ausführungen zu besitzen. Ich möchte daher zunächst im folgenden mehrere dieser von mir geschriebenen Briefe veröffentlichen, ohne wesentliche Änderungen an ihnen vorzunehmen. Wo es jedoch mir nötig erscheinen wird, will ich in Noten unter dem Text Erklärungeren dazu geben.

Zu den Briefen I, III, IV und VIII möchte ich folgendes als Einleitung vorausschicken.

Ad I und VIII. Hier finden sich die von mir seit etwa vier Jahren vertretene und in meinen Vorlesungen vielfach ausgebildete Auffassungsweise der ganze Zahlen und Ordnungstypen als Universalien, die sich auf Mengen beziehen und aus ihnen sich ergeben, wenn von der Beschaffenheit der Elemente abstrahier wird. Jede Menge wohlunterschiedener Dinge kann als ein einheitliches Ding für sich angesehen werden, in welchem jene Dinge Bestandteile oder konsitutive Elemente sind. Abstrahiert man sowohl von der Beschaffenheit der Elemente, wie auch von der Ordnung ihres Gegebenseins so erhält man die Kardinalzahl oder Mächtigkeit der Menge, einen Allgemeinbegriff, in welchem die Elemente, als sogenannte Einsen, gewissermaßen organisch ineinander derartig zu einem einheitlichen Ganze verwachsen sind, daß keine vor den anderen ein bevorzugtes Rangverhältnis hat. Daraus ergibt sich bei eingehender Erwägung, daß zweien verschiedenen Mengen dann und nur dan eine und dieselbe Kardinalzahl zukommt, wenn sie das zueinander sind, was ich äquivalent nenne, und es liegt kein Widerspruch vor, wenn, wie dies bei unendlichen Mengen häufig eintritt, zwei Mengen, von denen die eine ein Teil oder Bestandteil der andern ist, völlig gleiche Kardinalzahl haben. In dem Verkennen dieser Tatsache sehe ich das Haupthindernis, welches der Einfühhrung unendlicher Zahlen von alters her entgegengebracht worden ist.